3.3.2 Определение размеров сечений балок
Обычно в инженерной практике проверку прочности балок производят по нормальным наибольшим и касательным напряжениям [2]. Нормальные напряжения σ зависят от величины изгибавшего момента, а касательные τ – от величины поперечной силы. Касательные напряжения в сечениях балки обычно не играют существенной роли, поэтому размеры сечения балок определяют из условия прочности по нормальным максимальным напряжениям:
,
где Мmax
–
наибольший (по абсолютной величине)
изгибающий момент, известный из эпюры
изгибающих моментов (
).
Сечение балки подбирается по моменту сопротивления относительно нейтральной оси:
.
(3.10)
Для балки прямоугольного сечения
.
Числовые значения моментов сопротивления стандартных профилей проката указаны в соответствующих государственных стандартах на прокат, а на балки двутавровые приведены в таблицах приложения Г. Следует подбирать номер профиля, имеющий большее стандартное ближайшее значение. Допустимо принимать и меньшее ближайшее значение WхСТ, однако оно должно удовлетворять условию:
.
Момент сопротивления при изгибе
Подходит швеллер № 8 (Wx=22,4 см3, площадь сечения А=8,98 см2).
Определим
прямоугольное сечение (рисунок 3.10) при
Рисунок 3.10 – Сечение швеллера и прямоугольное сечение
Площадь
прямоугольного сечения
A=bh=16,27 см2 ≈ в 2 раза больше площади швеллера.
3.4 Совместное действие изгиба и кручения
Сочетание деформаций изгиба и кручения испытывает большинство валов, которые обычно представляют собой прямые брусья круглого или кольцевого сечения.
Возникающие от изгиба нормальные напряжения достигают максимального значения в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси:
,
где М - максимальный изгибающий момент, Нм;
W - осевой момент сопротивления сечения, м3.
Для вала круглого сечения
Максимальные касательные напряжения при кручении возникают в точках контура поперечного сечения:
где Wp - полярный момент сопротивления сечения (Wp=2W), м3; Т – крутящий момент, Нм.
Таким образом, при сочетании изгиба и кручения опасными будут точки (для конкретного поперечного сечения), наиболее удаленные от нейтральной оси.
Применив третью теорию прочности, получим
.
Расчетная формула для круглых валов принимает вид:
,
где М экв. – эквивалентный момент, Нм;
[σ] – допускаемое напряжение на растяжение для материала вала, Па.
Если величина и направление нагрузки во время работы вращающегося вала остаются неизменными, то напряжения изгиба в теле вала будут изменяться во времени по симметричному циклу – I циклу нагружения (рисунок 3.11).
Рисунок 3.11 – График изменения во времени напряжения изгиба I цикл
При действии на вал нагрузок в разных плоскостях силы раскладывают на две взаимно перпендикулярные плоскости, за одну из которых выбирают плоскость действия одной из сил.
Суммарный изгибающий момент определится как геометрическая сумма моментов, действующих во взаимно перпендикулярных плоскостях рассматриваемого сечения:
где Мiв и Мiгор – изгибающие моменты в i – м сечении, действующие в вертикальной и в горизонтальной плоскостях соответственно.
Эквивалентный момент определится по формуле:
,
Диаметр вала в опасном сечении рассчитывается из условия прочности:
.
Примечание - При решении задач все необходимые вычисления следует сначала проделать в общем виде, обозначая все данные и искомые величины буквами, после чего вместо буквенных обозначений подставить их числовые значения и найти результат. На расчетных эскизах размеры должны быть проставлены теми же буквами, какие имеются в расчетных формулах.
Пример 4. Построить эпюры изгибающих, крутящего, суммарного изгибающего моментов и определить диаметр вала (рисунок 3.12) в опасном сечении.
Т = 0,2 кНм, F = 2 кН, q = 4 кН/м, a = 0,2м, b =1,2а = 0,24м,
с = 0,8а = 0,16м, [σ] = 110МПа.
Решение:
Плоскость yz:
Плоскость хz:
Из условия прочности наиболее нагруженного сечения А определим диаметр вала.
Рисунок 3.12 - Расчетная схема и эпюры вала
ПРИЛОЖЕНИЕ А
ЗАДАЧА 1
Расчет бруса на осевое растяжение (сжатие)
Сечение бруса квадратное. Материал – сталь. Допускаемое напряжение [σ] = 100 МПа. Модуль продольной упругости Е = 2·105 МПа. Исходные данные к расчету см. в таблице + рисунок.
