42. Проверка значимости для коэффициента детерминации.

При выполнении процедуры проверки значимости коэффициента детерминации выдвигается нулевая гипотеза Н0 против альтернативной Н1 которые заключаются в следующем.

Н0: существенного различия между выборочным коэффициентом детерминации и коэффициентом детерминации генеральной совокупности B(г) = 0 нет.

Эта гипотеза равносильна гипотезе Н0: = β1=β2=…βm=0, т. е. ни одна из объясняющих переменных, включенных в регрессию, не оказывает существенного влияния на зависимую переменную.

Н1: выборочный коэффициент детерминации существенно больше коэффициента детерминации генеральной совокупности B(г) = 0.

Из постановки задачи ясно, что следует использовать одностороннюю критическую область. Принятие гипотезы Н1 означает, что по крайней мере одна из m объясняющих переменных, включенных в регрессию, оказывает существенное влияние на переменную у.

Для оценки значимости парного коэффициента детерминации используется статистика

(8.50)

имеющая F-распределение Фишера с f1=m=1 и f2=n-2степенями свободы. Значение статистики, вычисленное по (8.50), сравнивается с критическим значением этой статистики, найденным по табл. 4 приложения при заданном уровне значимости α и соответствующем числе степеней свободы. Если F > Ff1;f2;α , то вычисленный коэффициент детерминации значимо отличается от нуля. Этот вывод обеспечивается с вероятностью 1- α.

Пример

В разделе 3.2 был вычислен по п = 14 предприятиям коэффициент детерминации для регрессии, отражающей зависимость производитель­ности труда от уровня механизации работ, Bvx = 0,938. По (8.50) получим

Зададимся уровнем значимости α = 0,05. Числа степеней свободы со­ответственно следующие: f1 = 1 и f 2 = 12. По табл. 4 приложения на­ходим критическое значение F1;12;0,05 = 4,747. Вследствие того что F>F1;12;0,05, делаем вывод, что Вух существенно отличается от нуля, и, следовательно, включенные в регрессию переменные достаточно объясняют зависимую переменную.

Можно показать, что при fx = 1 всегда F = t2. Тогда (8.50) можно записать в виде

(8.51)

Эта величина имеет F-распределение с f=п-2 степенями свободы. Если мы теперь учтем, что В = r2 (см. (4.13)), то отсюда следует, что с помощью критерия (8.51) можно проверить также значимость коэф­фициента корреляции.

Оценка значимости коэффициента множественной детерминации производится с помощью статистики

(8.52)

которая имеет F-распределение с f1= m и f2= n-т-1 степеня­ми свободы. Здесь т - количество учитываемых объясняющих пере­менных. Значение статистики (8.52), вычисленное по эмпирическим данным, сравнивается с табличным значением Ff1;f2;α. Критическое значение определяется по табл. 4 приложения по заданному α и сте­пеням свободы f1 и f2. Правило проверки аналогично процедуре оцен­ки значимости коэффициента парной детерминации.

Пример

В разделе 3.3 были вычислены два коэффициента множественной де­терминации, Ву.12 = 0,9447 и Ву.123 = 0,9541, по п = 14 наблюде­ниям соответственно для т = 2 и т = 3 объясняющих переменных. Имеем:

Итак, в обоих случаях F > Ff1;f2;α. Коэффициенты множественной детерминации существенно отличны от нуля, и, следовательно, рассма­триваемые регрессии достаточно определены включенными перемен­ными. Для оценки значимости коэффициента частной детерминации используется статистика

(8.53)

которая имеет f-распределение с f1 = т и f2 = n-m-p-1степенями свободы. Здесь р число переменных, исключенных при вычислении коэффициентов частной детерминации. Процедура про­верки значимости аналогична описанным выше.