8751
.pdf
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
аν 2 |
|
|
-νb) /(νR) = 280K . |
|
Тб |
|
р + |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
= |
V |
|
(V |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Совпадение Та и Тб в данном случае объясняется малой величиной давления, при котором реальный газ ведет себя как идеальный.
Задача 2
Найти эффективный диаметр d молекулы кислорода, считая известными для кислорода критические значения Tк и pк.
Дано: |
|
Решение: |
|
|
|
|
|||
О2 |
|
Постоянная b, |
входящая в уравнение Ван-Дер- |
||||||
d=? |
|
Ваальса, |
|
равна |
учетверенному объему Na |
||||
|
|
молекул (одного моля газа). |
|||||||
Это означает: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
d |
3 |
|
2πd 3 |
||
|
b = 4 × N a × |
|
π |
|
|
= N a |
|
. |
|
|
3 |
|
3 |
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
С другой стороны, согласно формуле (3.9) b= RTk . Приравнивая правые
8 pk
части этих двух соотношений и учитывая, что R/Na=k, получим:
= 2,9 ×10−10 м3 .
Задача 3
Давление водяного пара, насыщающего пространство при t=50˚C равно p=12302Па. Определить массу воды, содержащуюся в 1м3 воздуха.
Дано: |
|
Решение: |
||
Н2О Т=323К |
|
При таких температурах пар можно описывать |
||
|
|
уравнением Клайперона-Менделеева (см. стр. |
||
р=12302Па |
|
59), поэтому: |
||
V=1м3 |
|
pV=mRT/µ и m= µpV/(RT)/ |
||
|
|
Поскольку µ=1,8·10-2кг/моль, получим: |
||
m=? |
|
|||
|
1,8 ×10−2 ×1,2302 ×104 |
|||
m = |
|
|
= 0,083кг . |
|
8,3 ×323 |
||||
|
|
Задача 4
Какая масса m водяного пара содержится в объеме V=1м3 воздуха в летний день при температуре t=30˚C и относительной влажности w=75%?
Дано: |
Решение: |
Н2О Е=303К |
Поскольку w=р/рн, то р=рн·w, ф давление |
w=0,75, V=1м3 |
насыщающего пара при данной температуре |
m=? |
рн=4,23·103Па. |
|
Эту же величину можно выразить из уравнения |
|
состояния: |
101
р = mRT .
μV
Из этих соотношений найдем:
m =
μpнωV = 0,0225кг .
RT
Задача 5
Какая часть удельной теплоты парообразования воды r=2,29МДж/кг при температуре t=100˚C идет на увеличение внутренней энергии системы?
Дано: |
Решение: |
Н2О Т=373К |
В процессе испарения теплота тратится на |
R=2,29·106 Дж/кг |
преодоление сил взаимодействия молекул и на |
работу расширения против сил внешнего |
|
U/r=? |
давления. |
Согласно первому началу термодинамики (поскольку Q=r) имеем:
r= U+A,
где A - работа, совершаемая единицей массы m1=1кг газа против внешнего давления. Эта работа равна A=p(Vпара-Vж). А, поскольку температура далека от критической, плотность пара рпара=m1/Vпара значительно меньше плотности жидкости рж=m1/Vж, из которой он образован:
рпара<<pж, или Vж<<Vпара.
Поэтому в выражении для работы можно пренебречь величиной Vж по сравнению с Vпара и получить: A≈pVпара. Далее, воспользовавшись уравнением Клайперона - Менделеева для пара:
m pVпара = μ1 RT ,
замечаем, что A≈m1RT/µ. А, поскольку из выражения для первого начала термодинамики можно получить (вычитая A и поделив обе части равенства на
r):
U = 1 − A ,
rr
кокончательному результату можно прийти, заменяя работу ее приближенным
выражением:
U |
= 1 |
− |
m1 RT |
= 0,924 |
|
r |
rμ |
||||
|
|
|
Таким образом, при испарении воды преобладают затраты энергии на увеличение внутренней энергии, а доля работы против сил внешнего давления мала.
Часть 3. Электричество и магнетизм
Введение Существует две формы существования материи – вещество и поле.
Вещество – это такая форма, когда материя локализована и можно выделить определенный материальный вещественный объект.
102
Известно, что все материальные объекты взаимодействуют друг с другом. Векторной характеристикой воздействия материальных тел, как мы знаем из механики, является сила.
Физическое поле – форма материи, обеспечивающая передачу
воздействия (силового) от одного объекта к другому. В классической модели
«физического поля» предполагается, что оно не имеет границ и непрерывно
заполняет все пространство.
Известны 4 фундаментальных физических взаимодействия и соответствующие им поля:
∙гравитационное,
∙электромагнитное,
∙сильное,
∙слабое.