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
|
Вариант |
F1 |
F2 |
F3 |
l1 |
l2 |
l3 | ||||
|
кН |
м | |||||||||
|
1 |
32 |
18 |
24 |
0,7 |
0,4 |
0,8 | ||||
|
2 |
28 |
16 |
12 |
0,6 |
0,5 |
0,7 | ||||
|
3 |
22 |
8 |
26 |
0,5 |
0,6 |
0,9 | ||||
|
4 |
19 |
24 |
15 |
0,8 |
0,6 |
0,5 | ||||
|
5 |
30 |
12 |
16 |
0,4 |
0,9 |
0,6 | ||||
|
6 |
27 |
15 |
10 |
0,6 |
0,7 |
0,8 | ||||
|
7 |
24 |
14 |
8 |
0,3 |
0,8 |
0,7 | ||||
|
8 |
26 |
16 |
11 |
0,7 |
0,9 |
0,4 | ||||
|
9 |
25 |
12 |
18 |
0,5 |
0,5 |
0,9 | ||||
|
10 |
31 |
26 |
14 |
0,7 |
0,3 |
0,5 | ||||
|
11 |
18 |
15 |
12 |
0,6 |
0,6 |
0,8 | ||||
|
12 |
23 |
25 |
12 |
0,8 |
0,4 |
0,7 | ||||
|
13 |
16 |
8 |
12 |
0,4 |
0,7 |
0,9 | ||||
|
14 |
18 |
10 |
14 |
0,6 |
0,5 |
0,8 | ||||
|
15 |
22 |
12 |
14 |
0,5 |
0,6 |
0,7 | ||||
|
16 |
20 |
9 |
12 |
0,7 |
0,4 |
0,8 | ||||
|
17 |
24 |
16 |
12 |
0,9 |
0,3 |
0,6 | ||||
|
18 |
18 |
10 |
14 |
0,8 |
0,2 |
0,7 | ||||
|
19 |
25 |
18 |
14 |
0,7 |
0,6 |
0,9 | ||||
|
20 |
19 |
11 |
10 |
0,8 |
0,5 |
0,6 | ||||
|
21 |
30 |
13 |
10 |
0,4 |
0,8 |
0,5 | ||||
|
22 |
27 |
15 |
12 |
0,6 |
0,9 |
0,4 | ||||
|
23 |
22 |
11 |
10 |
0,7 |
0,7 |
0,6 | ||||
|
24 |
20 |
9 |
10 |
0,5 |
0,9 |
0,7 | ||||
|
25 |
24 |
12 |
14 |
0,7 |
0,4 |
0,9 | ||||
|
26 |
19 |
10 |
11 |
0,8 |
0,3 |
0,6 | ||||
|
27 |
25 |
13 |
13 |
0,4 |
0,7 |
0,8 | ||||
|
28 |
21 |
16 |
12 |
0,5 |
0,5 |
0,7 | ||||
|
29 |
22 |
20 |
10 |
0,8 |
0,6 |
0,8 | ||||
|
30 |
23 |
15 |
11 |
0,7 |
0,3 |
0,9 | ||||
Расчетные схемы
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
ЗАДАЧА 2 РАСЧЕТ ВАЛА НА КРУЧЕНИЕ
Сечение вала круглое, сплошное и кольцевое. Допускаемое напряжение кручения [τ]=25 МПа. Модуль сдвига G=8∙104 МПа
|
Вариант |
Т1, Нм |
Т2, Нм |
Т3, Нм |
Т4, Нм |
l1, м |
l2, м |
l3, м |
l4, м |
l5, м |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
1 |
200 |
300 |
400 |
|
0,8 |
0,7 |
0,4 |
0,6 |
0,3 |
|
2 |
300 |
500 |
500 |
|
0,7 |
0,6 |
0,5 |
0,8 |
0,4 |
|
3 |
400 |
400 |
300 |
|
0,9 |
0,5 |
0,6 |
0,3 |
0,2 |
|
4 |
100 |
200 |
300 |
|
0,5 |
0,8 |
0,9 |
0,4 |
0,3 |
|
5 |
300 |
400 |
100 |
|
0,6 |
0,4 |
0,6 |
0,5 |
0,4 |
|
6 |
100 |
100 |
500 |
|
0,8 |
0,6 |
0,7 |
