9789

Задача 2. К началу планирования (1990 г.) известны данные для расчета плана чистой прибыли и затрат на 1995 год. Проанализировать, какими могли бы быть затраты и чистая прибыль в 1995 году под влиянием инфляции от

20% до 50% с шагом 5%. Результаты планирования, которые подвергаются

анализу, должны быть предварительно рассчитаны в базовой таблице.

Последовательность решения:

Выделить различными цветами ячейки исходных данных, первичных фор-

мул (расчет балансовой прибыли, затрат и чистой прибыли в 2001 г. и чистой прибыли 2000 г.) и показателей затрат и чистой прибыли, которые в дальней-

шем будут подвергнуты анализу.

2. Выполнить предварительные расчеты результатов планирования. Фор-

мулы вводить только в ячейки, рассчитывающие чистую прибыль 2000 г.; ба-

лансовую прибыль, затраты и чистую прибыль 2001 г. В остальные ячейки таб-

лицы формулы копировать. При расчете балансовой прибыли и затрат приме-

нить функцию ОКРУГЛ (округлить до двух знаков).

3. Создание факторной таблицы анализа чувствительности и подготовка к расчету:

51

Задачи для раздела 2. Принятие решений в условиях определенности.

Оптимизационные модели. Модели линейного программирования.

Задача 1.

Компания Longer Boats производит три вида высококлассных гоночных яхт – «Sting», «Ray» и «Breaker». Соответствующие данные о затратах и дохо-

дах на ближайший плановый период представлены в таблице. Необходимо вы-

яснить, сколько и каких яхт необходимо продать, чтобы добиться безубыточно-

сти. Создайте математическую модель линейного программирования. На ее ос-

нове разработайте табличную версию модели и оптимизируйте ее с помощью средства «Поиск решения». Постройте график для нахождения точки безубы-

точности.

Фиксированные затраты – это всевозможные расходы, которые суще-

ствуют независимо от того, какое количество продукта производится. Так, для яхт класса «Ray» потребуется затратить те же самые $3000000 независимо от того, будет построена 1, 20 или 0 яхт этого класса. Точка безубыточности ха-

рактеризуется тем, что суммарный доход равняется суммарным затратам.

На рис. 20 представлено определение точки безубыточности для яхт класса «Sting». Как следует из графика, если компания Longer Boats будет про-

изводить только яхты «Sting», то для того, чтобы добиться безубыточности, ей потребуется выпустить не менее 1 000 яхт.

52

Рис. Определение точки безубыточности

Руководство компании заключило контракт на производство 700 яхт

«Sting» и на 400 яхт «Breaker», и руководство заинтересовано в выполнении данного заказа. Анализ рынка показал, что следует произвести не более 300 яхт

«Ray». Поскольку фиксированные затраты придется нести в любом случае, це-

лью можно считать минимизацию суммарных переменных затрат.

Последовательность действий Определим переменные решения:

S – количество произведенных яхт «Sting»,

R –количество произведенных яхт Ray,

B – количество произведенных яхт Breaker.

Тогда уравнение точки безубыточности примет вид:

10000 S 7500 R 15000 B 5000 S 3600 R 8000 B 18000000

или

5000 S 3900 R 7000 B 18000000 .

Целевая функция (суммарные переменные затраты) имеет вид:

5000 S 3600 R 8000 B min

при условии, что S≥0, R≥0, B≥0.

Табличная модель задачи, окно «Поиск решения» и график достижения безубыточности приводятся ниже на рисунках.

53

Рис. Табличная модель задачи о безубыточности

Рис. Диалоговое окно «Поиск решения» задачи о безубыточности

Рис. График достижения безубыточности

Ответ: 18310000, S=2806, R=300, B=400. 54

Задача 2. Анализ чувствительности (параметрический анализ)

Для задачи линейного программирования, имитирующей расход ресурсов выполнить анализ чувствительности (параметрический анализ).

Решить задачу линейного программирования в EXCEL через Поиск реше-

ния.

Анализ оптимального решения начинается после успешного решения зада-

чи, когда на экране появляется диалоговое окно Результат поиска решения.

Решение найдено. С помощью этого диалогового окна можно вызвать отчеты трех типов: результаты; устойчивость; пределы.

Таблицы 1-3. Отчет по результатам:

55

Отчет по результатам состоит из трех таблиц:

Таблица 1 приводит сведения о целевой функции. В столбце «Исходное значение» приведены значения целевой функции до начала вычислений.

Таблица 2 приводит значения искомых переменных, полученные в резуль-

тате решения задачи.

Таблица 3 показывает результаты оптимального решения для ограничений и для граничных условий.

Для Ограничений в графе Формула приведены зависимости, которые были введены в диалоговое окно Поиск решения; в графе Значение приведены вели-

чины использованного ресурса; в графе Разница показано количество неис-

пользованного ресурса. Если ресурс используется полностью, то в графе Состо-

яние указывается связанное; при неполном использовании ресурса в этой графе указывается не связан. Для Граничных условий приводятся аналогичные величи-

ны с той лишь разницей, что вместо величины неиспользованного ресурса по-

казана разность между значением переменной в найденном оптимальном ре-

шении и заданным для нее граничным условием.

Отчет по устойчивости:

Отчет по устойчивости состоит из двух таблиц.

Втаблице 1 приводятся следующие значения дня переменных:

-результат решения задачи;

56

- Норм. стоимость, т. е. дополнительные двойственные переменные, кото-

рые показывают, насколько изменяется целевая функция при принудительном включении единицы этой продукции в оптимальное решение;

-коэффициенты целевой функции;

-предельные значения приращения коэффициентов целевой функции, при которых сохраняется набор переменных, входящих в оптимальное решение.

