8751

160

Рис.5.

Осциллограммы затухающих колебаний. Коэффициенты затухания для этих кривых связаны соотношением β1 < β 2 < β 3 . Кривая 3 соответствует границе апериодического режима.

Частота затухающих колебаний несколько меньше частоты

две характеристики безразмерны; слабое затухание соответствует малому значению декремента, или большой ( Q>>1 ) добротности.

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР; СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ.

Рассмотрим теперь электромагнитные колебания. Заметим предварительно, что электромагнитные колебания, распространяющиеся в пространстве - электромагнитные волны - это неотъемлемая составляющая современной цивилизации: радио, телевидение, средства связи, радиолокация, интернет - вот основные формы их применения.

161

Рис. 6. Колебательный контур.

Колебательный контур состоит из катушки индуктивности L , конденсатора C и сопротивления R (см. рис. 6 ). Оно, как правило, не ставится специально, а представляет собой сопротивление катушки и проводов.

Рассмотрим сначала собственные колебания, полагая, что клеммы для подключения входного сигнала замкнуты, а конденсатор заряжен в момент времени t = 0 включён в контур. Он разряжается через катушку, но возникающая в ней при прохождении тока ЭДС самоиндукции замедляет этот процесс. Спустя некоторый (в действительности, очень малый) промежуток времени конденсатор перезарядится (полярность пластин поменяется), и ток пойдет в обратном направлении. Так возникает колебательный режим. Из-за потерь энергии на сопротивлении колебания будут затухать. Заметим, что здесь происходят колебания заряда конденсатора Q(t), напряжения на конденсаторе U(t), силы тока I(t).

Запишем закон Кирхгофа (сумма падений напряжений на всех элементах контура равна сумме ЭДС), учтя, что мы имеем ЭДС самоиндукции, определяемую формулой

Учтём также, что напряжение на конденсаторе связано с его зарядом формулой U = Q / C . Следовательно,

Поэтому продифференцировав уравнение (21), и используя (22), получим уравнение затухающих колебаний для напряжения

162

совпадающее по форме с уравнением для механических колебаний (17). Частота собственных колебаний и коэффициент затухания здесь определяются формулами

а частота затухающих колебаний связана с ω 0 формулой (19). Отметим, что затухание электрических колебаний обусловлено сопротивлением контура.

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ, РЕЗОНАНСНАЯ КРИВАЯ.

Напомним, что вынужденные колебания возникают под действием периодической внешней силы. Роль такой «силы» для электромагнитных колебаний в контуре на рис.6 играет гармоническое напряжение v(t), приложенное к клеммам (синусоидальный сигнал, подаваемый с генератора). Положим, что

и запишем закон Кирхгофа, как делали выше. Только теперь ЭДС будет складываться из ЭДС самоиндукции (20) и внешнего сигнала (25). Используя, как и ранее, (21), (22), получим уравнение вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе

U ¢¢+ 2βU ¢ +ω0 2U =ω02 a ×sin(ωt) , (26)

которое отличается от (23) только правой частью. Если входное напряжение действует в течении времени большем времени затухания собственных

и (продифференцировав нужное количество раз) подставим в (26). Косинус суммы, входящий в (27) разложим по формуле

Собрав коэффициенты при cos(ωt) и sin(ω t) в левой части полученного из (26) уравнения, приравниваем их к соответствующим коэффициентам в его

163

правой части. Чтобы иметь тождество, коэффициент при косинусе должен равняться нулю, а при синусе - ω 20 a . Таким образом находим амплитуду

Отсюда следует, что амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде входного сигнала (это вполне естественно), но и

существенным образом зависит от его частоты. Эта зависимость не монотонна и имеет максимум на частоте

которую называют резонансной частотой (при малом затухании она близка к частоте собственных колебаний) Зависимость амплитуды от частоты (корень квадратный из выражения (29) ) называют резонансной кривой. При этом максимальная (или резонансная) амплитуда определяется выражением

(напомним, что Q = ω 0 / 2β - добротность колебательной системы). Отсюда ясно, что добротность показывает во сколько раз резонансная амплитуда превосходит амплитуду внешней «силы». Чем меньше затухание β , или больше добротность, тем сильнее выражен максимуму на резонансной кривой и тем она острее (см. рис.7).

Рис.7.

Резонансные кривые. Для приведенных графиков β 1 < β 2 < β 3 .

164

Резонанс, как свойство системы достаточно сильно “ откликаться” на внешнее воздействие определенной частоты, имеет место для любых колебательных систем. Для механических колебаний это явление, как правило, нежелательное. Например, толчки, вызванные неровностями дороги, действуя на пружинную подвеску транспортного средства с частотой, близкой к резонансной, могут привести к сильной тряске и другим неприятностям.

С другой стороны, любые радиоприёмные устройства используют это свойство для выделения нужных сигналов из всех других (например, перестраивая радиоприемник или телевизионные каналы вы меняете резонансные частоты определенных колебательных контуров, настраивая их на частоту нужной программы).

9. СЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ОДИНАКОВОЙ ЧАСТОТЫ, БИЕНИЯ.

Возможны ситуации, когда в системе присутствуют одновременно два или несколько колебаний. Например, в антенне радиоприёмного устройства присутствует огромное число различных сигналов. Они могут иметь различные частоты и амплитуды, причем реальные сигналы, несущие информацию, в действительности не являются гармоническими, а имеют сложный спектральный состав (т.е. сами состоят из много гармоник). Задача сложения таких колебаний состоящая в том, чтобы найти результирующий сигнал, или, для механических систем, их результирующее движение весьма сложна.