Электромагнитным называется поле |
существующее вокруг |
“ заряженных” (т.е. имеющих электрический |
заряд объектов). К |
электромагнитному взаимодействию относятся, в частности, силы упругости и трения, с которыми наиболее часто приходится иметь дело в обыденной практике.
Изложению законов электромагнитного взаимодействия посвящено данное учебное пособие.
Глава 1. Электростатика
§ 1. Электрический заряд
Притяжение или отталкивание наэлектризованных тел объясняется существованием электрических зарядов. Электрическим зарядом называется
характеристика материального объекта, определяющая его способность
создавать электромагнитное поле и взаимодействовать с электромагнитным полем.. Заряженные объекты часто коротко называют просто «зарядами».
Основные свойства электрического заряда:
N
1.Заряд аддитивен, т.е. суммируется Qсум = ∑qi
i=1
2.Заряд сохраняется: Qсум = const , если через границы нет потоков зарядов (электрического тока).
103
Это свойство является фундаментальным физическим законом сохранения электрического заряда. Согласно этому закону любые природные процессы не изменяют алгебраическую сумму зарядов, участвующих в них.
3.Заряд инвариантен Q = Inv : Результат измерения заряда одинаков в любой инерциальной системе отсчета, включая и движущуюся.
4.Заряд дискретен, т.е. :
1) Имеется минимальный заряд qmin электрон) e = 1,6×10-19 Кл.
Есть определенные теоретические предположения, что существуют частицы, обладающие еще меньшим зарядом и называемые кварками. У
них qmin = 1 e . 3
2) Любой заряд кратен элементарному
Q = N×e , где N = ±1, ±2, ±3, …
5.Наличие зарядов двух “ сортов” ( положительного и отрицательного).
2. Закон Кулона
Простейшей и наиболее широко применяемой моделью является точечный
заряд. Точечный заряд – есть материальная точка, имеющая электрический заряд. Эта модель применяется для описания реальных заряженных объектов, размерами которых можно пренебречь в условиях данной задачи.
Сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов Q1 и Q2
называется силой Кулона, а формула для этой силы – законом Кулона (он был получен экспериментально и в классической физике рассматривается как
|
|
R |
| Q1 |
| ×| Q2 |
| |
|
|
|||
|
|
| F |= |
|
|
||||||
постулат): |
|
|
|
|
, где |
|
|
|||
4πεε |
0 |
r 2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε 0 |
– диэлектрическая (электрическая) постоянная, равная 8.85×10-12 Ф/м, r – |
|||||||||
расстояние |
между |
зарядами, |
ε |
– относительная диэлектрическая |
проницаемость среды, показывающая во сколько раз сила взаимодействия зарядов в среде меньше, чем в вакууме.
Сила направлена по прямой, соединяющей заряды и для одноименных зарядов является силой отталкивания.
|
|
F 'КУЛ |
Y |
r |
Q ' |
|
er |
|
|
Q |
X |
104
|
Z |
|
|
F'КУЛ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Удобно |
использовать |
er единичный |
вектор, |
направленный |
по |
радиус- |
|||||||||||
вектору. Вспомним, что |
единичный |
вектор |
имеет |
единичный |
модуль: |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
= |
|
r |
= 1 |
|
R R |
= |
Q1 ×Q2 |
R |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
. Тогда |
F (r ) |
e |
- формула силы Кулона взаимодействия |
|||||||||||
|
r |
|
|
|
|
4πε0 r 2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
r |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −F ′ - см. |
||||||
между точечными зарядами (закон Кулона в векторном виде). F |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кул |
|
кул |
рисунок. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
§ 3. Электростатическое поле |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Электростатическое взаимодействие передается на расстояние. Это |
||||||||||||||||
объясняется наличием электростатического поля (ЭСП). |
Источниками ЭСП |
|||||||||||||||||||
являются |
|
заряды ( заряженные частицы). Обозначим QИСТ – точечный заряд – |
источник поля. Электростатическое поле воздействует на другие (пробные) заряды. Обозначим соответствующий точечный заряд, как QПР . Между ними действует электростатическая сил.
Электростатическим называется поле, создаваемое неподвижными зарядами и действующее на неподвижные заряды.
|
R |
|
QИСТ |
R |
|
|
|
= EИСТ × QПР ; ЕИСТ |
= ( |
)QПР |
|||
FЭЛ |
|
|
er |
|||
4πεε |
r 2 |
|||||
|
|
0 |
|
|
|
EИСТ - характеристика ЭСП, создаваемого источником
Электрическая сила – это сила, с которой электростатическое поле действует на помещенный в него заряд-приемник. Она пропорциональна величине этого заряда QПР . Коэффициент пропорциональности есть
характеристика поля, называемая напряженностью электрического поля и равная отношению силы, действующей на заряд, к величине
|
R |
FЭЛ |
|
|
(алгебраической) этого заряда: |
EИСТ = |
|
. |
|
QПР |
|
|||
|
|
|
|
Напряженность характеризует интенсивность поля, то есть величину силы, с которой поле будет действовать на помещенный в него заряд.