В таблице 2 приводятся аналогичные значения для ограничений: величина использованных ресурсов; теневая цена, т. е. двойственные оценки, которые показывают, как изменится целевая функция при изменении ресурсов на еди-

ницу; значения приращения ресурсов, при которых сохраняется оптимальный набор переменных, входящих в оптимальное решение.

Отчет по пределам. В нем показано, в каких пределах может изменяться выпуск продукции, вошедшей в оптимальное решение, при сохранении струк-

туры оптимального решения: приводятся значения Xj в оптимальном решении;

приводятся нижние пределы изменения значений Xj.

Кроме этого, в отчете указаны значения целевой функции при выпуске данного типа продукции на нижнем пределе. Далее приводятся верхние преде-

лы изменения х, и значения целевой функции при выпуске продукции, вошед-

шей в оптимальное решение на верхних пределах.

Параметрический анализ. Под параметрическим анализом будем понимать решение задачи оптимизации при различных значениях того параметра, кото-

рый ограничивает улучшение целевой функции.

Параметрический анализ будем выполнять для задачи линейного програм-

мирования в нескольких вариантах. Далее Сервис, Поиск решения, Выполнить.

На экране: диалоговое окно Результаты поиска решения, Сохранить сцена-

рий, Ввести имя сценария, ОК. Повторить данную процедуру для всех вариан-

тов. Затем Сервис, Сценарии. Окно Диспетчер сценариев, Отчет. Окно Отчет по сценарию, Структура, ОК.

57

В результате выполнения данных анализов определяется влияние управля-

емых переменных на результаты эксперимента.

Задача 3.

Пусть в производстве 4-х видов продукции участвуют 4 вида ресурсов.

Известны нормы расхода ресурсов на производство единицы продукции

(матрица А), цены ее реализации (матрица С) и запасы ресурсов (матрица В).

Определить план производства продукции, максимизирующий выручку от реализации производственной продукции.

Тогда математическая модель задачи примет вид: найти х1, х2, х3, х4 (объемы производства каждого вида продукции), удовлетворяющие ограничениям:

каноническому виду добавлением в левые части ограничений неотрицательных балансовых переменных:

x j 0, si 0, j 1,4 ,i 1,4 ,

z 4x1 5x2 7x3 9x4 max .

58

Значения балансовых переменных показывают объемы неизрасходованных ресурсов в соответствующем плане. Отчет о решении этой задачи с помощью

Приложения «Поиск решения» в MS Excel.

Итак, для получения максимального дохода от реализации производствен-

ной продукции ее необходимо выпустить в объемах: х1*=67,083; х2*=0; х3*=15;

х4*=103,333. При этом zmax=1303,333.

Двойственная задача. Найти значения переменных у1, у2 у3, у4, удовлетво-

w=550y1+400y2+650y3+520y4

Решения этой задачи: y1*=0,833, y2*=0, y3*=1,167, y4*=0,167.

Проиллюстрируем свойства двойственных оценок на основе этой задачи.

1. Каждая из оценок указывает, на сколько изменится максимальное значе-

ние целевой функции (максимальная выручка), если изменить на единицу запа-

сы соответствующих ресурсов. Наибольшее изменение выручки произойдет,

если изменить объем 3-го ресурса ( y3* = 1,167), а изменение второго ресурса (в

границах устойчивости) не приведет к изменению целевой функции (у2*=0).

2. Оценки у1*, у3*, у4* положительны. Это означает, что при реализации оп-

Аналогично для третьего и четвертого ресурсов (проверить самостоятель-

но). Следовательно, 1,3,4-й ресурсы дефицитны. у2*=0. Это означает, что в оп-

тимальном решении второй ресурс расходуется не полностью. Проверим это.

59

Остаток второго ресурса составляет 400-349б582 50,4. Это и есть значение балансовой переменной в оптимальном решении исходной задачи.

3. Рентабельными являются 1-я, 3-я и 4-я продукции (х1*, х2*, х3* в опти-

мальном плане положительны), а нерентабельной 2-я – х2*. Проверим это, под-

ставив уi* в сопряженные условия двойственной задачи. Для первой продукции:

4 0,833 3 0 4 0,167 4 . Получили строгое равенство.

Аналогично для 3-й и 4-й продукции (проверить самостоятельно). Покажем нерентабельность второй продукции, подставив yi во второе ограничение двойственной задачи. Получим:

2 0,833 5 1,167 0,167 7,668 5 .

Итак, оценка ресурсов, необходимых для производства единицы 2-й про-

дукции больше цены единицы этой продукции на 7,668-5=2,668.

Задача 4. Транспортные модели

Транспортная задача является одной из наиболее распространенных задач линейного программирования и находит широкое практическое применение.

Постановка транспортной задачи.

Некоторый однородный продукт, сосредоточенный у m поставщиков Аi в

количестве ai (i = 1, ..., m) единиц, необходимо доставить n потребителям Bj в

количестве bj (j = 1, ..., n) единиц. Известна стоимость cij перевозки единицы груза от поставщика i к потребителю j. Необходимо составить план перевозок,

позволяющий с минимальными затратами вывести все грузы и полностью удо-

влетворить потребителей.

Экономико-математическая модель транспортной задачи.

Обозначим через xij количество единиц груза, запланированных к перевоз-

ке от поставщика i к потребителю j. Так как от поставщика i к потребителю

60