10169

40

б) Стержень с двумя соединительными решетками Формула для определения критической силы получается из предыдущей, если в

ней заменить на 2 и на 2, т.е. здесь следует учитывать обе системы соединительных решеток

8.Устойчивость стержней с планками

Рассмотрим стержень с планками. Полагая, что нулевые точки эпюры изгибающих моментов, в случае деформации стержня, будут на середине расстояний между планками. Вырежем элемент длиной а. Относительный сдвиг будет .

Удельное перемещение получим по правилу Верещагина, рассматривая участок стержня, как раму. Построим эпюру изгибающих моментов и перемножим ее на себя

=

Здесь – жесткость ветви, – жесткость планки, соединяющих ветвей. Тогда получим

=

Подставляя в формулу для Ркр, получим выражение для критической силы

41

II. Динамика стержневых систем

1.Динамические расчеты конструкций

Динамика сооружений – это раздел строительной механики, изучающий колебания упругих систем и, соответственно, методы определения усилий и деформаций в конструкциях, подверженных действию динамических нагрузок.

Динамика сооружений возникла на базе аналитической механики и теории колебаний. На их основе были решены многие важные задачи: колебания маятника, явление удара, колебания стержня и систем с конечным и бесконечным числом степеней свободы. Дальнейшее развитие теории расчета сооружений на динамические нагрузки привело к возникновению ряда специальных направлений:

динамики стержневых систем, пластин, оболочек, динамики оснований и фундаментов и других.

Многие воздействия на сооружения носят ярко выраженный динамический характер. При этих воздействиях сооружения приходят в движение и, хотя перемещения оказываются в большинстве случаев небольшими, скорости и,

главное, ускорения могут достигать величин, опасных для конструкций и для сооружения в целом. К подобным воздействиям относятся сейсмические толчки,

ветровые порывы, а также, например, динамические воздействия технологического происхождения: движение неуравновешенных частей машин и механизмов, движение поездов, кранов и т.п.

Как известно из курса механики, ускоренные или замедленные движения масс вызывают инерционные силы, действующие на конструкцию так же, как и статические нагрузки. Поэтому задачей динамического расчета сооружения является определение инерционных сил, появляющихся при динамических воздействиях.

Особенностью динамических нагрузок является то, что в большинстве случаев они вызывают колебания. При периодическом повторении малых динамических воздействий в определенных условиях происходит накопление энергии системы, выражающееся в постепенном увеличении амплитуды колебаний, а вместе с ней и интенсивности инерционных сил до очень больших размеров. Это явление, называемое резонансом, особенно опасно для сооружений тем, что разрушение может произойти при малых воздействиях и в

42

конструкциях, достаточно прочных по отношению к обычным статическим

нагрузкам.

Существенным отличием динамических методов расчета от статических является введение нового переменного – времени, которое участвует в уравнениях либо в явном виде, либо в виде производных от неизвестных функций по времени. Обычно там, где статическая задача решается при помощи обычных алгебраических или трансцендентных уравнений, соответствующая динамическая задача требует уже решения дифференциальных уравнений с производными по времени. Именно в этой связи динамические расчеты сооружений существенно

сложнее статических.

В динамике сооружений, как и в статике сооружений, оперируют не с действительными конструкциями, а с их расчетными схемами. Особенностью этих расчетных схем является обязательный учет массы конструкции, а также ее

упругих свойств.

Так, например, при расчете систем, преимущественно работающих на изгиб, расчетные схемы представляются в

виде идеально упругих невесомых балок, а

массу конструкции сосредотачивают в одной или нескольких точках, или же считают массу

имеющей большую изгибную жесткость и опирающейся с одной стороны на упругую

опору (рис. 1.2), расчетная схема может быть представлена в виде стержня бесконечной жесткости, шарнирно прикрепленного с одной стороны и имеющего упругую связь с другой стороны.

