- •Элементы линейной алгебры
- •1. Операции над матрицами. Свойства операций.
- •2. Определители 2-го и 3-го порядков. Минор и алгебраическое дополнение. Определитель n-го порядка. Свойства определителей.
- •3. Обратная матрица. Теорема существования обратной матрицы.
- •4. Системы линейных уравнений. Матричная запись системы. Формулы Крамера.
- •5. Однородная система линейных уравнений и свойства ее решений.
- •6. Решение систем методом Гаусса.
- •Векторная алгебра
- •7. Линейные операции над векторами. Базис.
- •8. Проекция вектора на ось. Прямоугольная система координат. Координаты точки. Линейные операции над векторами в координатной форме.
- •9. Скалярное произведение векторов, его свойства. Вычисление в координатах.
- •10. Определение правой тройки векторов. Векторное произведение векторов, его свойства, геометрический смысл.
- •11. Смешанное произведение 3-х векторов, его свойства. Геометрический смысл. Вычисление в координатах. Необходимое и достаточное условие компланарности 3-х векторов.
- •16. Виды уравнений прямой в пространстве. Расстояние от точки до прямой.
- •17. Взаимное расположение двух прямых в пространстве, угол между прямыми.
- •18. Взаимное расположение прямой и плоскости, угол между ними.
- •19. Каноническое уравнение эллипса, эксцентриситет, директриса.
- •20. Канонические уравнение гиперболы, эксцентриситет, директриса, асимптоты.
- •21. Каноническое уравнение параболы
- •27. Основные элементарные функции и их графики.
- •28. Предел числовой последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые числовые последовательности. Свойства бесконечно малых.
- •29. Основные теоремы о пределах последовательностей.
- •30. Первый и второй замечательные пределы. Число е.
- •31. Предел функции. Основные теоремы о пределах функций.
- •32. Замечательные пределы для функций.
- •33. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.
- •34. Непрерывные функции. Классификация точек разрыва.
- •35. Свойства непрерывных функций. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •36. Определение производной, ее геометрический смысл.
- •37. Дифференцируемость и непрерывность. Правила дифференцирования.
- •38. Производная сложной функции, функции, заданной неявно, заданной параметрически, обратной функции.
- •39. Производные основных элементарных функций.
- •41. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •42. Теорема Ферма. Теорема Ролля.
- •43. Теорема Лагранжа и следствия из нее. Теорема Коши.
- •44. Правило Лопиталя.
- •45. Возрастание и убывание дифференцируемой функции. Необходимые и достаточные условия.
- •46. Экстремум дифференцируемой функции. Необходимые и достаточные условия.
- •47. Теорема (второе достаточное условие экстремума).
- •48. Выпуклость функции. Необходимые и достаточные условия выпуклости. Точки перегиба.
- •49. Асимптоты графика функций.
16. Виды уравнений прямой в пространстве. Расстояние от точки до прямой.
Виды:
1) Прямая в пространстве в прямоугольной системе координатOxyzможет быть задана системой из уравнений двух пересекающихся плоскостей
2) Параметрические уравнения прямой в пространстве: гдеx0,y0иz0– координаты некоторой точки прямой,m,n,p- соответствующие координаты направляющего вектора прямой, аt- некоторый параметр.
3) Каноническое уравнение прямой в пространстве:
Расстояние от точки до прямой: ,| | - длина вектора прямой,Mo – точка, лежащая на прямой l, P – точка.
17. Взаимное расположение двух прямых в пространстве, угол между прямыми.
1) Прямые скрещиваются: (,,) ≠ 0
2) Прямые параллельны: (,,) = 0, ||
3) Прямые пересекаются (,,) = 0, не параллельна
Угол между прямыми aиb:
18. Взаимное расположение прямой и плоскости, угол между ними.
