- •Часть I: Синхронизация без формул
- •Глава 1 Введение 19
- •Глава 2 Основные понятия: автоколебательная си- стема и ее фаза 49
- •Глава 3 Синхронизация периодических автоколеба- ний внешней силой 72
- •Глава 4 Синхронизация двух и многих осциллято- ров 140
- •Глава 5 Синхронизация хаотических систем 184
- •Глава 6 Экспериментальное исследование синхро- низации 204
- •Часть II: Захват фазы и частоты
- •Глава 7 Синхронизация периодических автоколеба- ний периодическим внешним воздействием 231
- •Глава 8 Взаимная синхронизация двух взаимодей- ствующих периодических осцилляторов .... 286
- •Глава 14 Полная синхронизация II: обобщения и
- •Глава 15 Синхронизация сложной динамики внеш- ним воздействием 429
- •Часть I
- •Глава 1 Введение
- •Глава 2
- •Глава 3
- •3.2.3 Захват последовательностью импульсов
- •3.2.6 Захват фазы и частоты: общий подход
- •3.3.Б Пример: синхронизация песен сверчков
- •3.5.4 Синхронизация плазмодия миксомицета
- •3.6 Явления, близкие к синхронизации
- •Глава 4
- •4.1.1 Два взаимодействующих осциллятора
- •4.1.3 Пример: частота дыхания и частота взмаха крыльев свободно летящих уток
- •4.1.4 Пример: переход между состояниями с
- •4.4.6 Синхронизация в нейронных системах
- •Глава 5
- •5.1.2 Чувствительность к начальным условиям
- •5.3.1 Полная синхронизация идентичных систем. Пример: синхронизация двух лазеров
- •5.3.4 Синхронизация путем подавления хаоса
- •Глава 6
- •6.2 Анализ данных в «активном» и «пассивном» эксперименте
- •6.3.1 Непосредственный анализ разности фаз. Пример: регуляция позы человека
- •Часть II
- •Глава 7
- •7.1.1 Предельный цикл и фаза автоколебаний
- •7.1.8 Итоги рассмотрения фазовой динамики
- •7.2 Слабо нелинейные автоколебания
- •7.3 Отображения окружности и кольца
- •7.5 Системы фазовой автоподстройки
- •Глава 8
- •8.2 Слабонелинейные осцилляторы
- •Глава 9
- •9.1 Автоколебания в присутствии шума
- •Глава 10
- •Глава 11
- •Глава 11. Синхронизация в осциллирующих средах уравнения движения как естественное обобщение уравнения (8.5):
- •11.3.1 Комплексное уравнение Гинзбурга-Ландау
- •Глава 12
- •12.3.3 Связанные релаксационные осцилляторы
- •Часть III
- •Глава 13
- •13.2 Устойчивость синхронного режима
- •13.3.1 Возмущение как случайное блуждание
- •Глава 14
- •14.1.3 Глобальная связь (через среднее поле)
- •14.2 Системы с непрерывным временем
- •2 В теории клеточных автоматов эту область называют кластером.
- •Глава 15
12.3.3 Связанные релаксационные осцилляторы
Ансамбли связанных релаксационных осцилляторов часто используются для моделирования поведения больших групп нейронов (см. например, [Hoppensteadt and Izhikevich 1997; Tass 1999]). Индивидуальный нейрон может рассматриваться как осциллятор накопление -сброс описанный в разделе 8.3; обычно один нейрон воздействует на множество других через синапсы. Часто используемая модель глобально связанных релаксационных осцилляторов была предложена Миролло и Строгатцем [Mirollo and Strogatz 1990b]; она является простым обобщением модели двух взаимодействующих систем накопление - сброс, рассмотренных в разделе 8.3.
Осцилляторы предполагаются идентичными. Каждый из них описывается переменной ж,;, которая в режиме накопления подчиняется уравнению
dxk dt
S - 7.¾.