Задачами динамического расчета являются:

-определение динамических перемещений и скоростей с целью установления возможности их допущения для выполнения нормального технологического процесса и установления допустимых колебаний для различных условий жизни человека (производственных, жилищно-бытовых и т.п.);

-обеспечение несущей способности сооружения, которое производится из предельного условия:

43

N max (t) ≤ φ ,

где: N max (t) - максимальные усилия, деформации или напряжения,

возникающие в элементах сооружения при колебаниях;

φ- предельно допустимые величины, устанавливаемые из условий

прочности, устойчивости, жесткости и выносливости.

Расчет упругих систем на динамическую нагрузку производят в следующей

последовательности:

-назначают расчетную схему сооружения для выполнения динамического расчета;

-определяют нагрузки, действующие на систему;

-составляют дифференциальное уравнение движения системы, решая которое получают уравнение движения системы;

-исследуют уравнение движения системы и находят максимальные значения усилий, деформаций, напряжений.

2. Степень динамической свободы систем

Степенью динамической свободы системы называется число независимых геометрических параметров (обобщенных координат),

определяющих положение всех масс системы в любой момент времени при любом ее движении. По сравнению со статикой, в динамике сооружений задача определения степени свободы системы значительно усложняется. Строго говоря,

любые сооружения вследствие их деформативности и распределения собственной массы вдоль осей всех стержней будут системами с бесконечным числом степеней свободы. В связи со сложностью расчета таких систем, при решении практических задач пользуются упрощенными схемами с конечным числом степеней свободы, стремясь как можно больше понизить это число. Так в системах, преимущественно работающих на изгиб (балки, рамы и др.), обычно пренебрегают малыми продольными и угловыми деформациями в сравнении с большими изгибными, а также малыми распределенными массами в сравнении с большими сосредоточенными, например массой балки в сравнении с массой расположенного на ней оборудования. Практически, степень свободы определяют минимальным количеством условных дополнительных связей,

которые нужно ввести в расчетную схему, чтобы полностью устранить

44

возможность перемещений масс системы, пренебрегая при этом

Если учесть, что углы поворота балки малы (а при расположении двигателя в середине пролета угол поворота сечений вообще равен нулю) и исключить из рассмотрения горизонтальные перемещения, обусловленные продольной деформацией балки, приходим к упрощенной расчетной схеме, которая является системой с одной степенью свободы.

Пример 2. Определить степень динамической свободы W системы,

изображенной на рис. 2.2.

45

3. Динамические нагрузки

Динамическими называют нагрузки, величина, направление или точки приложения которых изменяются во времени настолько быстро, что в элементах конструкции возникают силы инерции. Силы инерции возникают вследствие сообщения массам сооружения ускорений при колебаниях.

Динамические нагрузки характеризуются законом изменения во времени

P(t). В том случае, если этот закон может быть представлен в аналитическом или,

хотя бы, в графической зависимостях, динамическую нагрузку называют хорошо определенной или детерминированной. В том случае, если закон изменения динамической нагрузки не может быть задан аналитически, но возможно его представление через теорию случайных функций, нагрузка называется случайной

или недетерминированной.

К детерминированным нагрузкам относятся:

- импульсивные нагрузки

Импульсивными называют внезапно приложенные и быстро исчезающие нагрузки, продолжительность действия которых мала в сравнении с периодом основного тона собственных колебаний (t ≤ 0,1 T , где T − период собственных колебаний) . Выделяют однократный, повторяющийся и периодический

импульс. Импульсы различаются по форме и могут быть прямоугольными, треугольными,

параболическими и др. – см. рис. 3.1. Значение однократного импульса равно площади

t

соответствующих фигур S = ∫ P(t)dt .

0

Периодический импульс состоит из одинаковых импульсов, повторяющихся через равные промежутки времени, называемые периодом Ts (рис. 3.2). Импульсивные нагрузки возникают от работы вырубных прессов, штамповочных автоматов, долбежных станков, а также при движении транспорта.