Плоскость: Ax + By + Cz + D = 0
Прямая:
1) Параллельны: Al + Bm + Cn = 0
2) Перпендикулярны: = =
3) Прямая лежит в плоскости: Al + Bm + Cn = 0 и Axo + Byo + Czo + D = 0
Угол между плоскостью и прямой:
Sin α = cos β = cos () = =
19. Каноническое уравнение эллипса, эксцентриситет, директриса.
Эллипс - геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, бОльшая, чем расстояние между данными точками.
Эксцентриситет - отношение фокусного расстояния к большей оси: E =
Директрисы эллипса - две прямые, которые в канонической для эллипса системе координат имеют уравнения
20. Канонические уравнение гиперболы, эксцентриситет, директриса, асимптоты.
Гипербола - геометрическое место точек, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек (фокусов) есть величина постоянная, мЕньшая, чем расстояния между этими точками.
Эксцентриситет - отношение фокусного расстояния к большей оси: E =
Директрисами гиперболы называются две прямые, уравнения которых в канонической для гиперболы системе координат имеют вид .
Прямая называется асимптотой кривой, если при удалении от начала координат расстояние между кривой и асимптотой стремится к нулю.
Прямые называются асимптотами гиперболы.
21. Каноническое уравнение параболы
Парабола – геометрическое место точек, равноудалённых от заданной точки, называемой фокусом и от заданной прямой, называемой директрисой.
P – расстояние между фокусом и директрисой параболы.
22. Поверхности 2-го порядка. Эллипсоид. Гиперболоид. Конус.
Общий вид поверхности 2-го порядка: Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Eyy + Fzx + Lx + My + Nz + K = 0
1) Эллипсоид
2)Однополостный гиперболоид (рис. 1) -
Двуполостный гиперболоид (рис. 2) -
3) Конус
23. Эллиптический и гиперболический параболоиды.
Эллиптический параболоид:
Гиперболический параболоид: a > 0, b >
24. Поверхности вращения.
Пусть L – прямая в плоскости P. Будем вращать P вокруг прямой L, тогда точки некоторой кривой в плоскости P будут описывать поверхность, состоящую из окружности. Такая поверхность называется поверхностью вращения.
Каноническое уравнение эллипсоида:
При a = b Получится эллипсоид вращения вокруг оси Oz
При a = c – вокруг оси Oy (рис. 29)
При b = c – вокруг оси Ox
При a = b = c - сфера
25. Цилиндрические поверхности.
Любое уравнение f (x,y) = 0 можно рассматривать как цилиндрическую поверхность с образующей параллельной OZ и направляющей кривой F (x,y) = 0.
Если уравнение F (x,y) = 0 определяет кривую 2-го порядка, то она называется цилиндрической поверхностью 2-го порядка.
1) Эллиптический цилиндр
2) Гиперболоид цилиндрический
3) Параболический цилиндр: y2= 2px(p>0 )
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
26. Понятие функции. Способы задания функции. Свойства функций. Обратная функция.
Пусть x,y≠ 0. Функция – соответствиеf, по которому любойx, принадлежащий множествуXсопоставлено единственномуy, принадлежащему множествуY.y=f(x)
Способы задания функции:
1) Аналитический
2) Табличный
3) Графический
4) Словесный
Свойства функции:
1) чётность/нечётность чётная (симметрична относительно Oy), еслиf(-x) =f(x);
нечётная (симметрична относительно начала координат), если f(-x) = -f(x)
2) Возрастание\убывание
3) Ограниченность. f(x) ограничена, если существуетM> 0, такое, чтоf(x) <M(илиf(x) >M, если ограничена снизу) при любомx.
4) Периодичность. Функция f(x) называется периодической с периодомT> 0, еслиf(x) =f(x+T), при любомx.
Пусть X– область определения, аY– область значений функцииf. Если для любогоyиз области значений существует единственныйx, принадлежащий области определения, то говорят, что определена обратная функция кy=f(x) (f-1)
Любая монотонная функция обладает обратной функцией.
Геометрический смысл: Функция и обратная к ней функция симметрична относительно y=x.