- •Элементы линейной алгебры
- •1. Операции над матрицами. Свойства операций.
- •2. Определители 2-го и 3-го порядков. Минор и алгебраическое дополнение. Определитель n-го порядка. Свойства определителей.
- •3. Обратная матрица. Теорема существования обратной матрицы.
- •4. Системы линейных уравнений. Матричная запись системы. Формулы Крамера.
- •5. Однородная система линейных уравнений и свойства ее решений.
- •6. Решение систем методом Гаусса.
- •Векторная алгебра
- •7. Линейные операции над векторами. Базис.
- •8. Проекция вектора на ось. Прямоугольная система координат. Координаты точки. Линейные операции над векторами в координатной форме.
- •9. Скалярное произведение векторов, его свойства. Вычисление в координатах.
- •10. Определение правой тройки векторов. Векторное произведение векторов, его свойства, геометрический смысл.
- •11. Смешанное произведение 3-х векторов, его свойства. Геометрический смысл. Вычисление в координатах. Необходимое и достаточное условие компланарности 3-х векторов.
- •16. Виды уравнений прямой в пространстве. Расстояние от точки до прямой.
- •17. Взаимное расположение двух прямых в пространстве, угол между прямыми.
- •18. Взаимное расположение прямой и плоскости, угол между ними.
- •19. Каноническое уравнение эллипса, эксцентриситет, директриса.
- •20. Канонические уравнение гиперболы, эксцентриситет, директриса, асимптоты.
- •21. Каноническое уравнение параболы
- •27. Основные элементарные функции и их графики.
- •28. Предел числовой последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые числовые последовательности. Свойства бесконечно малых.
- •29. Основные теоремы о пределах последовательностей.
- •30. Первый и второй замечательные пределы. Число е.
- •31. Предел функции. Основные теоремы о пределах функций.
- •32. Замечательные пределы для функций.
- •33. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.
- •34. Непрерывные функции. Классификация точек разрыва.
- •35. Свойства непрерывных функций. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •36. Определение производной, ее геометрический смысл.
- •37. Дифференцируемость и непрерывность. Правила дифференцирования.
- •38. Производная сложной функции, функции, заданной неявно, заданной параметрически, обратной функции.
- •39. Производные основных элементарных функций.
- •41. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •42. Теорема Ферма. Теорема Ролля.
- •43. Теорема Лагранжа и следствия из нее. Теорема Коши.
- •44. Правило Лопиталя.
- •45. Возрастание и убывание дифференцируемой функции. Необходимые и достаточные условия.
- •46. Экстремум дифференцируемой функции. Необходимые и достаточные условия.
- •47. Теорема (второе достаточное условие экстремума).
- •48. Выпуклость функции. Необходимые и достаточные условия выпуклости. Точки перегиба.
- •49. Асимптоты графика функций.
27. Основные элементарные функции и их графики.
1)
1) y = xn, n > 1
2) y =
3) y = , n > 1
2) y = ax
1) a >1
2) 0 < a < 1
3) y = log a x
1) a > 1
2) 0 < a < 1
4) y = sin x , cos x, tg x, ctg x
5) y = arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x
6) y = ex
28. Предел числовой последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые числовые последовательности. Свойства бесконечно малых.
Число а называется пределом числовой последовательности xn, если любой E-определенности > 0 существует N, меньшее любой n => |xn-a|< E-определённости, т.е. xn принадлежит E -определенности.
Последовательность {αn} называется бесконечно малой, если = 0
Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если { } – бесконечно малая
Свойства бесконечно малых:
1) αn + n – бесконечно малая
2) αn * n – бесконечно малая
3) αn * с – бесконечно малая, c – действительное число
4) αn * n – бесконечно малая, xn – ограниченная
29. Основные теоремы о пределах последовательностей.
1) Если предел последовательности существует, то он единственный
2) Сходящаяся последовательность ограничена.
Следствие: Если последовательность не ограничена, то она расходящаяся.
3) A= <=> xn = A + αn , где αn - бесконечно малая.
4) Теорема о милиционерах: Пусть существует =a. Существует =a
αn <= xn <= n, любое n.
Тогда =a
30. Первый и второй замечательные пределы. Число е.
Первый замечательный предел: αn – бесконечно малая, то = 1
Второй замечательный предел: )n = e
Число «e» (2,718...) —иррациональное. Вычисляется с помощью следующего ряда:
Число e есть предел выражения
31. Предел функции. Основные теоремы о пределах функций.
Число A называется пределом функции f(x) в точке x = a (или при x -> a), если всякая окрестность > 0
A =
Теоремы:
1) Предел постоянной равен самой постоянной
2) Постоянный множитель можно выносить за знак предела: = k *
3) Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов этих функций: =±
4) Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций:
= *
5) Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, если только предел делителя не равен нулю: = ,≠ 0
32. Замечательные пределы для функций.
1) = 1
Доказательство: Из доказательства замечательного предела для последовательности имеем 1≤cos αn
1 ≥ ≥cos x
По теореме о милиционерах в силу = 1 получаем = 1
2) =e
Доказательство: n = [x] – целая часть x. Рассмотрим случай x --> +∞, x > 0
n ≤ x < n + 1 => <≤=> 1 +< 1 +≤ 1 +
Возводим в степень n ≤ x < n + 1
< (1 + ≤
= =
= =(1 +) = e * 1 = e
по теореме о милиционерах:
= e
Рассмотрим случай x --> -∞
= [t = -x] = ====*=e*1 = e
33. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.
Сравнение бесконечно малых:
1. Если = А (А – действительное число0), то α и ß называются бесконечно малыми одного порядка.
2. Если = 0, то α называется бесконечно малой более высокого порядка , чем ß.
3. Если = ∞, то α называется бесконечно малой более низкого порядка, чем ß.
4. Если не существует, то α и ß называются несравнимыми бесконечно малыми.
Функция f(x) называется бесконечно малой при x --> a, если = 0.
Если = 1, то α и ß называются эквивалентными бесконечно малыми (α ~ ß)
Теорема: Сумма бесконечно малых эквивалентна бесконечно малой более низкого порядка из этой суммы.
Таблица эквивалентных бесконечно малых:
sin x ~ х
tg x ~ х
arcsin х ~ х
arctg x ~ х
1 - cos x ~ x2/2
ех – 1 ~ х
αх – 1 ~ х*ln(a)
ln(1+х) ~ х
loga(l+х) ~ х•logaе
(1+х)k – 1 ~ k*х, k > 0