Для получения характеристики Е , поля точечного заряда, возьмем закон
Кулона, как это сделано на рисунке и получим |
Е = |
Qист |
|
er |
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
4πεε |
0 |
r 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Электростатическое поле удовлетворяет принципу суперпозиции:
напряженность суммарного поля, создаваемого в данной точке А системой точечных зарядов, равна сумме векторов напряженности полей, созданных каждым точечным зарядом системы.
105
q1 |
|
q2 |
А Е1 |
Е2 |
Е12 |
Математическая запись принципа суперпозиции для электростатического
поля: |
|
. |
N |
Есум |
= ∑ Еi |
|
i =1 |
Удобным графическим изображением поля являются линии поля или силовые линии.
Линия поля – есть геометрическое место точек, в каждой из которых
вектор напряженности направлен по касательной к линии поля.
Линии электростатического поля начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных (или уходят в бесконечность). Расстояние между соседними силовыми линиями или их «густота» расположения в пространстве показывает величину напряженности поля в данной окрестности. Обычно уславливаются проводить силовые линии с такой густотой, чтобы число их, пересекающих площадку площадью 1 м2 , расположенную перпендикулярно линиям поля, равнялось Е.
§ 4. Поток вектора E
Следующая очень важная дополнительная характеристика электрического поля получила название «поток». Сначала рассмотрим «элементарный поток».
Элементарным потоком вектора напряженности электрического поля через элементарную площадку ds называется скалярное произведение
вектора E на вектор нормали и на величину площадки ds.
n
ϕ E
dФЕ = Е × n × ds = E × ds = En ds = E × ds × cosϕ .
Элементарной площадкой называется часть поверхности настолько
малая, что по всей этой площадке можно считать, что E = const (не меняется по величине, не меняется по направлению).
Если проводить силовые линии с определенной ранее густотой, то поток вектора E через площадку будет численно равен числу силовых линий, протыкающих данную площадку. При этом силовые линии, протыкающие
106
площадку в направлении нормали учитываются со знаком плюс, а против нормали – со знаком минус.
E
ds
S
= R
S nS
Поток через любую поверхность можно вычислить суммированием
( ) d E ds .
интегрированием Ф = ∫ Ф = ∫ × R
S
S
§ 5. Теорема Остроградского - Гаусса и ее применение для расчета электростатических полей
Закон Гаусса - один из фундаментальных законов электродинамики является одним из фундаментальных законов электродинамики называемых уравнениями Максвелла.
1
Формула закона: Ф0 Е = εε 0 ∑ qi .
Поток вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность (S0) пропорционален суммарному заряду (∑qi)
находящемуся внутри объема V(S0), ограниченного поверхностью
интегрирования S0.
Запись в расшифрованном виде с использованием локальных характеристик:
R R |
|
1 |
∫ ρq × dV |
|
∫ EdS |
= |
|||
ε 0 |
||||
S0 |
|
V ( S0 ) |
нули говорят о замкнутости поверхности.
Физический смысл: Источником электрического поля являются заряды.
Здесь введено обозначение:
ρq |
= |
dQ |
|
- объемная плотность заряда, dV – элементарный объем, dQ – |
|
dV |
|||||
|
|
|
|
элементарный заряд.
Нетрудно доказать теорему Гаусса для точечного заряда. При этом замкнутую поверхность для простоты расчетов можно взять в виде сферы радиуса r, концентрической с зарядом. Это удобно потому, что во всех точках
Е направлен по нормали к поверхности и имеет одно и тоже значение:
E = |
Q |
|
|
. |
4πεε |
0 |
r 2 |
||
|
|
|
|
107
Q,S
В этом случае, при вычислении потока, постоянное поле можно вынести за знак интеграла и остается интеграл от элементов поверхности, равный площади выбранной сферической поверхности:
ФЕ = ∫ E × d s = ∫ E × ds = E × ∫ ds = E × S = |
Q |
|
× 4πr 2 = |
Q |
||
4πεε 0 r |
2 |
εε0 |
||||
S |
S |
S |
|
|
Таким образом справедливость теоремы Гаусса для точечного заряда и сферической поверхности нами доказана. Это доказательство можно обобщить и для любой системы зарядов и любой замкнутой поверхности.
Теорема Остроградского – Гаусса позволяет определить напряженность электростатического поля любого пространственно – распределенного заряда.
В общем случае для этого потребуется использование специальных математических методов решения. Однако для симметричных распределений зарядов удается определить напряженность поля элементарными методами.
