8751

η = 1/ 2 , т.е. полная мощность источника в этом случае в два раза больше

полезной.

Таким образом видим, что максимальная мощность источника достигается, когда полезная мощность равна нулю, а максимальная полезная мощность достигается при КПД, равном 1/2 и мощности источника равной половине максимальной.

§ 14. Правила Кирхгофа

Каким образом получить уравнения связи между отдельными характеристиками в сложных (разветвленных) цепях, состоящих из нескольких источников и потребителей электроэнергии? Эту задачу можно решить для любой цепи постоянного тока при помощи правил Кирхгофа. Определим некоторые термины.

Узел – точка, к которой присоединено больше двух проводов. Ветвь – участок цепи, на котором нет узлов. Контур – замкнутая часть цепи.

1-й закон Кирхгофа:

Сумма токов входящих равна сумме токов выходящих для каждого узла.

∑ Iвход = ∑ Iвых .

Это можно сформулировать иначе:

Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле равна нулю ( ∑(±Ii ) = 0 ),

причем токи, входящие в узел берутся со знаком минус, а выходящие из него – со знаком плюс.

Сформулированный закон является прямым следствием закона сохранения электрического заряда. Он формулирует условия, необходимые для того, чтобы заряд не накапливался в узле.

2-й закон Кирхгофа справедлив и для любого контура разветвленной цепи.

Сумма (алгебраическая) ЭДС равна алгебраической сумме падений

напряжения на всех элементах данного контура

∑(±εi ) = ∑(±I j Rj ) ,

где ток, текущий по сопротивлению.

Правило знаков подразумевает, что выбирается (произвольно) направление обхода контура.

·ЭДС > 0, если при обходе контура ЭДС проходится от «–» к «+» (движение в направлении действия сторонней силы; в противоположном случае ЭДС берется со знаком минус.

·Аналогично знак падения напряжения выбирается «+», если ток в элементе контура совпадает с направлением обхода контура и минус в противном

121

случае .

Рекомендации по практическому применению. Перед применением правил Кирхгофа необходимо расставить токи на схеме цепи. Для этого в каждой ветви необходимо указать направление тока стрелкой и ввести его буквенное обозначение. При этом стрелку можно ставить в произвольном направлении, поскольку в сложной цепи направление токов может меняться в зависимости от параметров цепи и угадать истинное направление бывает невозможно. Если ток течет в направлении, противоположном стрелке, то в результате решения уравнений Кирхгофа соответствующий ток будет иметь отрицательное значение.

Если цепь имеет N узлов, первое правило Кирхгофа необходимо записать для N-1 узла. Последнее уравнение будет являться следствием уже известных. Остальные независимые уравнения могут быть получены с использованием второго закона Кирхгофа. При этом каждый новый контур, для которого применяется этот закон, должен содержать хотя бы одну новую ветвь, не входящую в другие контуры.

Если придерживаться этих рекомендаций, то число полученных независимых уравнений будет равно числу ветвей цепи (или числу токов). Для определения неизвестных токов по заданным характеристикам элементов цепи необходимо решить линейную алгебраическую систему уравнений. Число уравнений равно числу неизвестных и равно числу ветвей. Решение этой задачи не представляет принципиальных трудностей (например, можно решать уравнения методом Крамера). Таким образом, законы Кирхгофа позволяют рассчитать произвольную разветвленную цепь.

Пример расчета разветвленной схемы , изображенной на рисунке. Предположим заданы значения ЭДС источников и сопротивления всех элементов. Необходимо определить токи во всех ветвях.

I 2

ε 2 , r2

А Б

I

R

1.Расставляем стрелки направлений токов в каждой ветви (направления произвольные) и вводим буквенные обозначения токов. Это сделано на рисунке.

2.Схема содержит два узла. Для узла «А» применяем первое правило Кирхгофа: I − I1 − I 2 = 0 . Если применить это правило для узла «Б»,

122

то получим то же самое соотношение, умноженное на минус 1. Поэтому недостающие два соотношения для определения трех неизвестных токов можно получить, пользуясь вторым правилом – для контуров.

3.Выберем замкнутый контур А-ε1 -Б – R – А и направление его обхода по часовой стрелке (выбирается произвольно). Применим для него второе правило Кирхгофа: ε1 = I1r1 + IR . ЭДС имеет знак + поскольку, при движении внутри источника, проходится от отрицательной к положительной клемме. Вторым возьмем контур А- R – Б - ε 2 - А и обойдем его против часовой стрелки. Второе правило Кирхгофа в этом случае приводит к соотношению: − ε 2 = −IR − I 2 r2 .

