Синхронный и асинхронный режимы показаны на рис. 13.2. Кри­тическое значение параметра связи при а = 0.7 равно е_с и 0.228 (это значение будет аналитически выведено ниже). Полная синхрониза­ция, как на рис. 13.2а, наблюдается при сильной связи 1/2 > е > е_с, асинхронный режим существует при более слабом взаимодействии (рис. 13.2Ь,с).

На рис. 13.3 показана динамика системы вблизи порога синхрони­зации, ее описанию будет посвящена большая часть этой главы. Для описания перехода к синхронизации при е = е_с, удобно перейти к новым переменным

_{?7 =} £+У₎ y ₌ £ZJ^ (13.6)

Заметим, что в режиме полной синхронизации переменная V тожде­ственно равна нулю; в почти синхронном режиме она мала. Геоме­трически, переменная U направлена вдоль диагонали х = у, а пере­менная V соответствует поперечному направлению. Для слабо асин­хронного состояния вблизи е_с характерны перемежающиеся всплески

(а) (Ь) (с)

0.0

0.0 0.5 1.0 0.0 0.5 1.0 0.0 0.5 1.0

x x x

Рис. 13.2. Аттракторы в системе двух связанных отображениях типа косой тент при а = 0.7. Порог синхронизации равен е_с и 0.228. (а) Синхронный режим (t = 0.3) лежит на диагонали х = у. (Ь) Слабо асинхронное состояние сосредоточено вблизи нее. (с) При слабой связи (t = 0.1) мгновенные значения переменных х и у практически некор-релированы. Переход от (а) к (Ь) называют нарушением симметрии хаоса, или «взрывом» (blowout).

переменной V, как на рис. 13.3. Редкие, но большие выбросы V типичны для этой модуляционной перемежаемости (иногда ее называют «оп - off» или «включено - выключено»). При теорети­ческом описании ниже будет показано, что естественной переменной для построения теории служит логарифм переменной \V\, поэтому динамика In \ V\ также представлена на рис. 13.3.

13.2 Устойчивость синхронного режима

2. время

В первую очередь отметим, что, поскольку система (13.4) симметрич­на по отношению к перестановке переменных (другими словами, она инвариантна по отношению к преобразованию х <->• у), синхронное состояние x(t) = y(t) является решением (13.4) при любых значени­ях параметра связи е. Это означает, что симметричные начальные условия (т.е. х(0) = у(0) или V = 0) остаются симметричными в про­цессе эволюции. Если же мы хотим, чтобы симметричное состояние наблюдалось не только при специальных, но и при прозвольных на­чальных условиях, нужно дополнительно потребовать устойчивость этого состояния: полностью синхронный режим V = 0 должен быть

аттрактором, т.е. синхронное состояние должно устанавливаться и при асимметричных начальных условиях. Критическое значение па­раметра связи е_с, при котором наступает синхронизация, вытекает из условия устойчивости. Поскольку V соответствует поперечному направлению, устойчивость синхронного состояния часто называют поперечной устойчивостью симметричного аттрактора. Перепишем уравнения (13.4) в переменных U и V (13.6):

U(t +1) = \[f{U{t) + V(t)) + f(U(t) - F(f))], (13.7) V(t + 1) = ¹-=^[f(U(t) + V(t)) - f(U(t) - V(t))]. (13.8)

Линеаризуя эту систему вблизи полностью синхронного состояния U(t), V = 0 получим линейное отображение для малых возмущений и и v

u{t+l) = f'(U(t))u(t), (13.9)

_v(t + 1) = (1 - 2e)f{U{t))v{t). (13.10)

Эту линейную систему следует итерировать параллельно с нелиней­ным отображением, задающим синхронную хаотическую динамику

U(t+l) = f(U(t)). (13.11)

Поскольку в линейном приближении уравнения для возмущений и и v независимы, продольные (т.е. симметричные, и) и поперечные (асимметричные, v) возмущения не взаимодействуют, и их можно рассматривать по отдельности. В основе дальнейшего рассмотрения лежит наблюдение, что линеаризованные уравнения (13.9) и (13.10) описывают рост и убывание возмущений хаотического режима, и количественно этот рост (или убывание) задаются ляпуновский по­казателем системы. Действительно, для двумерного отображение можно определить два ляпуновских показателя, и поскольку в на­шем случае переменные и и v независимы, эти показатели просто определяются средними логарифмами показателей роста и и v:

Х_и = lim ^1пИ*)|-^1пИ°)1 _{= {1п} 1/^)1). (13.12)

t-*oo t

x_v= _Hm^l^)binN0)|_{=1 0 m}

t-*oo t

Используя эргодичность хаоса, мы можем заменить среднее по вре­мени статистическим средним по инвариантной мере, последнее бу­дем обозначать скобками {). Из уравнения (13.9) следует, что сим­метричное возмущение и есть не что иное как возмущение в хаоти­ческом отображении (13.11), так что продольный (не нарушающий

синхронизацию) ляпуновский показатель А_и есть не что иное как ляпуновский показатель одиночной системы Л. Поперечный ляпу­новский показатель Aj_ = Л_г, выражается через Л по формуле

Aj. = ln|l-2£|+A. (13.14)

Таким образом, средний рост (или убывание) поперечных возмуще­ний v определяется поперечным показателем Aj_: ln|v(i)| ос X±t, и критерий устойчивости синхронного состояния формулируется сле­дующим образом:

Aj_ > 0: синхронное состояние неустойчиво, Aj_ < 0: синхронное состояние устойчиво.

Порог устойчивости находится из условия Aj_ = 0:

1п|1-2_£с| = -Л, л- ' "J \ (13.15)

Например, для логистического отображения ляпуновский показа­тель равен А = In 2, так что е_с = 1/4. Выше мы рассматривали устойчивость в среднем, т.е. определяемую средним показателем роста возмущений. Соотношение этого определения устойчивости с другими возможными определениями (например, с асимптотической устойчивостью) весьма нетривиально и является основным предме­том дальнейшего обсуждения.

13.3 Статистическая теория перехода к синхронизации

В этом разделе мы дадим статистическое описание явлений вблизи порога синхронизации. Основная идея состоит в представлении эво­люции поперечного возмущения v динамикой процесса, вынуждае­мого случайной силой, т.е. мы рассматриваем синхронный хаос как случайный процесс. При этом мы пренебрегаем практически всеми динамическими (детерминированными) чертами хаоса - не удиви­тельно, что теория работает тем лучше, чем сильнее хаос. Результа­ты этого теоретического подхода мы проиллюстрируем на примере отображения типа косой тент.