8504

-выборка должна быть представительной, т.е. сохранять в себе пропорции генеральной совокупности,

-объём выборки должен быть небольшим, но достаточным для того, чтобы полученные результаты её анализа обладали необходимой степенью надёжности,

-данные в выборке не должны бать «засорены» грубыми измерениями, содержащими нетипично большие ошибки измерений.

Отметим, что в более строгом смысле выборку можно представить

относительной частотой варианты x j .

Упорядоченный по возрастанию значений набор вариант совместно с соответствующими им частотами называется вариационно-ча- стотным рядом выборки:

Вариационно-частотный ряд имеет существенный недостаток, а именно, не наглядность полигона в случае малой повторяемости вариант, например, при наблюдении непрерывного признака его повторяемость в выборке маловероятна. Более общей формой описания элементов выборки является гистограмма выборки.

Для построения гистограммы разобьём интервал значений вы-

71

Совокупность интервалов, наблюдаемой в выборке случайной величины и соответствующих им частот, называется гистограммой выборки. Различаются гистограммы частот, относительных частот и плотности частоты и обозначаются соответственно:

H xn ={hj , n j ; j =1, m}, H x ={hj , j ; j =1, m}, Hxw ={hj , wj ; j =1, m}.

Для частот гистограммы выполнены следующие условия нормировки:

Число интервалов гистограммы m должно быть оптимальным, чтобы, с одной стороны, была достаточной повторяемость интервалов, а с другой стороны не должны сглаживаться особенности выборочной ста-

72

Рис. 1.10. Полигон и гистограмма частот выборки

Расчёт основных выборочных характеристик может быть легко проведен с помощью статистических функций приложения Excel:

Выборочное среднее xB и выборочный стандарт S , характеризующие центр и размах выборочных значений, так же представлены на рис. 1.10.

Напомним, что все числовые характеристики выборки являются случайными величинами, поскольку получены по случайно взятой выборке. На элементах другой выборки наблюдений над той же случайной величиной Х числовые характеристики в общем случае изменят свое значение. Генеральные характеристики, полученные по генеральной выборке, являются величинами постоянными. Сразу встает вопрос о соотношении генеральных и выборочных характеристик для наблюдаемой случайной величины.

Выборочные распределения. Рассмотрим нормальную выборку

XB = Xi , то есть выборку наблюдений за нормальной случайной величиной X = N (m, σ) . Тогда случайная величина среднего выборочного

73

нормальные случайные величины, совпадающие с наблюдаемой величиной. Рассмотрим стандартные нормальные величины ξ = N (0;1) :

0 = X B − m , i = X i − m

/ n

ипостроим из них случайные величины Пирсона 2n и Стьюдента t n :

Отсюда видно, что случайная величина выборочной дисперсии распределена пропорционально «Хи-квадрат» случайной величине с − 1 степенью свободы, а отклонение выборочного среднего от математического ожидания распределено пропорционально -величине Стьюдента с − 1 степенью свободы. При сравнении двух выборок объёмов 1 и 2 часто используется случайная величина Фишера [8] со степенями свободы 1 и

2:

Распределения этих величин, как функций от стандартных нормальных величин, хорошо изучены и построены их функции распределения, обратного распределения и плотности вероятности распределения. Ниже на рис. 1.11-1.13 представлены графики и функции Excel для их вычисления.

Рис. 1.11. Функции распределения величины Пирсона

74

Например, статистическими оценками математического ожидания вели-

ной выборки. Для того, чтобы оценки, получаемые по данным различных

Оценка должна быть несмещенной, т.е. её математическое ожидание должно совпадать с истинным значением параметра для любого объёма n

Оценка должна быть состоятельной, т.е. с ростом объёма выборки оценка должна сходиться по вероятности к истинному значению параметра:

Для состоятельности оценки достаточно выполнения следующего:

D( * ) →0 .

n n→

Построенная оценка для использования на практике должна быть эффективной, т.е. её дисперсия должна быть минимальной среди всех возможных оценок при фиксированном объёме выборки:

асимптотической эффективности оценки. Часто говорят о порядке интенсивности оценки если выполняется для ее дисперсии условие:

Отметим, что на практике не всегда удаётся удовлетворить всем перечисленным требованиям к оценке, но введённые свойства оценок позволяют проранжировать имеющиеся оценки по их качеству.

Как пример рассмотрим оценки математического ожидания M ( X ) = m и дисперсии D( X ) = d наблюдаемой случайной величины Х.

76

и рассмотрим их свойства.

Поскольку можно вычислить, что для оценки m* справедливо:

M (m* ) = m ; D(m* ) (d / n) → 0 при n → ,

то из этого следует несмещённость и состоятельность оценки m*. Рассматривая же оценку d * , можно получить что:

Из чего следует состоятельность, но смещённость оценки d*. Смещёность оценки здесь легко может быть исправлена, если рассмотрим оценку:

среднеквадратическим выборочным отклонением (выборочный стандарт).

Существует ряд методов построения точечных оценок с определенными свойствами. Например:

Метод моментов, приравнивая нужное количество моментов случайной величины к выборочным моментам

можно получить состоятельные, но необязательно несмещенные, оценки всех параметров. Напомним вычисление центральных моментов случайной величины и наблюдаемой выборки

X n i=1 i B

Вметоде максимального правдоподобия максимизирую функциюikk

выражающую вероятность получения наблюдаемой выборки

77

можно получить не только состоятельные, но и эффективные оценки.

Интервальные оценки в отличие от точечных оценок типа * за- n

дают интервал значений, где оцениваемый параметр находится с задан-

вале:

78

Пример. Наблюдается выборка полуденных температур в Мае объё-

вестного математического ожидания m и среднеквадратического отклонения при надёжности = 0,95 .

Исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение

S = 7.89 .

Через обратное распределение Стьюдента находим

гда доверительный интервал для математического ожидания m будет:

14.87+2.894 < m <14.87+2.894 или 11.976< m <17.674.

Для построения доверительного интервала среднеквадратического отклонения через обратное распределение «Хи-квадрат» находим

3.3. Проверка статистических гипотез

Имея дело со случайными величинами, в различных областях человеческой деятельности часто приходится высказывать предположения о виде распределения случайной величины или о значениях её параметров. Эти предположения строятся с целью прогнозирования поведения случайной величины и принятия решений в условиях неопределённости.

Статистической гипотезой называется любое предположение о виде распределения случайной величины ( , ) или/и о значении неизвестных параметров распределения :

H ={X ~ f X (x, ); = 0 } – статистическая гипотеза. Высказанная статистическая гипотеза должна быть проверена по

результатам наблюдений (измерений) случайной величины , в результате чего, гипотеза принимается или отвергается с определённой степенью риска совершить ошибку. Примером статистической гипотезы может быть предположение о том, что наблюдаемая в выборке случайная величина является нормальной с определёнными значениями параметров:

80