4.Решаем полученные уравнения относительно неизвестных токов и в результате получим ответ для любых значений элементов цепи:

Видим, что токи, текущие через источники могут менять направление (знак) в зависимости от параметров цепи. Поэтому угадать как нужно ставить стрелки до решения задачи не возможно.

Из первой формулы можно сделать вывод, что батарею из двух параллельно присоединенных источников тока можно заменить одним источником со следующими параметрами:

же ток, равный I при прежнем сопротивлении нагрузки R.

Краткие выводы

·Электрический ток – это упорядоченное движение электрически заряженных частиц. Количественными характеристиками тока являются

сила тока

I = dq dt

и плотность тока

j = dI . dS

Ток, сила и направление которого не изменяются с течением времени, называется постоянным.

·Для возникновения и поддержания электрического тока необходимо: а) наличие свободных электрических зарядов; б) наличие электрического

123

поля; в) присутствие в цепи устройств (источников тока), способных поддерживать разность потенциалов за счет работы сторонних сил.

∙ЭДС – физическая скалярная величина, определяемая работой сторонних сил при перемещении единичного положительного заряда:

ε= Аст .

q0

∙Напряжение на участке цепи – физическая скалярная величина, определяемая работой суммарного поля кулоновских и сторонних сил при перемещении единичного положительного заряда на данном участке:

U12 = ε12 + (ϕ1 − ϕ 2 ).

Напряжение на концах участка цепи равно разности потенциалов, если участок не содержит источника тока (ε 12 = 0 ), т.е. является однородным.

∙Электрическое сопротивление линейных металлических проводников зависит от материала, длины и площади поперечного сечения:

R = ρ l . S

С увеличением температуры сопротивление таких проводников увеличивается:

ρ = ρ 0 (1 + αt ),R = R0 (1 + αt ).

∙Проводники в электрической цепи могут соединяться последовательно и параллельно:

Закон Ома в дифференциальной форме связывает плотность тока в любой точке проводника с напряженностью электрического поля в той же точке: j = γE .

124

∙Участок цепи, содержащий источник тока, называется неоднородным.

Закон Ома для неоднородного участка цепи (закон Ома в интегральной форме)

I = ε12 + (ϕ1 − ϕ 2 ) .

R

В зависимости от конфигурации участка цепи или режима из этого закона получаем:

∙Количество теплоты, которое выделяется в проводнике при протекании электрического тока, определяется законом Джоуля-Ленца:

Q = I 2 Rt.

Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме связывает удельную тепловую мощность тока с напряженностью электрического тока:

ω= γE 2 .

∙Мощность электрического тока – физическая величина, определяемой работой, совершенной током за единицу времени:

P = dA = UI = U 2 = I 2 R. dt R

∙Одним из методов расчета разветвленных электрических цепей является расчет с использованием правил Кирхгофа.

Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма сил токов в узле

электрической цепи равна нулю, т.е.

n

∑ I к = 0.

к=1

Второе правило Кирхгофа: в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС источников равна алгебраической сумме падений напряжений на отдельных участка этого контура, т.е.

Вопросы для самоконтроля и повторения

125

1.Что понимают под электрическим током? Каковы условия возникновения

иподдержания электрического тока проводимости?

2.Что называют силой тока, плотностью тока? Каковы их единицы?

3.Какова физическая природа электрического сопротивления проводника? От чего зависит сопротивление металлического проводника?

4.Какова связь между сопротивлением и проводимостью, удельным сопротивлением и удельной проводимостью? Каковы их единицы?

5.Какой участок электрической цепи называют однородным, неоднородным? Выведите закон Ома в дифференциальной форме.

6.Какова физическая сущность ЭДС источника тока, разности потенциалов, напряжения?

7.Как определяется эквивалентное сопротивление проводников при их последовательном и параллельном соединении?

8.Сформулируйте закон Ома в интегральной форме. Какие частные законы можно из него получить?

9.Что называют мощностью электрического тока? Сформулируйте закон Джоуля-Ленца.

10.Выведите закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме. Что называют удельной тепловой мощностью тока?

11.Сформулируйте правила Кирхгофа и запишите их математические выражения.

12.Изложите сущность метода расчета разветвленной электрической цепи с использованием правил Кирхгофа.

Примеры решения задач

Задача 1. Определить ток короткого замыкания источника ЭДС, если при

Используя данные для нормальных режимов цепи, получим систему уравнений

Ответ: I кз = 1,2 А.

Задача 2. В схеме на рис. 2.12 перед замыканием ключа К конденсатор емкостью С не был заряжен. Ключ замыкают на некоторое время, в течение которого конденсатор зарядился до напряжения U. Какое количество теплоты выделится к этому моменту времени на резисторе сопротивлением R? ЭДС источника ε , его внутреннее сопротивление r.