Когда осциллятор достигает порога .¾ = 1, он стреляет: переменная xj~ сбрасывается в ноль. При этом все остальные переменные xj> 3 Ф к мгновенно увеличиваются на величину e/N и могут также достичь порога.3 Следовательно, некоторые осцилляторы могут выстрелить в один и тот же момент времени. Мы предполагаем, однако, что осциллятор в состоянии х = 0 (т.е. немедленно после сброса) не подвержен воздействию со стороны других, так что состояние х = 0 является абсорбирующим. Это свойство приводит к идеальной синхронизации: если два осциллятора стреляют в один и тот же момент времени, то в дальнейшем их поведение идентично. В общем случае нельзя исключить существования асинхронных состояний, но Миролло и Строгатц [Mirollo and Strogatz 1990b] доказали, что множество начальных условий, соответствующих асинхронным решениям, имеет нулевую меру. Таким образом, с вероятностью единица в популяции устанавливается режим с идеальным совпадением фаз, при котором все осцилляторы генерируют импульсы одновременно. Эти результаты справедливы для любого N > 2. Мы иллюстрируем переход от изначально случайного распределения фаз к идеальному захвату фаз в модели Миролло и Строгатца на рис. 12.3.
3 Мы опять нормализуем величину силы связи на число осцилляторов, чтобы получить разумный результат в термодинамическом пределе jV —\ оо.
Продемонстрируем, что цепочка последовательно соединенных идентичных контактов Джозефсона может рассматриваться как система глобально связанных ротаторов. Связь осуществляется параллельной нагрузкой, как показано на рис. 12.4.
Чтобы записать уравнения системы, напомним основные свойства контактов Джозефсона (см. раздел 7.4 и [Barone and Paterno 1982; Likharev 1991]). Каждый контакт характеризуется углом Ф^; сверхпроводящий ток обозначен как /сзіпФ^, и напряжение на контакте как \},. = ФЙ/2е. Ток через все контакты один и тот же, поэтому
м
ей & О
(Я S
а о о
&
(D
S О
я
100
R
/csinWfc = J —, (12.36)
2eR dt dl
где Q - это ток через параллельную .RLC-нагрузку. Добавляя уравнение для нагрузки
d2Q d.Q Q Һ Л d^k
к=1
получаем полную систему уравнений движения. Одиночный контакт Джозефсона эквивалентен ротатору и система уравнений (12.36) и (12.37) есть система уравнений глобально связанных ротаторов. Связь не возникает непосредственно в уравнении движения каждого ротатора, потому что «глобальная переменная» Q инерционна и описывается отдельным уравнением.
Продемонстриуем, следуя работе [Wiesenfeld and Swift 1995], что для малой связи система эквивалентна модели Курамото (раздел 12.1). Рассмотрим случай большого внешнего тока /. В этом случае среднее напряжение на всех контактах отлично от нуля (все ротаторы вращаются), и мы можем ввести фазу в соответствии с нашим определением, как переменную, соответствующую движению с постоянной скоростью по предельному циклу (см. раздел 7.1). Несвязанные ротаторы описываются уравнением (12.36) с Q = О, и преобразование к равномерно вращающейся фазе ф может быть записано в явном виде:
12.38)
Вычисляя производную по времени от фк с помощью уравнения (12.36) и используя тождество
I - /с sin Ф = (/2^ /с2)/(/ -/с cos ф) , (12.39)
которое следует из (12.38), мы получаем уравнение для фазы
<іфк Аш0(І-Іс cos фк)
= • (12-40)
Здесь шо - это частота автономных вращений 2еЖ\/і2 — І2/Һ.
Пока мы не сделали никаких приближений и уравнение (12.40) является точным. Используем теперь метод усреднения аналогично тому, как описано в разделах 7.1 и 8.1. В нулевом приближении
ос
Q^ = EftnCOs(n4"«. (12.41)
Рассмотрим основную компоненту п = 1. Уравнение движения для Qki получается поспе подстановки cfiff/dt в (12.37) в соответствии с (12.36) и выражения эшФ через ф с помощью уравнения (12.39):
с
LQki + (r + NR)Qki + %± = ((R
С \\ І^Іссоз(Шоі + ФІ)
= RI-Ңі2 - I2 - Іх/Р - /с2) cos(w0* + Ф°к). (12.42)
Здесь {{•)) означает взятие первой гармоники периодической функции. Решение линейного уравнения (12.42) есть
Qki = R
11(-/у//2^cos(w0t + а + фі).W(l/C - ^о2)2 + (г + NR)*u* К к1'
где
Ьш2 - IIС
cos а -
y/U/C ^Luilf+ {r + NRYujl
Теперь мы можем подставить это решение в (12.40) и осреднить по периоду быстрых вращений 2tt/uiq. Предположим также, что фазы ф® являются медленными функциями времени. Легко видеть, что высшие гармоники п > 1 не вносят вклад в усредненное уравнение. В результате, мы получаем
где
N
2eR2IuQ/h - RojI
у/(1/С - bus2)2 + (г + NR^oj2
Полученные уравнения совпадают с фазовой моделью Курамото (12.1). Единственная разница заключается в том, что взаимодействие имеет несколько более общий вид. Угол а в члене, описывающем взаимодействие, зависит от свойств нагрузки. Если а = О, то взаимодействие между контактами притягивающее, в то время как для а ф О каждая пара контактов «предпочитает» иметь определенный фазовый сдвиг. Тем не менее, даже для а ф О мы можем искать синфазное решение ф\ = ф2 = ••• = фы- Это решение имеет частоту, отличную от шо, и устойчиво, если ecosa > 0 (линеаризация (12.43) приводит к простой матрице с одним нулевым собственным значением и N — 1 собственными значениями ecosa). В случае неустойчивости синфазного состояния возникает другой режим, при котором фазы равномерно распределены, т.е. ф® = 2irk/N. Это так называемое расплывшееся состояние с нейтральной устойчивостью (splay state, подробнее см. [Strogatz and Mirollo 1993; Watanabe and Strogatz 1993, 1994]).
