Кроме этих соотношений имеются еще асимптотические:

K(0) = h(∞);

K(∞) = h(0).

Физический смысл этих соотношений ясен. h(∞)-реакция цепи на сигнал включения в установившемся режиме, т.е. когда переходные процессы закончились. K(0)=K(w)|w=o – передаточная характеристика цепи на частоте w=0, т.е. коэффициент передачи цепи для постоянного тока или напряжения.

Временные характеристики типовых радиотехнических звеньев. Дифференцирующее звено.

Одной из разновидностей типовых цепей, часто встречающихся на практике, является дифференцирующая цепь (или в автоматике - дифференцирующее звено). Эта цепь содержит один энергоемкий (накопительный)элементL или C,т.е.являетсяцепьюпервогопорядка(рис.8.19).

Рис.8.19.

Комплексные коэффициенты передачи дифференцирующей RC и RL цепей от э.д.с. к напряжению соответственно равны:

комплексный коэффициент передачи, используемый для описания процессов в дифференцирующих звеньях, не касаясь конкретной схемы.

Однако условие, которому цепь, имеющая такой комплексный коэффициент передачи, будет являться дифференцирующей. По определению, дифференцирующей цепью называется цепь, реакция которой пропорциональна производной воздействия:

x(t) = rs′(t).

Получим условие, которому должна удовлетворять дифференциальная

цепь.

Дифференциальное уравнение для приведенных цепей можно получить с помощью:

Откуда получим:

x′(t) +τ1 x(t) = S′(t).

При условии, что τ мало, справедливо неравенство

Учитывая это неравенство, можно пренебречь первым слагаемым, тогда:

Т.е реакция цепи прямо пропорциональна скорости изменения входного воздействия (R=τ ),

Где r-коэффициент пропорциональности.

Таким образом, условие (8.31) является условием дифференцирования, из которого следует, что цепь тем лучше дифференцирует (равенство (8.32) будет точнее), чем меньшепостоянная времени цепи и чем быстрее изменяется входной сигнал.

Найдем h(t) и g(t) дифференцирующего звена. Для этого сначала находим передаточную функции цепи K(p):

Изображение переходной характеристики:

h( p) = K(pp) = p 1 1 .

+τ

Оригинал найдем по теореме разложения:

h(t) = A(Pk ) = epxt , B′(Pk )

Для импульсной характеристики проще использовать соотношение:

−1 t

Второе слагаемое есть дельта-функция, так как e τ =1 при t=0. А при t≠0 второе слагаемое равно нулю, так как б(t)=0. Окончательно записываем:

x′(t) ≈ τ1 s(t), или

Соотношение (8.37) соответствует определению интегрирующей цепи,

причем = τ1 Следовательно, условие (8.36) является условием интегрирования для

цепей (см.рис.8.21). Цепь будет тем лучше интегрировать входной сигнал, чем больше постоянная времени цепи и чем быстрее изменяется входной сигнал (т.е. больше его производная).

Определим остальные характеристики интегрирующего звена. Передаточная функция:

Изображение переходной характеристики:

1

h( p) = K(pp) = p( pτ+τ1).

Применяем теорему разложения для определения h(t)

Переходная характеристика интегрирующего звена будет:

Импульсная характеристика:

g(t) = dtd h(t)

Проделав эту операцию получаем:

Производная берется от сложной функции, представляющей собой произведения двух функций.Однако второе слагаемое тождественно равно нулю, так как б(t)=0 при всех значениях t≠0, а функция (l-e-t/r) в точке t=0 равна нулю. Но при t=0 б(t)=∞. Эту неопределенность можно разрешить. Если учесть закон коммутации. По которому напряжение на емкости не может меняться скачком за бесконечно короткий промежуток времени.

Исследование выражения (8.40) показывает, что в апериодическом режиме напряжение на конденсаторе при включении источника возрастает, приближаясь при t→∞ к значению U0 (рис.8.24). Ток в цепи сначала растет, а затем по мере заряда емкости начинает падать, стремясь к нулю. Напряжение на индуктивности будет уменьшаться от U0, переходить в отрицательную область и затем уменьшаться до нуля при t→∞.

При α = w0 характеристического уравнения также действительные отрицательные, p1= p2 = -α. Кривые изменения на емкости и тока по виду аналогичны кривым, приведенным на рис.8.24. На основании этого можно утверждать, что собственные процессы вданном случае также имеют апериодический характер. Условие α = w0 является предельным условием существования апериодического процесса в контуре. Колебательный процесс в контуре при включении постоянного напряжения наблюдается. Если α <w0 . При таком предположении слагаемым α в подкоренном выражении можно пренебречь. При этом корни характеристического уравнения оказываются комплексными.

Рис.8.24.

p1 = −α + jω0 , p2 = −α − jω0

Если учесть, что

e± jω0 = cosω0t ± j sinω0t,

Из предположения, что α << w0, получаем:

Проведя аналогичные преобразования, найдем выражения для тока и напряжения на индуктивности:

i = U0 e−αt sin ω0t,

ω0 L

uL = −U0e−αt sin(ω0t − ϕ).