2. Понятие конформного отображения.

Отображение называется конформным в точке z₀, если: 1) при этом отображении сохраняются углы между любыми двумя кривыми, проходящими через точку z₀; 2) растяжение в точке z₀ не зависит от направления.

Если конформное отображение сохраняет и направление отсчета углов, то оно называется конформным отображением первого рода; если направление отсчета углов меняется на противоположное, то конформным отображением второго рода.

Полученные выше результаты сформулируем в виде теоремы.

Теорема 1. Если функция w = f (z) является аналитической в точке z₀ и f ’(z₀) ≠ 0, то f (z) осуществляет конформное отображение первого рода в точке z₀. При этом Arg f ' (z₀) означает угол поворота, a |f ' (z₀)| — коэффициент растяжения при данном отображении.

Пример конформного отображения второго рода дает функция (не аналитическая!) w = , которая каждую область D отображает на область Е, симметричную D относительно оси ОХ.

Если f '(z₀) = 0, то отображение, вообще говоря, уже не будет конформным в точке z₀. Так, отображение w = z² увеличивает вдвое углы между лучами в начале координат.

Отметим, что в силу общих свойств аналитических функций в окрестности точки w₀ определена однозначная аналитическая функция z = φ ( w). Тем самым между окрестностями точек z₀ и w₀ установлено взаимно однозначное соответствие. Введем следующее фундаментальное определение.

Определение. Взаимно однозначное отображение области ϑ комплексной плоскости z на область G комплексной плоскости w называется конформным, если это отображение во всех точках z ϑ обладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжений.

Подчеркнем, что данное определение подразумевает непрерывность рассматриваемого отображения.

Выясним теперь какими свойствами должна обладать функция комплексной переменной для того, чтобы отображение, осуществляемое этой функцией, было конформным. Имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Пусть функция f (z) является однозначной и однолистной аналитической функцией в области ϑ и f ’ (z) ≠ 0 при z ϑ. Тогда функция f (z) производит конформное отображение области ϑ на область G комплексной плоскости w, представляющую собой область значений функции w = f (z) при z ϑ.

Доказательство. Действительно, в силу условия f ’ (z) ≠ 0 при z ϑ отображение, осуществляемое функцией f (z), во всех точках области ϑ обладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжений, что и доказывает теорему.

Итак, условия аналитичности, однолистности и отличия от нуля производной функции комплексной переменной являются достаточными условиями конформности отображения, осуществляемого этой функцией. Естественно поставить вопрос, являются ли условия необходимыми. На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема 3. Пусть функция f (z) осуществляет конформное отображение области ϑ комплексной плоскости z на область G комплексной плоскости w и ограничена в ϑ. Тогда функция f (z) является однолистной и аналитической в области ϑ, причем f ’ (z) ≠ 0 при z ϑ.

Доказательство. Так как отображение, осуществляемое функцией f (z), является конформным, то оно является взаимно однозначным, и в любой точке z₀ ϑ выполняются свойства сохранения углов и постоянства растяжений. Следовательно, для любых точек z₁ и z₂, принадлежащих окрестности точки z₀, с точностью до бесконечно малых величин выполняются соотношения

(4)

и , (5)

где Δz₁ = z₁ - z₀ и Δz₂ = z₂ - z₀ суть бесконечно малые линейные элементы, выходящие из точки z₀, а Δw₁ и Δw₂ – их образы (рис. 3).

(рис. 3)

Заметим, что в силу (4) соответствующие углы в точках z₀ и w₀ равны не только по абсолютной величине, но и по направлению. Обозначив arg через, из (4) найдем, что иarg. Действительно,. (6)

Из (5) и (6) получим, что с точностью до бесконечно малых величин имеет место соотношение .(7)

В силу произвольности выбора точек z₁ и z₂ в окрестности точки z₀ соотношение (7) означает, что существует предел разностного отношенияпри. Этот предел по определению является производной функцииf (z) в точке z₀. Так как , то эта производная отлична от нуля:. (8)

Точка z₀ – произвольная точка области ϑ; поэтому из (8) следует, что функция f (z) является аналитической в области ϑ и f ’ (z) ≠ 0 при z ϑ. Однолистность следует из взаимной однозначности отображения. Теорема доказана.

Итак, конформное отображение области ϑ комплексной плоскости z на область G комплексной плоскости w осуществляется только однолистными аналитическими функциями комплексной переменной с производной, отличной от нуля во всех точках области ϑ.

Отметим, что условие f ’ (z) ≠ 0 всюду в области ϑ является необходимым, но недостаточным условием конформности отображения области ϑ на область G, осуществляемого функцией f (z).