Если учесть малый беспорядок в цепочке контактов Джозефсона (например, из-за распределения критических токов /с), то получается ансамбль с различными собственными частотами. Синхронизация таких контактов Джозефсона может быть описана как особый пример перехода Курамото при конечной константе связи е [Wiesenfeld et al. 1996].
12.3.5 Эффекты конечности числа элементов ансамбля
Переход к синхронизации в ансамбле осцилляторов должен быть резким в термодинамическим пределе N —>• оо. Для ансамбля с конечным числом элементов наблюдаются эффекты, аналогичные известным в статистической механике [Cardy 1988]. Основная идея состоит в том, что конечность числа элементов ансамбля приводит к флуктуациям среднего поля имеющим порядок ~iV-1/2. Так, например, Pikovsky and Ruffo [1999] предложили описывать ансамбли с конечным числом возмущенных шумом осцилляторов уравнением (12.27) с дополнительным флуктуационным членом:
Z=l-^a2\z^ £^\Z\2Z + m(t) + im(t),
V J 17 (12.44)
2d2
Ы^(0> = ^М(*-0-
Шумовой член пропорционален 1 /\/.Ү и исчезает в термодинамическом пределе. Его влияние на динамику среднего поля может быть легко понято, еспи интерпретировать (12.44) как уравнение для слабонелинейной автоколебательной системы с шумом (см., например, [Стратонович 1963]). На фазовой плоскости X = Re(Z), Y = lm(Z) мы получаем размытый предельный цикл, а амплитуда и фаза среднего поля флуктуируют, см. рис. 12.5.
12.3.6 Ансамбль хаотических осцилляторов
Фазовая динамика хаотических осцилляторов может быть похожа на динамику периодических осцилляторов в присутствии шума (см. главу 10). Соответственно, синхронизация в ансамбле глобально связанных хаотических осцилляторов сходна с возникновением когерентности в ансамбле осцилляторов с шумом, описанной в разделах 12.2 и 12.3.
>н 0
-1
о
X
0.0
500
Рис. 12.5. Эволюция среднего поля Z = X + ІҮ в системе из 500 зашумленных фазовых осцилляторов (см. уравнение (12.16)). (а) Фазовый портрет в координатах (X, Y): после переходного процесса траектории заполняют кольцо, ширина которого пропорциональна N^1^2. (b,c) Зависимость фазы и амплитуды среднего поля от времени Z(t). Из Pikovsky and Ruffo, Physical Review E, Vol. 59, 1999, pp. 1633^1636. Copyright 1999 by the American Physical Society.
Ak = ~Ук - Zk + eX.
ilk = Xk + ayk, (12.45) zk = 0.4 + zk(xk -8.5).
Связь осуществляется через среднее поле 1 n 1 n
fc=l k=l
Среднее поле исчезает в асинхронном режиме и демонстрирует довольно регулярные колебания после перехода к синхронизации, который в данной системе происходит при е « 0.025. Интересно, что в синхронном режиме каждый осциллятор в ансамбле остается хаотическим; когерентность возникает только за счет синхронизации по фазам. Мы иллюстрируют это на рис. 12.6, где показаны фазовый портрет одного из элементов ансамбля и среднее поле. Амплитуда среднего поля относительно мала, но определенно больше флуктуации за счет конечности числа осцилляторов (эти флуктуации, по-видимому, являются причиной модуляции среднего поля).
