Графикидляuc, i соответствующиеполученнымвыражениям,приведенына рис.8.25.
Рис.8.25.
Зная выражение для выходного выражения uc и входное воздействие U0 находим переходную характеристику колебательного звена:
h(t) = |
uc |
= (1−e−αt cosω0t)1(t) |
(8.42) |
|
|||
|
U0 |
|
|
Импульсную характеристику можно найти, продифференцировав по времени выражение для переходной характеристики. При этом надо иметь ввиду, чтозначениефункцииh(t)отличноотнуляприt=0(имеемразрыв),тонеобходимо использовать соотношение:
g(t) = h(0)δ(t) + h1′(t)
где h1(t) – является непрерывной функцией времени, не учитывающей скачок при t=0
Сучетомэтого,выражениедляимпульснойхарактеристикиколебательного звена (рис.8.20) будет:
(8.43)
g(t) = (αe−αt cosω0t + e−αtω0 sin ω0t)1(t) ≈ ≈ ω0e−αt sin ω0t1(t)
Рис.8.26.
Общие положения суперпозиционных методов анализа.
Впредыдущейтемеизучалисьпрямыеметодырасчетареакцииназаданное внешнее воздействие, цепь считалась заданной, т.е. ее параметры известны. Задача нахождения отклика цепи x(t) решалась либо классическим либо операторным методами.
Другой подход к решению этой задачи для пустых линейных цепей заключается в представлении воздействующего на цепь сигнала в виде линейной комбинации однотипных составляющих и применения к ним принципа суперпозиции. В соответствии с этим методам любое сложное колебание s(t) представляется, например суммой однотипных колебаний-слагаемых s(t)=∑isi(t).
Затем отдельно рассматривается преобразование цепью каждого слагаемого этой суммы. При этом используются характеристики цепи, соответствующие выбранному элементарному воздействию. Полученный частные результаты суммируются )=∑ixL(t)=x(t)
Таким образом, суперпозиционные методы анализа сводятся к следующим этапам:
1.Суперпозиционному анализу воздействующего колебания, т.е. представление его в виде линейной комбинации стандартных сигналов (суммы, интеграла).
2.Вычисление характеристики цепи, соответствующей принятому стандартному сигналу.
3.Вычислению частных реакций.
4.Суммированию (интегрированию) всех частных реакций.
Вкачестве стандартных типовых сигналов используются колебания
синусоидальной формы Amejwt, функции включения l(t), дельта - функции s(t). Этим стандартным сигналам соответствует характеристики цепи: комплексный коэффициент передачи K(jw), переходная характеристика h(t), импульсная характеристика g(t).
Спектральный метод анализа.
Дана линейная цепь (рис.9.1) с комплексным коэффициентом передачи K(j ω ), который известен или его можно вычислить
Рис.8.27.
Представляем внешнее воздействие в виде суммы элементарных сигналов (гармоник)
s(t) = ∑sk (t),
k
Где sk (t) = Skm cos(ωkt +ϕk ) = Re{Skme jωk t }.
Тогда для каждого k-го слагаемого входного сигнала находим реакцию
цепи:
xk (t) = X km cos(ωk t +ϕkx ) = = Re{X kme jωkt }
Как известно,
X km = K ( jωk )Skm =
=K (ωk )e jϕ(ωk ) Skm e jϕk =
=K (ωk )Skm e j{ϕk +ϕk (ω )}
Мгновенное значение колебания на выходе цепи для любого значения wk находим как действительную часть от комплексного числа:
x (t) = K(ωk )Skm cos[ωkt +ϕk +ϕ(k )] =
= Re{K(ωk )Skme j[ωk t +ϕk +ϕ(ωk ) ]}
Здесь, применительно к каждому элементарному сигналу, удобно пользоваться методом комплексных амплитуд.
Таким образом, суть спектрального метода анализа заключается в том, что воздействующее колебание s(t) разбивается на отдельные гармонические колебания. По каждому такому колебанию и известному комплексному коэффициенту передачи определяется гармонические слагаемые на выходе. Которые затем суммируются.
