8751

170

Вопросы для самоконтроля и повторения

11.Какое движение называется колебательным? Какие колебания называются свободными, гармоническими, вынужденными?

12.Дайте определение параметров колебательного процесса (амплитуда, фаза, период, частота, циклическая частота).

13.Что называется гармоническим осциллятором? Приведите примеры гармонического осциллятора.

14.Выведите дифференциальное уравнение свободных колебаний пружинного маятника. По каким формулам определяются периоды гармонических колебаний пружинного, физического и математического маятников?

15.Выведите дифференциальное уравнение свободных электромагнитных колебаний в контуре. По какой формуле определяется период колебаний в контуре с малыми омическими потерями?

16.Какие колебания называются затухающим? Запишите дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение.

17.Что такое логарифмический декремент затухания, добротность системы? В чем заключается физический смысл этих величин?

18.Какие колебания называются вынужденными? Запишите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение.

19.Что называется автоколебаниями? В чем их отличие от вынужденных колебаний? Приведите примеры автоколебательных систем.

20.Что называется резонансом? Запишите выражения для циклической частоты и амплитуды колебаний при резонансе.

21.Что называется переменным электрическим током? Выведите закон Ома для цепи переменного тока. От чего зависят индуктивное и емкостное сопротивления?

22.Каковы характерные признаки резонанса напряжений, резонанса токов? Нарисуйте векторные диаграммы цепей переменного тока в режимах последовательного и параллельного резонанса.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

1.Материальная точка совершает гармонические колебания. Период Т = 2 с, амплитуда А = 5 см . Начальная фаза равна нулю. Найти скорость точки v в момент времени, когда её смещение x = 2.5 см .

Запишем уравнение колебаний

x = A sin(ωt) , ω = 2π / T .

171

Дифференцируя, находим скорость

v = Aω cos(ωt ) .

Из первого уравнения выразим

sin(ωt) = x / A = 1 / 2 .

Подставляя во второе и используя данные задачи, получаем значение скорости v = 2πA / T cos(1 / 2) = 0,136 м/с .

2.Амплитуда колебаний за 1 минуту уменьшилась вдвое. Во сколько раз она уменьшится за 3 минуты?

На основании формулы (18), для амплитуды затухающих колебаний запишем

Логарифмируя, находим (учтем, что t2 = 3t1 ):

β t1 = ln( A0 / A1 ) = ln(2) , β t2 = 3β t1 = 3ln(2)

Составив отношение амплитуд, получим

A2 / A0 = e−3ln(2 ) = 2−3 = 1 / 8

Амплитуда уменьшится в 8 раз.

3.Точка участвует в двух колебаниях одинаковой частоты с амплитудами A1 =

3 см, A2 = 4 см. и одинаковыми начальными фазами. Найти амплитуду результирующего колебания, если: а) - колебания в одном направлении; б) - колебания перпендикулярны.

Используя формулу (32), где φ = φ 2 − φ 1 = 0 , для случая а) находим A = A1 + A2 = 7 см. Для случая б), используя формулу (40)

при φ = 0 , приходим к уравнению траектории (40б)

y = A2 x / A1 = 4 / 3 x .

Точка наибольшего отклонения от равновесного состояния (0,0) имеет координаты (3,4), она удалена от состояния равновесия на расстояние, равное

32 + 42 = 5 см. Это и будет результирующая амплитуда A .

Волновые процессы.

2.1 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, КЛАССИФИКАЦИЯ ВОЛН.

172

Волновые процессы, или волны окружают нас повсюду: волны на воде - поверхностные волны, звуковые волны, электромагнитные волны (в частности, видимый свет, излучение тепла нагретым телом) — это далеко не

полный перечень волновых процессов. Мы ограничимся весьма кратким рассмотрением этого класса физических явлений.

Итак, волной называют колебание какой-то физической величины, распространяющееся в пространстве, т.е. волна это бегущее колебание. Если колебание описывалось функцией одного аргумента - времени, то волна есть функция по крайней мере двух переменных - времени и пространственной координаты (в общем случае всех координат x, y, z ).

Геометрическое место точек пространства, где колебания имеют одинаковую фазу, называется волновой поверхностью, а первая (т.е. наиболее удаленная от источника) волновая поверхность - волновым фронтом. По форме волнового фронта различают плоские, сферические, цилиндрические

волны.

Плоские волны создаются плоским излучателем, имеющим достаточно большие размеры (формально - бесконечной плоскостью). Если такая волна распространяется вдоль оси x, то она описывается функцией двух переменных

p(x;t) .