0,3 |
0,2 |
|
7 |
300 |
200 |
200 |
|
0,7 |
0,3 |
0,8 |
0,4 |
0,3 |
|
8 |
500 |
600 |
500 |
|
0,4 |
0,7 |
0,9 |
0,5 |
0,4 |
|
9 |
600 |
800 |
700 |
|
0,9 |
0,5 |
0,5 |
0,3 |
0,2 |
|
10 |
400 |
200 |
300 |
|
0,5 |
0,7 |
0,8 |
0,2 |
0,3 |
|
11 |
300 |
500 |
600 |
|
0,8 |
0,6 |
0,6 |
0,4 |
0,3 |
|
12 |
100 |
200 |
200 |
|
0,7 |
0,8 |
0,4 |
0,3 |
0,4 |
|
13 |
700 |
500 |
200 |
|
0,9 |
0,4 |
0,7 |
0,2 |
0,3 |
|
14 |
800 |
400 |
300 |
|
0,8 |
0,6 |
0,5 |
0,3 |
0,3 |
|
15 |
900 |
600 |
400 |
|
0,7 |
0,5 |
0,6 |
0,4 |
0,4 |
|
16 |
100 |
200 |
300 |
|
0,8 |
0,7 |
0,4 |
0,2 |
0,5 |
|
17 |
200 |
800 |
100 |
|
0,6 |
0,9 |
0,3 |
0,3 |
0,6 |
|
18 |
300 |
800 |
100 |
|
0,7 |
0,8 |
0,2 |
0,4 |
0,7 |
|
19 |
400 |
500 |
300 |
200 |
0,9 |
0,7 |
0,6 |
0,2 |
|
|
20 |
500 |
500 |
200 |
300 |
0,6 |
0,8 |
0,5 |
0,3 |
|
|
21 |
600 |
900 |
400 |
100 |
0,5 |
0,4 |
0,8 |
0,4 |
|
|
22 |
700 |
800 |
300 |
200 |
0,4 |
0,6 |
0,9 |
0,2 |
|
|
23 |
800 |
700 |
100 |
400 |
0,6 |
0,7 |
0,7 |
0,3 |
|
|
24 |
900 |
600 |
200 |
300 |
0,7 |
0,5 |
0,9 |
0,4 |
|
|
25 |
100 |
500 |
300 |
200 |
0,9 |
0,7 |
0,4 |
0,2 |
|
|
26 |
200 |
300 |
500 |
300 |
0,6 |
0,8 |
0,3 |
0,4 |
|
|
27 |
300 |
300 |
400 |
200 |
0,8 |
0,4 |
0,7 |
0,3 |
|
|
28 |
400 |
200 |
600 |
100 |
0,7 |
0,5 |
0,5 |
0,2 |
|
|
29 |
500 |
100 |
700 |
200 |
0,8 |
0,8 |
0,6 |
0,3 |
|
|
30 |
600 |
200 |
800 |
300 |
0,9 |
0,7 |
0,3 |
0,4 |
|
Расчетные схемы
ПРИЛОЖЕНИЕ В
ЗАДАЧА 3 РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ДВУХОПОРНОЙ БАЛКИ ПРИ ИЗГИБЕ
Для данной балки подобрать сечения двутавра и прямоугольника (h/b=2). Допускаемое напряжения изгиба [σ]=160 МПа
|
Вариант |
М,K Н.м |
F, кН |
q, кН/м |
l1, м |
l2, м |
l3, м |
l4, м |
l5, м |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
1 |
18 |
26 |
14 |
2 |
2 |
5 |
1 |
1 |
|
2 |
24 |
18 |
10 |
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
|
3 |
16 |
34 |
12 |
2 |
3 |
3 |
2 |
2 |
|
4 |
30 |
24 |
16 |
2 |
4 |
4 |
1 |
2 |
|
5 |
20 |
12 |
8 |
1,8 |
2,2 |
1 |
5 |
1 |
|
6 |
22 |
16 |
10 |
1,6 |
1 |
1,4 |
6 |
2 |
|
7 |
18 |
22 |
14 |
2,2 |
2 |
1,8 |
5 |
1 |
|
8 |
16 |
24 |
12 |
2,5 |
1 |
1,5 |
5 |
2 |
|
9 |
16 |
24 |
12 |
2,5 |
