8781

152

Иногда равенство (1) приближенное, например, если колебания затухают. Колебательные процессы окружают нас повсюду, и такой вид движения относится к самым распространенным в природе и технике. Колебания существуют не только в физических системах; это может быть биологический объект, экономический или социальный процесс и.т.п. Мы будем рассматривать физические системы, хотя используемое математические описание, известное как теория колебаний, является весьма общим .

Колебания возникают в любой системе, имеющей устойчивое состояние равновесия при отклонении от этого состояния. В механических колебательных системах при отклонении от равновесия возникает сила, которая стремится вернуть систему назад; её называют возвращающей или квазиупругой силой. Например, в случае самой простой модели - груз на пружине - это сила упругости. Слово «сила» в общем случае не следует понимать буквально: в механике это может быть и момент силы, для электромагнитных колебаний эта «сила» обусловлена явлением самоиндукции.

Колебания различаются по нескольким классификационным признакам. Во-первых по форме (т.е по виду функции x(t) ). Здесь колебания делятся на две группы: гармонические и негармонические ( все остальные).

Гармоническими называют колебания, описываемые функцией времени вида

частота , φ - начальная фаза колебаний. Заметим, что вместо функции синус в формуле (2) можно писать и косинус (они отличаются по фазе на π / 2 ).

Рис.1.

. Осциллограммы гармонических колебаний. Начальная фаза 1-го колебания равна нулю, второго - π / 2 .

Гармонические колебания выделяются из всех других по следующим

(негармонические), в сущности, представляют собой суперпозицию гармонических (в математике это положение называется теоремой Фурье, а соответствующее представление периодических функций - рядом Фурье).

153

По характеру возникновения колебания делятся на собственные (или свободные) и вынужденные. Собственные - это колебания, вызванные только начальными условиями (например, начальным смещением или начальной скоростью). Вынужденные - это колебания вызванные действием периодической (т.е. также колебательной) внешней «силы».

По динамике процесса колебания делятся на незатухающие, затухающие (при этом амплитуда уменьшается со временем), нарастающие (амплитуда растет). Например, собственные колебания всегда являются затухающими. Существуют также автоколебания - колебания, вызванные действием непериодической «силы» и параметрические колебания - колебания, вызванные периодическим изменением какого-либо параметра системы, связанного с её энергией (например, раскачивание качелей без внешнего воздействия).

КИНЕМАТИКА ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ.

Рассмотрим гармоническое колебание, описываемое уравнением (2). Напомним, что x(t ) - смещение некоторой величины от равновесного состояния. Колебание определяется заданием амплитуды, частоты и

начальной фазы.

Если смещение определяется формулой (2), то мгновенная скорость v есть производная по времени от x , а ускорение a - вторая производная

V (t)=x′(t)= Aωcos(ωt+φ ) ,

Заметим, что последнюю формулу можно записать в виде

Из выражений (4) ясно, что максимальная скорость и максимальное ускорение определяются формулами

154

ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР, НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ.

Рассмотрим простейшую модель колебательной системы - груз массы m, закрепленный на пружине с коэффициентом жесткости k, который может перемещаться без трения в горизонтальном направлении (см. рис.2).

Рис.2. Пружинный маятник.

В произвольный момент времени t на него действует сила упругости, и

предстоит выяснить. Мы получили дифференциальное уравнение, связывающее смещение и его вторую производную. Подставив выражение (5) в (8) мы

Дифференциальное уравнение (8) называется уравнением гармонического осциллятора (oscillation - колебание). Оно имеет универсальный вид для любой системы, где возможны незатухающие гармонические колебания. Итак, частота собственных колебаний пружинного маятника определяется формулой (9), а в общем случае она определяется свойствами самой колебательной

системы.

Выясним, от чего зависит амплитуда и начальная фаза. Положив в формуле (2) и в первой формуле (4) t = 0 , запишем

155

x0 = x(0) = A sin φ , v0 = v(0) = Aω cos φ .

Отсюда можно выразить амплитуду и начальную фазу:

Таким образом, амплитуда и начальная фаза собственных колебаний определяется начальными условиями . В рассмотренном примере это начальное смещение груза и начальная скорость. В частности, если колебание возникает из-за начального смещения (начальная скорость равна нулю), то как видно из

A = v0 / ω , φ = 0 .

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭНЕРГИИ В ПРОЦЕССЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ.

При любом колебательном процессе происходит периодическое преобразование энергии из одного вида в другой. В рассмотренной модели это потенциальная энергия деформированной пружины и кинетическая энергия груза. Они определяются выражениями

одинаковы. Складывая эти формулы (и учтя основное тригонометрическое тождество sin2 z + cos2 z = 1, z = ω t + φ ), получим

изменяются со временем (см. рис.3), полная энергия колебаний не зависит от времени и определяется выражением (11) .