Сферические волны создаются источником сферической формы. Например, источником таких звуковых волн может служить динамик с

при любой форме источника колебаний. Другими словами, источник колебаний малых размеров излучает сферические волны. Такие волны описываются функцией p(r;t) , где r - расстояние от источника.

Предположим, что источник совершает гармонические колебания частоты ν ( ν = 1 / T = ω / 2π ) , где T - период колебаний, ω - циклическая частота. Расстояние, пробегаемое волной за один период колебания называется длиной волны, т.е.

где c - скорость распространения волны.

По форме распространяющихся колебаний различают гармонические (в оптике их называют монохроматические) и негармонические волны. Последние можно представить суперпозицией гармонических.

По физической природе различают упругие (или звуковые) волны, поверхностные (например, волны на воде), электромагнитные и другие. Естественно, характеристики перечисленных волновых процессов совершенно различны. Они различны и внутри любого одного типа волн; например, различна скорость звука в газах и жидкостях, свойства электромагнитных волн существенно зависят от их частоты. Однако, как и в случае колебаний, в математическом описании волн разных видов много общего.

173

По направлению колебаний различают волны продольные и поперечные. Для первых направление колебаний совпадает с направлением распространения волны, для вторых - эти направления взаимно перпендикулярны. Например, звук в газах - это продольные волны, электромагнитные волны - поперечные

ПЛОСКИЕ И СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ.

Предположим, что в плоскости x = 0 имеется источник совершающий колебания; например, для звуковых волн, это может быть плоскость диффузор громкоговорителя. Считаем эти колебания гармоническими с амплитудой A и циклической частотой ω

плотности), вызванные колебаниями источника p(0; t) , передаются от точки к точке, и вдоль оси x побежит плоская волна p(x; t) , см. рис.13.

Рис.13. Распространение плоской волны.

Пренебрегая затуханием колебаний по мере их распространения, считаем,

называется волновым числом (напомним, что λ - длина волны). Итак, плоская гармоническая волна, распространяющаяся вправо вдоль оси x со скоростью c описывается формулой

174

Ясно, что для волны, бегущей влево в выражении (44) следует поставить знак + (т.к. изменится знак скорости).

Наблюдая волну (44) в фиксированной точке x = x1 , мы имеем гармоническое колебание, фаза которого зависит от выбранной точки

это осциллограмма плоской волны. Зафиксировав в (44) момент времени

t = t1 , получим гармоническую функцию координаты, называемую мгновенный снимок волны

Период этой функции равен длине волны λ .

Предположим теперь, что в начале координат имеется точечный источник, совершающий гармонические колебания. Проводя аналогичные рассуждения, запишем уравнение вызванной им сферической волны в виде

где r - длина радиуса - вектора в точку наблюдения. Существенным отличием формулы (45) от (44) является то, что амплитуда здесь будет убывать по мере распространения даже в отсутствии потерь. В самом деле, площадь волнового фронта (сферы радиуса r ) растёт пропорционально квадрату радиуса, а энергия колебаний на каждой такой сфере должна быть одинакова. Поскольку энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды , отсюда следует, что

A2 r 2 = const ,

2.3 ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ПЛОСКИХ ВОЛН.

Напомним, что гармоническое колебание является общим решением дифференциального уравнения (8), называемое уравнением гармонического осциллятора. Плоская волна (44) является общим решением дифференциального уравнения в частных производных

175

Подставив (48) в (47) и учтя, что волновое число k = ω / c , получим тождество. Уравнение (47) возникает при решении многих физических проблем: оно получается из законов механики в задаче распространения колебаний смещения среды в твердом теле, из газовых законов при исследовании распространения колебаний давления в газе, из уравнений электродинамики в задачах распространения электромагнитных волн. Конечно, в разных задачах

физический смысл переменной p скорости c различен.

Отметим, что гармоническая волна (44) это лишь одно из его решений. Оказывается, ему удовлетворяет колебание любой формы, бегущее со скоростью с. В самом деле, пусть колебание источника представляет собой

любую функцию времени , т.е. p(0;t) = f (t) . Тогда в точке x оно имеет вид

p(x;t) = f (t − x / c) .

Обозначим z = t − x / c и дифференцируя, имеем

Подставляя (49) в (44), мы вновь получаем тождество.

ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ.

Звуковые волны в газе представляют собой бегущие колебания давления p (или плотности ρ , поскольку, согласно уравнению состояния газа, p ρ ).

Если атмосферное давление равно pA , то полное давление в точке x , которую достигла плоская волна в момент времени t , будет

P(x;t)=pA+p (x;t) ,

где p(x;t) - малая добавка, определяемая формулой (44).