1 |
1,5 |
5 |
2 |
|
10 |
14 |
15 |
8 |
1,6 |
2 |
1,4 |
4 |
3 |
|
11 |
10 |
23 |
12 |
2 |
2 |
2 |
4 |
2 |
|
12 |
18 |
17 |
10 |
1,8 |
3 |
1,2 |
5 |
1 |
|
13 |
16 |
25 |
15 |
2 |
2 |
4 |
2 |
2 |
|
14 |
24 |
16 |
10 |
2 |
3 |
4 |
2 |
1 |
|
15 |
1 |
22 |
12 |
1,6 |
2,4 |
3,5 |
2,5 |
2 |
|
16 |
20 |
18 |
14 |
1,8 |
2,2 |
4,5 |
2,5 |
2 |
|
17 |
22 |
24 |
8 |
2 |
2 |
4 |
3 |
1 |
|
18 |
16 |
26 |
6 |
2 |
2 |
3,5 |
3,5 |
1 |
|
19 |
18 |
20 |
10 |
1,5 |
2,5 |
4,2 |
1,8 |
8 |
|
20 |
28 |
18 |
16 |
1,8 |
2,2 |
4,5 |
2,5 |
3 |
|
21 |
17 |
25 |
12 |
2 |
2 |
1 |
5 |
2 |
|
22 |
15 |
30 |
10 |
1,5 |
2,5 |
2 |
4 |
1 |
|
23 |
26 |
22 |
8 |
2 |
2 |
2 |
3 |
2 |
|
24 |
30 |
18 |
14 |
1,6 |
3,0 |
2 |
4 |
1 |
|
25 |
24 |
26 |
15 |
1,5 |
2,5 |
6 |
1 |
1 |
|
26 |
22 |
|
13 |
2,5 |
1,5 |
5 |
2 |
2 |
|
27 |
20 |
|
12 |
2,0 |
1,5 |
5,5 |
3 |
2 |
|
28 |
18 |
28 |
10 |
2,0 |
1,5 |
4,5 |
2 |
2 |
|
29 |
30 |
20 |
8 |
1,8 |
3,2 |
1 |
2 |
1 |
|
30 |
28 |
18 |
15 |
2 |
2,5 |
1,5 |
5 |
2 |
Расчетные схемы задачи 3
ПРИЛОЖЕНИЕ Г
Сталь прокатная – балки двутавровые (ГОСТ 8239-83)
h – высота профиля;
b – ширина;
d – толщина;
t – средняя толщина;
R и r – внутренний и наружный радиусы скруглений;
J – момент инерции;
W – момент сопротивления;
i – радиус инерции;
S – статический момент полусечения
|
Номер профиля |
Масса 1м длины, кг |
Размеры, мм |
Площадь сечения, см2 |
Jx, см4 |
Wx, см3 |
ix, см |
Sx, см3 |
Jy, см4 |
Wy, см3 |
iy, см | |||||
|
h |
b |
d |
t |
R |
r | ||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
10 |
9,46 |
100 |
55 |
4,5 |
7,2 |
7 |
2,5 |
12 |
198 |
39,7 |
4,06 |
23 |
17,9 |
6,49 |
1,22 |
|
12 |
11,45 |
120 |
64 |
4,8 |
7,3 |
7,5 |
3 |
14,7 |
350 |
58,4 |
4,88 |
33,7 |
27,9 |
8,72 |
1,38 |
|
14 |
13,7 |
140 |
73 |
4,9 |
7,5 |
8 |
3 |
17,4 |
572 |
81,7 |
5,73 |
46,8 |
41,9 |
11,5 |
1,55 |
|
16 |
15,9 |
160 |
81 |
5,0 |
7,8 |
8,5 |
3,5 |
20,2 |
873 |
109,0 |
6,57 |
62,3 |
58,6 |
14,5 |
1,7 |
|
18 |
18,4 |
180 |
90 |
5,1 |
8,1 |
9,0 |
3,5 |
23,4 |
1290 |
143,0 |
7,42 |
81,4 |
82,6 |
18,4 |
1,88 |
|
18а |
19,9 |
180 |
100 |
5,1 |
8,3 |
9,0 |
3,5 |
25,4 |
1430 |
159,0 |
7,51 |
89,8 |
114,0 |
22,8 |
2,12 |
|
20 |
21,0 |