О
(а) „ (Ъ)
-20 -10 0 10 20 -20 -10 0 10 20
Xk X
(12.47)
хк = -шкук - zk + еХ, ук = шкхк + аук, zk = 0.4 + zk(xk - 8.5).
Эта модель аналогична уравнению (12.29), потому что в ней присутствуют как распределение собственных частот изк) так и шум, который является результатом собственной хаотической динамики. Переход к синхронизации в системе (12.47) проиллюстрирован на рис. 12.7. Вычисление наблюдаемых частот flk показывает, что при е = 0.1 большинство осцилляторов взаимно синхронизованы. В дополнение, мы изображаем на графике значения максимумов перемен-
(Ь)
(d)
а
1.0
0.9 1 ■ 1 ■ ■ 1 1 !
0.90 1.00 1.10 0.90 1.00 1.10
C0k CDk
Рис. 12.7. Максимумы ж™ах и наблюдаемые частоты как функции собственных частот ujk в ансамбле из 5000 связанных систем Рёсслера 12.47 с а = 0.15. Собственные частоты распределены по гауссовому закону со среднеквадратичным Аио = 0.02. (а,Ь) Связь s = 0.05 немного ниже пороговой. Среднее поле близко к нулю и наблюдаемые частоты совпадают с собственными. (c,d) Выше порога (е = 0.1) большинство осцилляторов находятся в когерентном состоянии (плато в (d)), в то время как амплитуды остаются хаотическими (за исключением окна периода три при и и 0.97). Из [Pikovsky et al. 1996].
ной Xk для каждого осциллятора. Эти максимумы имеют широкое распределение как ниже, так и выше порога синхронизации. Это означает, что колебания осцилляторов остаются хаотическими, хотя они и синхронизованы по фазам.
12.4 Библиографические заметки
Изучение больших ансамблей осцилляторов имеет относительно короткую историю: они стали популярными только с появлением достаточно мощных компьютеров. Среди ранних работ отметим работу Винфри [Winfree 1967], который также привел обзор соответствующих биологических наблюдений, а также работу [Pavlidis 1969]. Начиная с работ Курамото [Kuramoto 1975, 1984], который ввел и решил уравнения фазовой модели, описанной в разделе 12.1, эта проблема вызвана широкий интерес. Различные математические подходы были развиты в [Strogatz et al. 1992; van Hemmen and Wreszinski 1993; Watanabe and Strogatz 1993, 1994; Acebron et al. 1998]. Okuda [1993]; Daido [1992a, 1993b,a, 1995, 1996]; Crawford [1995]; Crawford and Davies [1999]; Strogatz [2000]; Balmforth and Sassi [2000] рассмотрели обобщенную функцию связи. Ансамбли фазовых осцилляторов с шумом изучались в [Strogatz and Mirollo 1991; Bonilla et al. 1992, 1998; Hansel et al. 1993; Crawford 1994; Stange 1998, 1999; Hong et al. 1999a; Reimann et al. 1999]. Фазовый сдвиг в функции связи, или, что почти эквивалентно, запаздывание могут существенно изменить динамику, как обсуждалось в [Sakaguchi and Kuramoto 1986; Christiansen et al. 1992; Yeung and Strogatz 1999; S. H. Park et al. 1999a; Reddy et al. 1999; Choi et al. 2000]. Случайные фазовые сдвиги в связи могут привести к стекловидным состояниям (т.е. состояниям с очень многими устойчивыми конфигурациями) [Daido 1992b; Bonilla et al. 1993; Park et al. 1998]. Hoppensteadt and Izhikevich [1999] показали, что система Курамото под воздействием квазипериодической мультипликативной силы может действовать как нейронная сеть. Фазовые осцилляторы с инерцией демонстрируют переход первого порядка с гистерезисом [Tanaka et al. 1997а.b: Hong et al. 1999c,b]. Эффекты конечности числа элементов ансамбля описаны в [Dawson and Gartner 1987; Daido 1990; Pikovsky and Ruffo 1999].
Глобально связанные контакты Джозефсона (или, что эквивалентно, ротаторы) как в отсутствие, так и при наличии шума рассматривались в [Shinomoto and Kuramoto 1986; Sakaguchi et al. 1988b; Strogatz et al. 1989; Golomb et al. 1992; Wiesenfeld et al. 1996; Tsang