176

Человек слышит не любой звук, а примерно, в диапазоне частот от 20 герц до 20 килогерц. Колебания более низких частот называют

инфразвуком, а более высоких - ультразвуком.

Скорость распространения звуковых волн в газе зависит от плотности среды (а она связана с температурой) и определяется формулой

Звуковые волны в твердых телах могут быть как продольными, так и поперечными (сдвиговыми). Скорость распространения звука в твердых телах зависит от их упругости и плотности и она значительно выше скорости звука в газах. В частности, скорость продольных волн в стержнях определяется формулой

восприятие громкости - логарифму интенсивности. Принятая в акустике единица измерения интенсивности звука - децибел ориентирована именно на логарифмическое восприятие. Скажем, если интенсивность в единицах системы СИ равна I (вт/ M 2 ), то в децибелах она равна

177

где I 0 - минимальная интенсивность, соответствующая порогу слышимости (примерно 10−12 вт/ M 2 ).

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ.

Электромагнитные волны представляют собой взаимно связанные колебания напряженности электрического и магнитного полей, распространяющиеся в пространстве. Источником электромагнитных волн являются движущиеся с переменной скоростью электрические заряды. Это могут быть хаотически движущиеся свободные электроны или ионы (в случае теплового излучения), переменный ток достаточно высокой частоты в проводнике (при излучении радиоволн), электроны, переходящие с верхних энергетических уровней на нижние (при излучении света газоразрядными трубками и лазерном излучении).

Электромагнитные волны могут распространяться в свободном пространстве (вакууме) или в средах не проводящих электрический ток. В проводящей среде они вызывают движение зарядов, следовательно, их энергия превращается в тепло и волны быстро затухают. Скорость электромагнитных волн в вакууме

c » 3×108 M /c ,

диэлектрических средах, где, собственно, и могут распространяться волны,

μ = 1 .

Электромагнитные волны поперечные: если, например, волна бежит вдоль оси x , то колебания вектора напряженности электрического поля E направлены вдоль оси y , а колебания напряженности магнитного поля H - вдоль оси z (или наоборот). Соответствующие формуле (47) волновые уравнения здесь имеют вид

(54)

электромагнитных волн было теоретически обосновано Максвеллом в 1860 году, а экспериментально обнаружены они были спустя примерно полвека Герцем. Практическое использование электромагнитных волн в современном мире постоянно растет.

Приведем в заключение шкалу электромагнитных волн, где длине волны примерно соответствует указанный характер электромагнитного излучения.

Рис.14. Шкала электромагнитных волн.

Отметим, что видимый свет ограничен диапазоном длин волн

3.6 ×10−7 £ λ £7.7 × 10−7 (м)

Нижняя граница соответствует фиолетовому цвету, верхняя - красному. Излучение на длинах волн справа от этого интервала называется инфракрасным (воспринимается, как тепло), а слева от него - ультрафиолетовым.

Электромагнитное излучение с длинами волн, примерно от 10−3 м

до 104 м, называют радиоволнами различных диапазонов. Они чрезвычайно широко используются в современной технике. Радио, телевидение, радиолокация - основные сферы их применения.

Краткие выводы

∙Механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде,

называются упругими (механическими) волнами. Вместе с волной от частицы к частице среды передаются состояния колебательного движения

иэнергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.

∙Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими.

∙Длина волны λ – расстояние между двумя ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе. Длина волны равна расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебаний за период:

179

λ= vT = νv .

∙Волна называется плоской, если ее волновые поверхности представляют совокупность параллельных плоскостей, перпендикулярных направлению распространения волны. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х, имеет вид

ξ( x,t ) = A cos(ωt − kx + ϕ ),

∙ Дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее распространение волн в однородной изотропной среде, называется

волновым уравнением:

Волновое уравнение для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет вид

∙Волны, разность фаз которых остается постоянной во времени, называются когерентными. Когерентными могут быть лишь волны одинаковой частоты.

∙Интерференция волн – явление наложения двух или нескольких когерентных волн, в результате которого в разных точках пространства наблюдается устойчивое усиление или ослабление результирующей волны в зависимости от соотношения между фазами этих волн.

Выражение

= ±mλ

определяет условие интерференционного максимума: максимум амплитуды колебаний получается в точках пространства, для которых разность хода волн равна нулю или целому числу длин волн. Целое число m называется порядком интерференционного максимума.

Условие интерференционного минимума

= ±( 2m + 1 ) λ , 2

то есть минимум амплитуды колебаний получается в точках пространства, для которых разность хода волн равна нечетному числу длин полуволн. Число m в данном случае называется порядком интерференционного минимума.

∙Волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами, называются стоячими. Уравнение стоячей волны имеет вид