Дано: C ,U , R,ε , r.

Найти: QR .

Решение

По закону сохранения энергии

W = Qr + QR + CU 2 ,

2

где W = εIt = εq − энергия источника тока.

Задача 3. При заданных параметрах цепи, схема которой изображена на рис. 2.13, определить токи во всех ветвях. Внутренними сопротивлениями источников пренебречь.

128

Для проверки расчета составим баланс мощностей в схеме: алгебраическая сумма мощностей источников тока равна сумме мощностей, рассеиваемых в ветвях, т.е.

Для данной задачи левая часть баланса:

4

∑ ε к I к = ε 1 I 1 + ε 2 I 2 − ε 3 I 3 − ε 4 I 4 = 21,15 Вт;

к=1

правая часть баланса:

6

∑ I к2 Rк = I 12 R1 + I 22 R2 + I 32 R3 + I 42 R4 + I 52 R5 + I 62 R6 = 21,152 Вт.

к=1

Баланс мощностей в цепи выполняется, следовательно, расчет токов в ветвях выполнен верно.

Ответ: I 1 = 1,619 A, I 2 = 0,86 A, I 3 = 0,822 A, I 4 = 0,038 A, I 5 = 0,758 A,

I6 = 0,796 A .

Глава 3. Магнитное поле постоянного тока

Постоянные магниты были известны еще в древности, поскольку проявления их можно наблюдать в природе. Позже, в 1820г. Эрстедом была обнаружена связь магнитных явлений с электрическими. Он обнаружил, что прямолинейный ток взаимодействует с магнитной стрелкой, причем последняя устанавливается перпендикулярно направлению тока.

§ 15. Действие магнитного поля на ток. Индукция магнитного поля

Взаимодействие постоянного магнита и тока на расстояние можно объяснить наличием вокруг постоянного магнита особой формой материи - магнитного поля. Французский физик А. Ампер провел систематические исследования силы взаимодействия между полем постоянного магнита и проводником с током. Результатом этих исследований является закон, позволяющий вычислить силу магнитного воздействия на проводник с током в зависимости от характеристики магнитного поля – индукции магнитного поля.

Основные положения удобно формулировать для проводника бесконечно малой (практически достаточно малой) длины. Назовем элементом тока вектор, модуль которого равен произведению длины малого проводника на

силу тока в нем, а направление совпадает с направлением тока ( I × l ).

Измеряя силу, действующую на элемент тока, помещенный в данную точку магнитного поля (силу Ампера FА ) можно придти к следующим выводам:

сила пропорциональна модулю элемента тока FА ~I×l;

129

направление силы перпендикулярно элементу тока FА ^( I × l );

величина силы зависит от направления элемента тока; при некоторой ориентации элемента тока сила в данной точке пространства обращается в ноль, а при повороте элемента тока на угол π / 2 относительно этого направления, сила принимает максимальное значение для данной точки пространства FMAX .

Значение FMAX / (I×l) не зависит от величины и направления элемента тока, а является характеристикой магнитного поля в данной точке пространства – индукцией магнитного поля - B :

B = FMAX .

I × l

Таким образом индукцией магнитного поля называется вектор, модуль которого равен максимальной силе, действующей на единичный элемент тока, помещенный в данную точку магнитного поля. За направление вектора магнитной индукции принимается направление вектора элемента тока, при котором сила Ампера обращается в ноль в данной точке пространства. Это направление я совпадает с ориентацией северного полюса магнитной стрелки.

В системе СИ единицей измерения магнитной индукции является тесла (Тл), связанная с другими единицами соотношением 1 Тл=1 Н/( А м). То есть один тесла это индукция такого магнитного поля, которое действует на проводник с током 1 ампер с максимальной силой 1 Н на каждый метр длины проводника.

Суммируя отмеченные свойства силы и определение магнитной индукции, можно записать закон Ампера, определяющий величину и направление силы, действующей на элемент тока, помещенный в магнитное моле:

FA = [Il × B ] ,

где квадратные скобки подразумевают векторное произведение. Предлагаем убедиться, что приведенная формула правильно описывает все перечисленные свойства силы Ампера.

Пользуясь известным выражением для модуля векторного произведения, получим из закона Ампера формулу для вычисления величины магнитной силы:

FA = I × l × B × sinα , где a ¾ угол между элементом тока и вектором B .

Направление силы Ампера можно определить либо из векторного произведения, либо известного со школы правила левой руки: «если расположить левую руку так, чтобы четыре пальца были направлены в направлении тока в проводнике, а вектор магнитной индукции – в ладонь, то отставленный большой палец покажет направление силы».

§ 16. Принцип суперпозиции для магнитного поля