Рассмотрим сначала сложение колебаний одинаковой частоты, имеющих одинаковое направление в пространстве. Пусть имеет два колебания

x1 (t ) = A1 sin(ωt + φ 1 ) , x2 (t ) = A2 sin(ωt + φ 2 ) ,

частоты которых совпадают, а амплитуды и фазы могут быть любыми. Можно показать, что их сумма x = x1 + x2 будет гармоническим колебанием той же частоты, амплитуда и фаза которого зависят от амплитуд и фаз слагаемых.

Дело в том, что колебания одинаковых частот складываются по закону

сложения векторных величин. Представим себе вектор A , который вращается вокруг начала координат с угловой скоростью ω . При этом, если текущее значение его угла относительно горизонтальной оси x равно

Φ(t ) =ωt +φ ,

где φ - начальное значение, то проекция его на ось x равна

Ax = x (t ) = A cosΦ (t ) = A cos(ωt + φ ) ,

165

т.е. изменяется по закону гармонических колебаний. (Проекция на ось y - y(t)

пропорциональна синусу того же аргумента). Если имеется два таких вектора, то при сложении, очевидно, их проекции суммируются. Это значит, что нахождение амплитуды результирующего колебания эквивалентно нахождению длины суммарного вектора. (см. рис. 8).

Рис. 8. Сложение векторов A = A1 + A2 , или векторная диаграмма для сложения колебаний.

Она представляет собой диагональ параллелограмма, стороны которого есть складываемые векторы и определяется формулой

амплитуда существенно зависит от разности фаз колебаний: максимальное её значение

166

Рис. 9.

Сложение гармонических колебаний. Кривые 1, 2 - складываемые колебания, 3 - их сумма. Верхняя

картинка для разности фаз φ = π / 2 , средняя - для φ = 0 (синфазные колебания), нижняя - для

φ = π (противофазные колебания).

Сложение колебаний одинаковых частот иллюстрирует рис.9. Заметим, что при равенстве амплитуд противофазные колебания полностью «гасят» друг друга.

Предположим теперь, что частоты складываемых колебаний не равны, но их разность достаточно мала, т.е.

Произведение ω t в силу условия (33) можно рассматривать, как разность фаз этих колебаний, которая достаточно медленно растет со временем. Поэтому для амплитуды результирующего колебания можно использовать формулу (32) с заменой

φ 2 − φ 1 = ω t ,

тогда

A2 = 2a2 (1+ cos ( ω t)) = a2 cos2 ( ωt / 2) ,

Таким образом, результирующая амплитуда медленно меняется со временем по закону

Само колебание x(t) уже не будет гармоническим; оно представляет собой произведение этой амплитуды на гармоническую функцию 85 cos (ω t ) . Такие колебания называются биениями (см. рис. 10).

Рис. 10.

Сложение колебаний с близкими частотами. Верхняя картинка - осциллограммы складываемых колебаний, нижняя - их сумма.

Период биений обратно пропорционален разности частот слагаемых

z , поэтому период функции (35) определяется формулой (36).

Метод биений используется для нахождения неизвестной частоты сигнала. На вход осциллографа подаётся сигнал неизвестной частоты и сигнал лабораторного генератора, частоту которого можно изменять. Настраивают генератор так, чтобы увидеть картинку биений и далее плавно подстраивают в сторону увеличения их периода. При Tδ → ∞ ω → 0 , и мы, тем самым, настроим свой генератор на частоту неизвестного сигнала.

СЛОЖЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ.

Рассмотрим теперь сложение перпендикулярных гармонических колебаний. В качестве механической модели можно представить груз,

168

закрепленный на двух расположенных перпендикулярно пружинах. Электрические сигналы, подаваемые на входы x и y осциллографа (при выключенной развертке) дают на экране картинку результирующей траектории такого движения. Эта траектория в общем случае весьма сложна; рассмотрим

сначала сложение колебаний одинаковой частоты.

Предположим, что точка участвует в двух колебательных движениях и запишем её координаты в виде

Для получения траектории движения точки из этих уравнений нужно исключить время (в данном случае ω t ). Запишем

Траектория, описываемая этим уравнением, представляет собой эллипс, повернутый в общем случае на некоторый угол относительно координатных осей.

Рассмотрим характерные частные случаи. Пусть разность фаз колебаний равна π / 2 . Тогда из формулы (40) получаем

Это уравнение эллипса, ориентированного по координатным осям (см. рис. 11,

кривая 1). Положим теперь φ = 0 , или φ = π . При этом из формулы (40) получим уравнение отрезков прямых (кривые 2, 3, соответственно).

Рис. 11.

Траектории движения при сложении перпендикулярных колебаний равных частот. Для кривой 4 разность фаз π / 4 .

Если частоты складываемых колебаний не равны, то в общем случае результирующая траектория незамкнута (точка постепенно «закрашивает»

прямоугольник со сторонами 2Ax , 2Ay ). Если частоты кратные, т.е.

ω y / ω x = m / n ,

где m и n - целые числа, то получаются замкнутые кривые состоящие из пересекающихся петель, называемые фигурами Лиссажу (см. рис.12).

Рис. 12а - отношения частот 1/2 . Рис.12б - отношение частот 3/2 .

Сложение перпендикулярных электрических колебаний, выполняемое с помощью осциллографа, также используется для нахождения неизвестной частоты сигнала. На вход X осциллографа подаётся исследуемый сигнал, а на вход Y - сигнал лабораторного генератора. Настраивают генератор так, чтобы увидеть на экране эллипс; при этом частоты обоих сигналов совпадут, значит искомая частота определена.