- •Элементы линейной алгебры
- •1. Операции над матрицами. Свойства операций.
- •2. Определители 2-го и 3-го порядков. Минор и алгебраическое дополнение. Определитель n-го порядка. Свойства определителей.
- •3. Обратная матрица. Теорема существования обратной матрицы.
- •4. Системы линейных уравнений. Матричная запись системы. Формулы Крамера.
- •5. Однородная система линейных уравнений и свойства ее решений.
- •6. Решение систем методом Гаусса.
- •Векторная алгебра
- •7. Линейные операции над векторами. Базис.
- •8. Проекция вектора на ось. Прямоугольная система координат. Координаты точки. Линейные операции над векторами в координатной форме.
- •9. Скалярное произведение векторов, его свойства. Вычисление в координатах.
- •10. Определение правой тройки векторов. Векторное произведение векторов, его свойства, геометрический смысл.
- •11. Смешанное произведение 3-х векторов, его свойства. Геометрический смысл. Вычисление в координатах. Необходимое и достаточное условие компланарности 3-х векторов.
- •16. Виды уравнений прямой в пространстве. Расстояние от точки до прямой.
- •17. Взаимное расположение двух прямых в пространстве, угол между прямыми.
- •18. Взаимное расположение прямой и плоскости, угол между ними.
- •19. Каноническое уравнение эллипса, эксцентриситет, директриса.
- •20. Канонические уравнение гиперболы, эксцентриситет, директриса, асимптоты.
- •21. Каноническое уравнение параболы
- •27. Основные элементарные функции и их графики.
- •28. Предел числовой последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые числовые последовательности. Свойства бесконечно малых.
- •29. Основные теоремы о пределах последовательностей.
- •30. Первый и второй замечательные пределы. Число е.
- •31. Предел функции. Основные теоремы о пределах функций.
- •32. Замечательные пределы для функций.
- •33. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.
- •34. Непрерывные функции. Классификация точек разрыва.
- •35. Свойства непрерывных функций. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •36. Определение производной, ее геометрический смысл.
- •37. Дифференцируемость и непрерывность. Правила дифференцирования.
- •38. Производная сложной функции, функции, заданной неявно, заданной параметрически, обратной функции.
- •39. Производные основных элементарных функций.
- •41. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •42. Теорема Ферма. Теорема Ролля.
- •43. Теорема Лагранжа и следствия из нее. Теорема Коши.
- •44. Правило Лопиталя.
- •45. Возрастание и убывание дифференцируемой функции. Необходимые и достаточные условия.
- •46. Экстремум дифференцируемой функции. Необходимые и достаточные условия.
- •47. Теорема (второе достаточное условие экстремума).
- •48. Выпуклость функции. Необходимые и достаточные условия выпуклости. Точки перегиба.
- •49. Асимптоты графика функций.
10. Определение правой тройки векторов. Векторное произведение векторов, его свойства, геометрический смысл.
Тройка векторов ,иназывается правой, еслинаправлен так, что из его конца кратчайший поворот откпроисходит против часовой стрелки.
Векторным произведением вектора на векторназывается третий векторкоторый обладает следующими свойствами:
Его длина равна
Вектор перпендикулярен к плоскости, в которой лежат вектораи
Вектор направлен так, что поворот от векторак векторуосуществляется против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора(тройка векторов,и– правая).
Основные свойства векторного произведения:
1) Векторное произведение равно нулю, если векторыиколлинеарны или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым.
2) При перестановке местами векторов сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный
Геометрический смысл векторного произведения: модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.
11. Смешанное произведение 3-х векторов, его свойства. Геометрический смысл. Вычисление в координатах. Необходимое и достаточное условие компланарности 3-х векторов.
Смешанным произведением векторов ,,называется число, равное (*)*= (,,)
Модуль смешанного произведения векторов ,,равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах,,.
Свойства:
1) (*)*=*(*)
2) (,,) = (,,) = (,) = - (,,) = ... циклически меняем
3) ,,– компланарны (,,) = 0
4) ,,– правая (,,) > 0
, ,– левая (,,) < 0
5) (1+2,,) = (1,,) + (2,,) (α*,,) = α(,,)
Вычисление в координатах:
Необходимое и достаточное условие компланарности 3-х векторов :
Аналитическая геометрия
12. Виды уравнений прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой.
Виды:
1) Общее уравнение прямой: Ax + By + C = 0
2) Уравнение прямой в отрезках:
3) Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y = kx + b
4) Каноническое уравнение прямой на плоскости:
5) Параметрические уравнения прямой на плоскости:
6) Нормальное уравнение прямой: p- длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, β- угол наклона этого перпендикуляра к осиO.
Расстояние точки A(x1, y1) до прямой Ax + By + C = 0 есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Она определяется по формуле:
13. Взаимное расположение двух прямых на плоскости, угол между прямыми.
Если прямые изаданы общими уравнениямии,
тогда угол между ними находится по формуле:
–условие параллельности прямых и;
–условие перпендикулярности прямых и.
- прямые совпадают.
14. Виды уравнений плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
Виды уравнений плоскости:
1) Общее: Ax + By + Cz + D = 0
2) В отрезках:
3) Нормальное:
Пусть плоскость задана уравнениемAx + By + Cz + D = 0 и дана точка . Тогда расстояниеp от точки Mo до плоскости определяется по формуле
15. Взаимное расположение двух плоскостей, угол между плоскостями.
Взаимное расположение двух плоскостей характеризуется двумя возможностями^
1) Две плоскости не имеют общих точек, и , в таком случае, они называются параллельными
2) Две плоскости имеют хотя бы одну общую точку, и в таком случае они называются пересекающимися.
Пусть наши плоскости изаданы уравнениями:
: :
Косинус угла между плоскостями находится по такой формуле:
1) Плоскости параллельны:
2) Плоскости совпадают, если выполняются следующие условия:
a2*x0 + b2*y0 + c2*z0 + d2 = 0
существует точка M0(x0,y0,z0), принадлежащая плоскости П1