156

Видно, что максимум кинетической энергии соответствует минимуму потенциальной и наоборот, а сумма их остается постоянной.

Сохранение энергии обусловлено тем, что мы пока не учли трение. Хотя формула (11) получена для простейшей модели колебательного движения,

заметим, что энергия колебаний в любой системе пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату частоты.

ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК.

Физический маятник - это любое тело, имеющее ось вращения, не совпадающую с его центром масс (см., например, рис.4) . Здесь точка С - центр масс, l - его расстояние до оси вращения О.

Рис.4. Физический маятник.

При выведении из состояния равновесия он будет совершать колебания, которые при небольших амплитудах будут гармоническими. Покажем это. Исходим из основного уравнения динамики вращательного движения

157

где α - текущий угол отклонения, зависящий от времени. Поскольку угловое ускорение β есть вторая производная от α , подставив все в (12), запишем

«похожее» на уравнение гармонического осциллятора (8). Конечно, это совсем другое уравнение и гармоническое колебание не является его решением, а значит колебания физического маятника не являются в общем случае гармоническими. Однако, если они достаточно малы, так, что можно

В частности, для математического маятника ( для него момент инерции I = ml 2 ) из (15) получается хорошо знакомая вам формула

T = 2π l / g .

ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ.

Любые собственные колебания со временем затухают из-за потерь энергии. В механических системах основной причиной таких потерь является вязкое трение. Вязкое трение - это трение движущегося тела о среду. При малых скоростях движения она пропорциональна скорости

где μ - коэффициент вязкого трения (он зависит от вязкости среды, размеров и формы тела). Вернемся к простейшей модели - пружинному маятнику (см. П.3) и учтем в формуле (7) кроме упругой силы силу трения (16). При этом уравнение осциллятора (8) запишем в виде

Рис.5.

Осциллограммы затухающих колебаний. Коэффициенты затухания для этих кривых связаны соотношением β1 < β 2 < β 3 . Кривая 3 соответствует границе апериодического режима.

Частота затухающих колебаний несколько меньше частоты

две характеристики безразмерны; слабое затухание соответствует малому значению декремента, или большой ( Q>>1 ) добротности.

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР; СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ.

159

Рассмотрим теперь электромагнитные колебания. Заметим предварительно, что электромагнитные колебания, распространяющиеся в пространстве - электромагнитные волны - это неотъемлемая составляющая современной цивилизации: радио, телевидение, средства связи, радиолокация, интернет - вот основные формы их применения.

Рис. 6. Колебательный контур.

Колебательный контур состоит из катушки индуктивности L , конденсатора C и сопротивления R (см. рис. 6 ). Оно, как правило, не ставится специально, а представляет собой сопротивление катушки и проводов.

Рассмотрим сначала собственные колебания, полагая, что клеммы для подключения входного сигнала замкнуты, а конденсатор заряжен в момент времени t = 0 включён в контур. Он разряжается через катушку, но возникающая в ней при прохождении тока ЭДС самоиндукции замедляет этот процесс. Спустя некоторый (в действительности, очень малый) промежуток времени конденсатор перезарядится (полярность пластин поменяется), и ток пойдет в обратном направлении. Так возникает колебательный режим. Из-за потерь энергии на сопротивлении колебания будут затухать. Заметим, что здесь происходят колебания заряда конденсатора Q(t), напряжения на конденсаторе U(t), силы тока I(t).

Запишем закон Кирхгофа (сумма падений напряжений на всех элементах контура равна сумме ЭДС), учтя, что мы имеем ЭДС самоиндукции,

Учтём также, что напряжение на конденсаторе связано с его зарядом формулой U = Q / C . Следовательно,

Поэтому продифференцировав уравнение (21), и используя (22), получим

160

уравнение затухающих колебаний для напряжения

совпадающее по форме с уравнением для механических колебаний (17). Частота собственных колебаний и коэффициент затухания здесь определяются формулами

а частота затухающих колебаний связана с ω 0 формулой (19). Отметим, что затухание электрических колебаний обусловлено сопротивлением контура.

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ, РЕЗОНАНСНАЯ КРИВАЯ.

Напомним, что вынужденные колебания возникают под действием периодической внешней силы. Роль такой «силы» для электромагнитных колебаний в контуре на рис.6 играет гармоническое напряжение v(t), приложенное к клеммам (синусоидальный сигнал, подаваемый с генератора). Положим, что

и запишем закон Кирхгофа, как делали выше. Только теперь ЭДС будет складываться из ЭДС самоиндукции (20) и внешнего сигнала (25). Используя, как и ранее, (21), (22), получим уравнение вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе

U ¢¢+ 2βU ¢ +ω0 2U =ω02 a ×sin(ωt) , (26)

которое отличается от (23) только правой частью. Если входное напряжение действует в течении времени большем времени затухания собственных

и (продифференцировав нужное количество раз) подставим в (26). Косинус суммы, входящий в (27) разложим по формуле