Рассмотрим 3 случая входных воздействий:
1. Пусть входное воздействие s(t)-многотональный синусоидальный сигнал:
S(t) = ∑Skm cos(ωkt +ϕk ) = ∑Re{Skme jωkt },
k |
k |
Находим |
|
Xkm = K( jω)Skm |
|
затем определяем мгновенное значение реакции цепи:
x(t) = ∑Re{Xkme jωk t} = ∑K(ωk )Skm cos[ωkt +ϕk +ϕ(ωk) ]
k k
2. Пусть s(t)-периодическая функция:
∞
s(t) = ∑S0 (t + nτ),
k =−∞
Где n=0, ±I, ±2, и т.д., r-период повторения.
Представим периодический сигнал в виде ряда Фурье:
∞
S(t) = ∑Ckme jkΩt k =−∞
Амплитуда к-ой гармоники Ckm = FSs (kΩ) , тогда
∞
s(t) = ∑Ss (kΩ)e jkΩt ,
k =−∞
где Ss (kΩ) -спектральная плотность сигнала s(t) S(ω ) при ωk = kΩ Выходной сигнал получим, умножив каждое слагаемое ряда на K(jw), т.е.
k
x(t) = F ∑K( jωk )Ss (kΩ)e jkΩt
k =−∞
ИмеемразложениеврядФурьедлявыходногосигнала,изкоторогоследует,
что
K( jω)Ss (kΩ) = K( jkΩ)S s(kΩ) = Sx (kΩ)
есть спектральная плотность выходного сигнала. В другой форме записи выходной сигнал будет:
∞
x(t) = FSs (0)k(0) + 2F ∑K (kΩ)Ss (kΩ)cos[kΩt +ϕk +ϕ(kΩ)
k=1
3.Пустьвходноевоздействие s(t)-одиночныйсигнал.Предположим,чтоэто
был периодический сигнал при T→∞. Если бы s(t) был периодический процесс, то реакция цепи:
∞
x(t) = F ∑K ( jkΩ)Ss (kΩ)e− jkΩt
k =−∞
Если же T→∞, то 2πF = 2Tπ → dω, а kΩ → ω , и сумма превращается в интеграл:
x(t) = 21π −∞∫∞K( jω)Ss (ω)e jωt dω
Это выражение представляет собой обратное преобразование Фурье. Произведение K(jω )*Ss(ω )-спектральная плотность выходного сигнала.
Достоинство спектрального метода анализа.
Этот метод дает наглядные и качественные представления о прохождении сигналов через линейную цепь. Они базируются на понятии частотной избирательности цепей. По виду K(w) можно наблюдать, на каких частотах колебания не проходят через цепь или получают соответствующее ослабление.
Чтобы найти спектральную плотность Sx(w) выходного сигнала, можно графически перемножить модули и сложить аргументы функции K(jw) и Ss(w).
Недостаток спектрального метода анализа.
Основной класс функций, получаемых под знаком интеграла:
и поддающихся аналитическому решению, ограничен. Далеко не всегда берутся обратные преобразования Фурье. Часто получаются не берущиеся интегралы.
Условия неискажающей передачи сигнала через линейную цепь.
Под неискажающей передачей сигнала понимается сохранение неизменной его формы. Изменение амплитуды сигнала и его запаздывание во времени допустимы. Для радиосигналов, кроме этого, считается допустимым и изменение начальной фазы высокочастотного заполнения.
Таким образом. Если видеосигнал на входе неискажающей цепи s(t) (рис.9.2.), то на выходе:
x(t) = K0S(t −t0 )
где k0-коэффициент пропорциональности; t0 -время запаздывания;
Рис.9.2.
Определим,каковыдолжныбытьчастотныехарактеристикилинейнойцепи (АЧХ, ФЧХ) чтобы сигнал, проходя через цепь, не претерпевал искажений.
Если сигналу s(t) соответствует спектральная плотность Ss(w), то, применив теорему запаздывания, можем записать выражение для спектральной плотности сигнала.
