4.5 Общая степенная и тригонометрические функции. Функция Жуковского

1. Общая степенная функция , где — фиксированное комплексное число, определяется соотношением .

Полагая , получаем Ln z = ln r + i(φ + 2πk). Следовательно, .

Отсюда видно, что при модуль принимает бесконечное множество значений. Таким образом, при функция будет бесконечнозначной.

Общая степенная функция в силу своего определения допускает выделение регулярных ветвей в тех же областях, что и логарифмическая; например в плоскости с разрезом по лучу. Ветвь , выделенная в плоскости с разрезом вдоль отрицательной полуоси, называется главной ветвью степенной функции. В силу теоремы о производной сложной функции для каждой регулярной ветви степенной функции справедливы равенства ,

где f (z) — регулярная ветвь логарифмической функции Ln z. Мы получили обычную формулу для производной степенной функции:

.

2. Перейдем к тригонометрическим функциям. Для действительных значений х из формулы Эйлера следует, что

е^iх = cos х + i sin x, е^{- iх} = cos x — i sin x.

Отсюда cos x = , sin x =.Эти формулы служат основой следующего определения.

Тригонометрические функции комплексного переменного z определяются равенствами

,,,.(26) Определенные таким образом функции сохраняют многие свойства тригонометрических функций действительного переменного. Из периодичности функции e^z следует, что функции sin z и cos z периодичны с периодом 2 π, a tg z и ctg z — с периодом π. Функция sin z нечетна, a cos z — четна. Действительно, . Аналогично доказывается четность функции cos z. Для функций, определенных равенствами (26), справедливы обычные тригонометрические соотношения. Например,

sin² z + cos² z = 1, sin(z₁ + z₂) = sin z₁ cos z₂ + cos z₁ sin z₂ и т.д. Все эти соотношения вытекают из (26).

Функции sin z и cos z аналитичны во всей плоскости С, причем имеют место обычные формулы дифференцирования:

(sin z) ' = cos z, (cos z) ' = - sin z.

Докажем, например, формулу для производной sinz: Используя формулы для производной частного, получим

,.

Однако не все свойства тригонометрических функций действительного переменного сохраняются при продолжении этих функций в комплексную плоскость. В частности, sinz и cosz могут принимать значения, по модулю превосходящие 1. Например,

;.

3. Функции, обратные (26), называются обратными тригонометрическими функциями. Так как тригонометрические функции (26) периодичны, то обратные к ним функции будут бесконечнозначными. В силу того что функции (26) достаточно просто выражаются через показательные, обратные к ним функции удается выразить через логарифмы. Получим такое выражение, например, для w = Arccos z. Из определения этой функции имеем

z = cos w = , откуда e^{2 iw} — 2ze ^iw + 1 = 0. Решая это квадратное уравнение относительно e ^iw, находим (мы опускаем ± перед знаком квадратного корня, поскольку понимаем корень как двузначную функцию, принимающую оба соответствующих значения). Из последнего равенства получаем

.

В силу соотношения изменение знака перед корнем приводит к изменению знака перед логарифмом. Но корень принимает значения как с "+" так и с "—". Значит, и среди значений Arccos z будут значения как с "+", так и с " —" перед логарифмом. Поэтому знак "—" можно не писать:

(27)

Аналогичные формулы можно дать и для других обратных тригонометрических функций:

(28)

Из элементарных функций комплексного переменного отметим также гиперболические функции sh z, ch z, th z, и cth z, определяемые равенствами

,,

,, (29)

Они весьма просто выражаются через тригонометрические функции:

sh z = — i sin iz, ch z = cos iz, th z = — i tg iz, cth z = i ctg iz,

и поэтому несущественно отличаются от последних.

4. Функцией Жуковского называется функция

. (30)

Эта функция имеет важные применения в теории крыла самолета, а также весьма полезна при построении ряда конформных отображений. Она аналитична всюду в , кроме точекz = 0 и z = ∞. Производная

существует всюду в , за исключением точекz = 0 и z = ∞, и обращается в нуль при z = ±1. Поэтому отображение (30) конформно всюду, кроме точек 0, ±1 ,∞.

Выясним, при каком условии две различные точки переходят в одну и ту же точку. Пусть z₁ ≠ z₂ и .

Отсюда следует, что .

Так как z₁ ≠ z₂, то это равенство равносильно условию z_lz₂ = 1. (31)

Поэтому для однолистности функции Жуковского в некоторой области D необходимо и достаточно, чтобы эта область не содержала пары различных точек, удовлетворяющих условию (31). Такими областями являются, например, внешность |z| > 1 единичного круга (при этом |z₁z₂| > 1) и внутренность |z| < 1 этого круга (|z₁z₂| < 1).

Чтобы наглядно представить себе отображение (30), выясним, в какие кривые оно переводит окружности (показаны на рис. 9а сплошными линиями) и лучи (показаны пунктирами). Положим z =. Тогда (30) перепишется в виде, откуда(32)

Рассмотрим образы окружностей r = r₀. Из (32) следует

,

(рис. 9)

Возводя эти равенства в квадрат, складывая и полагая r = r₀, получим

(33)

Уравнение (33) является уравнением эллипса с полуосями

Итак, образами окружностей |z| = r₀ в плоскости z будут эллипсы в плоскости w (рис. 9б). Если r₀ → 1, то a _{r 0} → 1, b _{r 0} → 0. Поэтому эллипсы будут стягиваться к отрезку [—1,1]. При больших r₀ разность a _{r 0} — b _{r 0} = мала, и эллипсы мало отличаются от окружностей.

Чтобы получить образ лучей , преобразуем равенства (32) к виду

Возводя эти равенства в квадрат, вычитая из первого второе и полагая , получим(34)

Уравнение (34) является уравнением гиперболы с полуосями ,. Следовательно, лучиотображаются в части гипербол (рис. 9б).

Таким образом, функция Жуковского взаимно-однозначно и конформно отображает внешность единичного круга на внешность отрезка [-1,1].

Из (30) легко видеть, что w(z) = w(l/z). Функция w = 1/z взаимно-однозначно и конформно отображает внутренность круга |z| < 1 на внешность этого же круга. Отсюда следует, что функция Жуковского взаимно-однозначно и конформно отображает также и внутренность единичного круга на внешность отрезка [—1,1].

Список литературы.