- •«Конформные отображения»
- •1. Геометрический смысл производной функции комплексного переменного.
- •2. Понятие конформного отображения.
- •3. Общие свойства конформных отображений
- •4. Основные функции.
- •4.1 Линейная функция.
- •4.2 Дробно-линейная функция.
- •4.3 Степенная функция. Понятие римановой поверхности.
- •4.4 Показательная и логарифмическая функции
- •4.5 Общая степенная и тригонометрические функции. Функция Жуковского
- •1. Эйдерман в. Я. «Основы теории функций комплексного переменного и операционного исчисления.»
- •2. Свешников а. Г., Тихонов а. Н. «Теория функций комплексной переменной»
4.4 Показательная и логарифмическая функции
1. Показательная функция ez определяется следующими соотношениями: для любого комплексного числа z = х + iу
ez = ex + iy = ex(cos y + i sin y). (21)
Второе равенство в (21) получается, если принять по определению ех + iу = ехеiу и применить к еiу формулу Эйлера . Из (21) следует, что
|ez| = |еx+iу| = еx, Arg ez = у + 2 πn.
Определение (21) и свойства функции еiφ позволяют легко доказать, что функция ez обладает обычными свойствами показательной функции:
ez1+z2 = ez1ez2; ez1 – z2 = ez1/ez2; (ez)n = enz.
Докажем, что функция ez будет аналитической во всей комплексной плоскости С. Для этого надо проверить выполнимость условий Коши—Римана (7). Если w = u + iv, то в силу (21) u + iv = ех cos у + iех sin у, откуда u = ех cos у, v = ex sin y;
Таким образом, условия (7) выполнены, и аналитичность функции ez доказана. Чтобы вычислить производную (ez)’, воспользуемся независимостью производной от направления и вычислим производную в направлении оси ОХ:
.
Следовательно, для производной функции ez имеет место обычная формула
(ez)’ = еz .
Следующее свойство функции ez не имеет аналога в случае показательной функции действительного переменного: функция ez является периодической с чисто мнимым периодом 2πi. В самом деле, для любого целого n
ez +2πni = ex(cos(y + 2πn) + i sin(у+2πn)) = еx(cos y + i sin y) = ez.
Из периодичности функции w = ez следует, в частности, что она не является однолистной во всей комплексной плоскости. Для выяснения, в каких областях эта функция однолистна, положим z1 = x1 + iy1, z2 = х2 + iy2. В силу (21), равенство ez1 = ez2 равносильно следующим условиям:
ex1 = ex2, cos y1 = cos y2, sin y1 = sin y2,
откуда следует х1 = x2, y1 = y2 + 2πn, где n — произвольное целое число, или
z1 – z2 = 2πni. (22)
Следовательно, для взаимной однозначности отображения w = ez в области D необходимо и достаточно, чтобы D не содержала никакой пары точек, для которой справедливо (22). В частности, этому условию удовлетворяет любая горизонтальная полоса шириной 2π, например полосы
{z : - ∞ < х < ∞, 2πk < у < 2 π(k + 1)}, k = 0, ±1, ±2,...
Каждой такой полосе соответствует совокупность значений w = ez = exeiy = ρeiθ для которых, в силу равенств ρ = ех, θ = у, имеем
0 < ρ < ∞, 2πk < θ < 2π(k + 1).
Эти значения w заполняют всю комплексную плоскость переменного w с разрезом по действительной положительной полуоси. При этом прямые у = у0 (показаны на рис. 7, а пунктиром) переходят в лучи θ = у0 (рис. 7б), а интервалы x = x0, 2πk< у < 2π(k + 1) (показаны сплошными линиями (рис. 7)
для k = 0) — в окружности ρex0 (с выколотыми точками на полуоси u > 0). Полосы 0 < Im z < h < 2 π показательная функция ez отображает в углы 0 < θ < h. В частности, полоса 0 < Im z < π переводится в верхнюю полуплоскость.
2. Логарифмической функцией называется функция, обратная показательной.
Так как показательная функция ez не является однолистной в С, то обратная к ней функция будет многозначной. Эта многозначная логарифмическая функция обозначается Ln z. Таким образом, если w = Ln z, то z = ew. Положим
w = u + iv, z = r eiφ = reiArg z.
Тогда
reiArg z = z = ew = eu + iv = eueiv.
Сравнивая числа, стоящие в начале и конце этой цепочки, заключаем, что
r = eu, e i Arg z = eiv. (23)
Из первого равенства находим u = ln r, где ln r — обычный натуральный логарифм положительного числа r. Второе равенство в (23) дает v = Arg z. Таким образом,
Lnz = ln |z| + i Arg z. (24)
Каждому комплексному числу z, отличному от 0 и ∞, формула (24) ставит в соответствие бесконечное множество значений Ln z, отличающихся друг от друга на величину 2 πki, где k — любое целое число. Удобно представить Arg z в виде
Arg z = arg z + 2 πk, - π < arg z ≤ π,
где arg z — главное значение аргумента. Тогда формула (24) примет вид
Ln z = ln |z| +i(arg z + 2πk ). (25)
Для каждого значения k функция Ln z является непрерывной однозначной функцией в комплексной плоскости с разрезом по отрицательной полуоси; она также и аналитична в этой области как функция, обратная аналитической функции ez. Таким образом, для каждого фиксированного k формула (25) определяет регулярную ветвь многозначной функции Ln z. Эта ветвь взаимно-однозначно отображает плоскость с разрезом по отрицательной полуоси в полосу
- π + 2 πk < Im w < π + 2πk.
Ветвь, которая получается при k = 0, обозначается ln z и называется главным значением многозначной функции Ln z:
ln z = ln |z| + i arg z.
Например, ln i = ln 1 + iπ/2 = iπ/2; ln(-i) = ln 1 — iπ/2 = —iπ/2. Если приближаться к точке z = — 1 по верхней полуплоскости у > 0, то ; если по нижней, — то .
Чтобы представить себе риманову поверхность функции Ln z, возьмем бесконечное количество экземпляров ("листов") плоскости с разрезом по отрицательной полуоси и склеим их так, как показано на рис. 8. Над каждой точкой плоскости, кроме точек z = 0 и z = ∞,
располагается бесконечно много точек (рис. 8)
римановой поверхности. В точках 0 и ∞ функция Ln z не определена, и точек поверхности над ними нет. Точки z = 0 и z = ∞ называются точками ветвления бесконечного порядка.
Рис. 8 наглядно демонстрирует причину того, что : если предположить, что точки — 1 ± h, h > 0, находятся на одном и том же листе римановой поверхности и устремить h, к нулю, то предельные положения этих точек окажутся на разных листах римановой поверхности.
Выделить регулярную ветвь логарифма можно не только в области D, являющейся плоскостью с разрезом по отрицательной полуоси. Если сделать разрез плоскости по любому лучу, то полученная область также допускает выделение в ней регулярной ветви. Пусть разрез сделан по лучу, идущему под углом θ к оси ОХ. Тогда регулярные ветви будут задаваться следующей формулой: при z = eiφ
Ln z = ln r + i(φ + 2πk), θ < φ < θ + 2 π.
Формула (25) является частным случаем при θ = - π. Производная каждой регулярной ветви f (z) логарифма находится по формуле , аналогичной формуле для производной логарифмической функции действительного переменного. Этот факт выводится из равенства (ez)’ = ez и формулы (19) производной обратной функции. Действительно, обратной к w = f(z) будет функция z = ew. Отсюда и из (19) получаем
.