В качестве примера определим напряженность поля бесконечной, равномерно заряженной плоскости. Плоскость характеризуется поверхностной плотностью заряда s (заряд, приходящийся на единицу поверхности).
S |
1 |
S
S
2 |
E1+2 |
Схема применения закона Гаусса для вычисления напряженности поля:
∙В случае бесконечной плоскости нетрудно догадаться, что вектор E должен
быть перпендикулярным плоскости. Действительно, на рисунке справа изображено суммарное поле двух точечных зарядов плоскости, расположенных симметрично относительно точки наблюдения. Как видим
вектор E1+2 перпендикулярен плоскости. В случае бесконечной плоскости
для каждого точечного заряда найдется симметричный. Поэтому, суммируя поля точечных зарядов плоскости симметричными парами, в результате также получим поле, перпендикулярное плоскости.
∙ Выбираем замкнутую поверхность S0 в виде прямого цилиндра пересекающего нашу плоскость в направлении нормали. Такая поверхность
108
удобна для вычисления потока, поскольку через боковую поверхность поток вектора напряженности равен нулю и отличен от нуля лишь через два основания, площадью S, каждое. Вычисляем (исходя из определения потока) Ф0Е= 2 × E × S .
·Вычисляем суммарный заряд ∑qi в объеме, ограниченном поверхностью. На рисунке это заряд заштрихованной части плоскости, площадью S . Поэтому
Q = σ × S
·Подставляем поток и заряд в закон Остроградского-Гаусса : 2 × E × S = σ × S .
εε0
Из полученного соотношения находим напряженность поля:
E = σ .
2εε0
Видим, что поле не зависит от расстояния до плоскости, т.е. является однородным.
§ 6. Потенциал
Напряженность – векторная характеристика электрического поля. Потенциал
– дополнительная скалярная характеристика поля. Такую характеристику можно вводить только для потенциальных полей (полей, у которых работа сил поля по перемещению объекта по замкнутой траектории равна нулю, а работа по перемещению не зависит от формы пути, по которому произошло перемещение, а зависит только от координат начальной точки 1 и конечной точки 2).
Потенциалом называется скалярная характеристика поля, численно равная работе сил поля по перемещению “ пробного” ( единичного и
положительного) заряда из данной точки, имеющей радиус-вектор r в
R
другую заранее выбранную точку, имеющую радиус-вектор r0 , в которой
потенциал принимается за ноль ( j(r0 )= 0 ). В некоторых случаях r0 ® ¥ .
Элементарная работа сил поля имеет вид (используем сведения, полученные в механике) dA = F × dr = F×dr×cosj.
F
ϕ
dr
Сила в электрическом поле F эл = E × Q прие , следовательно dA = E × Q'×d r . И для элементарного приращения потенциала получим:
dϕ = dA = E × d r . Q'
Суммируя (интегрируя), получим значение потенциала в точке с координатой
109
r , если за начало отсчета принять потенциал точки r0 :
r0
ϕ(r) = ∫ Edr r .
r
Мы получили уравнение связи дополнительной характеристики – потенциала с основной характеристикой – напряженностью.
Задача: получить уравнение обратной связи, т.е. Е через j. Используем выражение для dj dj = E × dr и получим
E = dϕ ®Производная по координатам (быстрота изменения в пространстве). dr
Но остается вопрос о направлении поля в пространстве.
Для более точной записи связи потенциала и напряженности используем
векторный |
оператор Ñ– оператор набла, у которого три |
компонента – |
|||||||
R |
d |
|
d |
|
d |
|
|
||
Ñ = |
|
; |
|
; |
|
– |
частные производные по координатам. j – |
функция трех |
|
|
|
|
|||||||
|
dx |
|
dy |
|
dz |
|
|
переменных j(x,y,z).
Производные от функции нескольких переменных называются частными производными. Для потенциала:
dj dj |
|
dj |
|
||||
Ñj = |
|
; |
|
; |
|
|
и каждая компонента представляет собой составляющие |
|
|
|
|||||
dx |
|
dy |
|
dz |
|
напряженности по трем осям координат{Ex , Ey , Ez }. В векторном виде это
запишется в виде E = -Ñ`j gradj уравнение связи E и j (grad читается как «градиент»).
По определению потенциал связан с работой по перемещению единичного заряда, следовательно, умножив потенциал на величину пробного заряда, мы получим работу по перемещению этого заряда, т.е. получим потенциальную
энергию данного заряда в данной точке электрического поля:
ЕПОТ = j×QПР.
Разность потенциалов.
Как использовать потенциал при решении задач?
Удобнее использовать не сам потенциал, а его приращение или изменение, а также «разность потенциалов».
Используя определение приращения любой характеристики и обозначение ϕ
– приращение потенциалов, получим ϕ = ϕкон − ϕнач .