Sx (ω) = K0Ss (ω)e jωt0
Известно, что спектральные плотности сигналов на входе и выходе линейной цепи связаны между собой через комплексный коэффициент передачи:
Sx (ω) = K( jω)Ss (ω)
Сравнивая правые части последних выражений, получим комплексный коэффициент передачи неискажающей цепи.
K( jω) = K0e− jωt0 .
АЧХ неискажающей цепи будет |K(jω )|=K0=const, а ФЧХ
ϕ(ω) = −ωt0
Эти характеристики изображены на рис. 9.3.
Итак, частотн6ые характеристики цепи, не искажающей сигнал, должны быть такими, чтобы амплитуды всех гармоник спектра входного сигнала изменялись одинаково в K0 раз (т.е. АЧХ должна быть равномерной), все
|
t0 |
= − |
ϕ(ω) |
|
|
гармоники спектра запаздывали на одно и то же время |
ω (т.е. ФЧХ |
||||
|
|
||||
должна иметь постоянную крутизну и проходить через начало координат).
Рис.9.3.
Однако практически реализовать цепь с такими характеристиками не удается, так как невозможно обеспечить K(w)=const и ϕ(ω) = −ωt0 во всем
диапазоне частот от 0 до ∞. Но для решения большинства практических задач это и не нужно, ведь реальные сигналы обладают некоторой конечной шириной спектра ∆f, заключающей основную часть энергии сигнала. Поэтому для неискажающей передачи сигналов бывает достаточно, чтобы цепь имела идеальные или близкие к ним характеристики только в интервале частот, соответствующем ширине спектра, передаваемых сигналов.
Цепь у которой K( jω) = K0e− jωt0 является неискажающей для видео- и
радиосигналов. На выходе такой цепи у радиосигналов сохраняется неизменной начальная фаза высокочастотного заполнения.
Найдем комплексный коэффициент передачи другой цепи, которая, кроме измененияамплитудыизапаздываниярадиосигнала,меняеттакжеего начальную фазу. Сигнал на входе цепи без учета начальной фазы
s(t) = Sm (t)cos(ω0 )
На выходе цепи получим: x(t) = K0Sm (t −t0 )cos[ω0 (t −t0 ) +ϕ0 ]
Если спектральная плотность входного сигнала Ss(w), то для выходного радиосигнала
Sx (ω) = K0Ss ( jω)e− jωt0 ejϕ0 = K( jω)Ss( ( jω).
Следовательно, комплексный коэффициент передачи для неискажающей цепи в этом случае
K( jω) = K0e− j(ωt0 −ϕ0 )
АЧХ будет также постоянной K(ω) = K0 = const , а ФЧХ
ϕ(ω) = −ωt0 +ϕ0.
Таким образом, для неискажающего воспроизведения радиосигнала АЧХ цепи должна быть равномерной, а ФЧХ - линейной, но не обязательно проходящей через начало координат. При прохождении через такую цепь радиосигнал изменяет амплитуду, начальную фазу и запаздывает на время:
t0 = − ∆ϕ(ω) ∆ω
Для реальных радиосигналов спектр расположен в ограниченной области частот в районе несущей. Поэтому комплексный коэффициент передачи должен удовлетворять условиям неискажающей передачи лишь в пределах полосы частот, занимаемых спектром сигнала.
Для иллюстрации можно рассмотреть пример прохождения АМ радиосигнала через контур с полосой пропускания много большей чем, чем ширина спектра радиосигнала (рис.9.4). АЧХ контура K(w) примерно const в пределах полосы ∆ω. ФЧХ ϕ1(ω), ϕ2 (ω), ϕ3 (ω), отличаются друг от друга на
величину п/2 в зависимости, откуда, с индуктивности, емкости или активного сопротивления снимается выходной сигнал. Начальные фазы x(t) будут различными.ПосколькунаклонывсехФЧХодинаковы,товыходныесигналыпри съеме с R, C или L будут задержаны на одинаковое время
е0 = −∆ϕ∆1ω(ω) = −∆ϕ∆2ω(ω) − ∆ϕ∆3ω(ω)