Рис.9.4.

Временной суперпозиционный метод анализа с использованием характеристики цепи. Метод интеграла свертки.

Задана линейная цепь (рис.9.5) с известной импульсной характеристикой. Требуется определить реакцию цепи x(t).

Рис.9.6.

Применив спектральный метод, записываем

Согласно установленной ранее связи (см. тему 8) между g(t) и K(jw) второй интеграл можно заменить импульсной характеристикой цепи g(t-8), так как

K ( jω) = ∞∫g(t)e− jωt dt

−∞

А импульсная характеристика в свою очередь

g(t) = 1 ∞∫K ( jω)e jωt dω

2π −∞

Получаем выражение для выходного сигнала,

−∞

которое называется интегралом свертки (интегралом наложения с использованием импульсной характеристики цепи).

Сигнал на выходе линейной цепи представляет свертку воздействующего колебания s(t) с импульсной характеристикой цепи g(t) с импульсной характеристикой цепи при t>=0, то в интеграле (9.2) нужно брать верхний предел интегрирования g(t-8), определена, при t-8>=0, т.е. при 8<=t. Учитывая все это,

−∞

Можно дать и графическое толкование такой замены верхнего предела

(рис.9.6).

Рис.9.6.

То при t<0, g(t-8) и сигнал s(8) не перекрываются. Интеграл (9.2) в этом случае будет тождественно равен нулю.

Кроме того, если сигнал s(t)=0 при t<0, то в этом случае нижний предел в формуле (9.2) следует заменить на 0 и записать окончательно:

Математически можно доказать, что в под интегральном выражении замена аргумента функций s(8) b g(t-8) не влияет на конечный результат. В этом случае импульсная характеристика может рассматриваться как воздействие, а воздействие - импульсная характеристика.

Если цепь имеет g(t)=б(t), то

Так получается потому, что б - функция обладает фильтрующим свойством

δ

∫δ(t −θ)dθ =1, а б(t-θ) ≠ 0 при t=θ

a

В линейной цепи с импульсной характеристикой в виде б - функции сигнал s(t), подаваемы на ее вход, не претерпевает никаких изменений, та как такая цепь имеет равномерную АЧХ в пределах частот от 0 до ∞, следовательно, является идеальной неискажающей цепью.

В реальных цепях длительность импульсной характеристики обычно больше, чем, б - импульса, т.е. больше нуля. Поэтому передаваемый сигнал будет несколько искажаться цепью, удлиняясь во времени (рис.9.7).

Рис.9.7.

Убедимся, что интеграл свертки является суперпозиционным интегралом. Его можно получить и другим путем. Пусть импульсная характеристика

цепи g(t), а на ее вход подается воздействие произвольной формы (рис.9.8).

Рис.9.8.

Разобьем воздействие на импульсы бесконечно малой длительности (рисю9.8). Реакция цепи к моменту времени t на воздействие импульса, приложенного в момент времени 8,

s(θ)dθ g(t -θ) = s(θ)g(t -θ)dθ,

Так как реакции цепи на элементарный импульс пропорциональна площади импульса s(8)d8. Если просуммировать элементарные реакции цепи к моменту времени t, то полная реакция цепи будет:

x(t) = ∫t s(θ)g(t −θ)dθ

−0

Это значит, что реакция цепи x(t) получается путем суммирования бесконечно большого числа элементарных импульсов, т.е. путем суммирования элементарных реакций цепи на элементарные воздействия. Это и есть принцип суперпозиции.

Временной суперпозиционный метод анализа с использованием переходной характеристики цепи. Метод интеграла Дюамеля.

Имеется линейная цепь, переходная характеристика h(t) которой известна

(рис.9.9).

На вход подается линейное воздействие s(t) требуется определить реакцию цепи x(t)

Рис.9.9.

Представим сигнал s(t) l(t) суммой элементарных сигналов вила A*l(t-t0), Где t0 = 0, ∆t, 2∆t, 3∆t и т.д., а величина А соответственно равна s(0); s( ∆t)-

s(0); s(2∆t)-s( ∆t), … и т.д. (рис.9.10). Тогда запишем:

Полученное выражение является довольно грубой моделью сигнала x(t). Для точного представления сигнала необходимо чтобы, ∆t-0, тогда «ступеньки» будут все мельче. Общий член ряда (9.5) можно представить в другом виде:

{s(k∆t) − s[(k −1)∆t]}1(t − k∆t) ={s(k∆t) − s(k∆t − ∆t)}1(t − k∆t) =

={ s(θ) − s(θ − ∆t)}1(t -θ)

Где θ =k∆t.

Разность [s(θ) − s(θ − ∆t)] |∆t →0 = ds(θ) = dsd(θθ) , а это есть не что иное, как дифференциал функции (8). Тогда общий член ряда:

[sθ) −s(θ −∆t)]1(t -θ) |∆t→0 = s′(θ)1(t -θ)dθ

Рис.9.10.

Втакомслучаеряд(9.5),которыйдаетзначениесигналаs(t)влюбоймомент времени t, можно записать.

Q может иметь любое значение от 0 до t

Определим реакцию цепи на элементарное слагаемое. Элементарный сигнал (рис.9.11)

a′(θ)1(t -θ)dθ = a′(θ)dθ 1(t -θ)

Рис.9.11.

Переходная характеристика цепи h(t) описывает реакцию ее на подобные сигналы. Если входное воздействие l(t-8), то реакция цепи- Mh(t-8). Следовательно, реакция цепи на элементарный сигнал:

a′(θ) dθ h(t -θ)

Результирующая реакция цепи определяется суммой (интегралом) от частных реакций:

x(t) = s(θ+)h(t) + ∫t s′(θ) h(t -θ)

0+

Полученное выражение и есть интеграл Джамеля, являющийся интегралом наложения. Интеграл Джамеля выражает реакцию пустой линейной цепи на внешнее воздействие. В качестве характеристики цепи используется ее переходная характеристика.

Запишем другие формы интеграла Джамеля и произведем замену переменной в выражении (9.7)

s′(θ) = s′(t −τ) = s′(t) |t =t −τ

В выражении для s(t) необходимо формально заменить t на t-τ

где τ -переменная интегрирования. Где τ -переменная интегрирования.

Можно опять обозначить ее через θ , результат интегрирования от этого не зависит. И поменяв пределы интегрирования. Получим вторую форму интеграла Дюмеля.

0+

Анализ показывает, что для любой линейной цепи интеграл Дюмеля является симметричной формой по отношению к внешнему воздействию и переходной характеристики цепи. Безразлично, что считать внешним воздействием, а что передаточной характеристикой при определении реакции

цепи. Например, s(t) = K (t)1(t), h(t) = A e-αt .

Положим

s(t) = A e-αt , а h(t) = K(t)1(t)

Поэтому существует еще две формы интеграла Дюмеля:

0+

Все четыре формы дают один и тот же результат. Однако (9.7) и (9.8) предпочтительней, когда s(0+), проще вычисления.

(9.9) и (9.10)-когда h(0+). Выбирают форму интеграла согласно виду функции, описывающей внешний сигнал и переходную характеристику цепи.