Эффект действия импульсивных нагрузок

Рис. 3.1

определяется только величиной импульса и не

47

Выразим основные параметры гармонической нагрузки. С этой целью

вертикальной Py и горизонтальной Px составляющих нагрузки, совпадающие с

(3.1). Таким образом, при вращении детали механизма с неуравновешенной массой, на сооружение действуют две гармонические силы, отличающиеся по

фазе на π . Круговая частота гармонической нагрузки совпадает с угловой

2

скоростью вращения, а амплитуда определяется выражением (3.2).

n

- Сложные гармонические нагрузки P(t) = ∑ Pi × sin(θi t + α i ) . Этот вид

i=1

загружения создается механизмами с кривошипно-шатунными механическими схемами – поршневые компрессоры, лесопильные рамы и др.

- Подвижные нагрузки создаются в результате перемещения механизмов или машин по строительным конструкциям.

К случайным или недетерминированным нагрузкам относятся:

- ветровая нагрузка. Она имеет статическую и динамическую составляющие (рис. 3.6а). Статическая составляющая учитывает установившийся скоростной напор ветра. Ее необходимо определять при расчете любых зданий и сооружений. Динамическая составляющая характеризует пульсацию скоростного напора ветра вследствие его порывов и учитывается при расчете высотных сооружений: башен,

теле-радио мачт, высотных зданий с высотой

более 40 м.

Рис. 3.6

48

-сейсмическая нагрузка. Она возникает в результате колебаний грунта при землетрясениях и носит случайный характер. Эта нагрузка не имеет статической составляющей (рис. 3.6б).

Кроме рассмотренных существуют и другие виды динамических нагрузок,

оказывающих существенное влияние на процесс колебания сооружений.

4. Понятие о коэффициенте динамичности

Достаточно сложные динамические расчеты на практике стремятся привести специальными приемами к более простым статическим расчетам.

Одним из таких способов является введение коэффициента динамичности μ .

Коэффициент динамичности показывает во сколько раз динамический эффект превышает статический. Он определяется в зависимости от вида действующей динамической нагрузки.

Рассмотрим упругую систему, находящуюся под действием статической нагрузки G и

динамической нагрузки P(t). Выразим величину

динамической нагрузки:

Рис. 4.1

Smax (t) = Sст. + μ × S * .

5. Колебания систем с одной степенью свободы

При колебаниях систем различают свободные и вынужденные колебания.

Вынужденными называют колебания, вызванные воздействием возмущающей силы.

Свободными называют колебания, вызванные начальными возмущениями.

В динамике сооружений под начальными возмущениями понимают либо начальную скорость, либо начальное перемещение.

49

Пусть на систему с одной степенью свободы действует динамическая нагрузка P(t) рис. 5.1. В момент времени t на массу M будут действовать силы:

- собственный вес массы Q = m × g = C × yст ;

-возмущающая сила P(t);

-восстанавливающая сила упругости (уп-

ругое сопротивление балки):

равнялось 1. Коэффициент жесткости “C” связан c удельным перемещением точки приложения массы выражением C = 1/ δ11 , где δ11 - перемещение точки приложения сосредоточенной массы от единичного значения силы P, приложенной в этой

точке в направлении возможного перемещения массы; g = 9,81м/ с2 - ускорение

свободного падения, b − коэффициент пропорциональности.

Применяя принцип Даламбера (“движущуюся систему масс можно считать уравновешенной, если кроме действующих на них сил приложить силы инерции,

равные Fи = M ×W = M × &y& ”) и используя условие равновесия в виде ∑Y = 0 ,

получим дифференциальное уравнение движения системы с одной степенью свободы:

5.1.Свободные колебания системы с одной степенью свободы без учета сил сопротивления

Если в уравнении (5.1) принять P(t) =0, то получим дифференциальное

уравнение движения системы при свободных колебаниях без учета сил