200 |
100 |
5,2 |
8,4 |
9,5 |
4,0 |
26,8 |
1840 |
184,0 |
8,28 |
104,0 |
115,0 |
23,1 |
2,07 |
|
20а |
22,7 |
200 |
110 |
5,2 |
8,6 |
9,5 |
4,0 |
28,9 |
2030 |
203,0 |
8,37 |
114,0 |
155,0 |
28,2 |
2,32 |
|
22 |
24,0 |
220 |
110 |
5,4 |
8,7 |
10,0 |
4,0 |
30,6 |
2550 |
232,0 |
9,13 |
131,0 |
157,0 |
28,6 |
2,27 |
|
22а |
25,8 |
220 |
120 |
5,4 |
8,9 |
10,0 |
4,0 |
32,6 |
2790 |
254,0 |
9,22 |
143,0 |
106,0 |
34,3 |
2,5 |
|
24 |
27,3 |
240 |
115 |
5,6 |
9,5 |
10,5 |
4,0 |
34,8 |
3460 |
289 |
9,97 |
163 |
198 |
34,5 |
2,37 |
|
24а |
29,4 |
240 |
125 |
5,6 |
9,8 |
20,5 |
4,0 |
37,5 |
3800 |
317 |
10,1 |
178 |
260 |
41,6 |
2,63 |
|
27 |
31,5 |
270 |
125 |
6,0 |
9,8 |
11,0 |
4,5 |
40,2 |
5010 |
371 |
11,2 |
210 |
260 |
41,5 |
2,54 |
|
27а |
33,9 |
270 |
135 |
6,0 |
10,2 |
11,0 |
4,5 |
43,2 |
5500 |
407 |
11,3 |
229 |
337 |
50,0 |
2,8 |
|
30 |
36,5 |
300 |
135 |
6,5 |
10,2 |
12,0 |
5 |
46,5 |
7080 |
472 |
12,3 |
268 |
337 |
49,9 |
2,69 |
|
30а |
39,2 |
300 |
145 |
6,5 |
10,7 |
12,0 |
5 |
49,9 |
7780 |
518 |
12,5 |
292 |
436 |
60,1 |
2,95 |
|
33 |
42,2 |
330 |
140 |
7,0 |
11,2 |
13,0 |
5 |
53,8 |
9840 |
597 |
13,5 |
339 |
419 |
59,1 |
3,79 |
|
36 |
48,6 |
360 |
145 |
7,5 |
12,3 |
14,0 |
6 |
61,9 |
13380 |
743 |
14,7 |
423 |
516 |
71,1 |
2,89 |
|
40 |
57,0 |
400 |
155 |
8,3 |
13,0 |
15,0 |
6 |
72,6 |
19062 |
953 |
16,2 |
545 |
667 |
86,1 |
3,08 |
|
45 |
66,5 |
450 |
160 |
9,0 |
14,2 |
16,0 |
7 |
84,7 |
27696 |
1231 |
18,1 |
708 |
808 |
101,0 |
3,09 |
|
50 |
78,5 |
500 |
170 |
10,0 |
15,2 |
17,0 |
7 |
100 |
39727 |
1589 |
19,9 |
919 |
1043 |
123,0 |
3,23 |
|
60 |
108,0 |
600 |
190 |
12,0 |
17,8 |
20,0 |
8 |
138 |
76806 |
2560 |
23,6 |
1491 |
1725 |
182,0 |
3,54 |
|
60б |
120,0 |
650 |
200 |
12,0 |
19,2 |
22,0 |
9 |
153 |
101400 |
3120 |
25,8 |
1800 |
2170 |
217,0 |
3,77 |
|
70 |
138,0 |
700 |
210 |
13,0 |
20,8 |
24,0 |
10 |
176 |
134600 |
3840 |
27,7 |
2230 |
2730 |
260,0 |
3,94 |
|
70а |
168,0 |
700 |
210 |
15,0 |
24,0 |
24,0 |
10 |
202 |
152700 |
4360 |
27,5 |
2550 |
3240 |
309,0 |
4,01 |
|
70б |
184,0 |
700 |
210 |
17,5 |
28,2 |
24,0 |
10 |
234 |
175770 |
5010 |
27,4 |
2940 |
3910 |
373,0 |
4,09 |
ПРИЛОЖЕНИЕ Д