6822

51

Заметим, что ‚ , следовательно, U .

Линия действия скорости точки B направлена горизонтально (параллельно плос-

Задача 2.14. Плоскопараллельное движение твердого тела В некоторый момент времени движущийся плоский механизм находится в поло-

жении, показанном на рисунке. Кривошип ОА в данный момент времени имеет угловую скорость € радс . Длины звеньев равны: ОА = АС = СВ = СD = 50 см.

Определить угловую скорость звеньев AB и CD, а также скорости точек A, B, C

и D.

52

D

Рис.2.17

Решение:

1.Механизм состоит из пяти тел: звеньев ОА, AB, CD и ползунов В и D. Пронумеруем их и рассмотрим их движение.

2.Звено 1 (элемент ОА). Движение вращательное.

Центр скоростей находится в неподвижной точке О, то есть P1=0. Угловая скорость задана, то есть € € радс .

Определяем скорость точки А.

Скорость (!L направлена в сторону вращения перпендикулярно отрезку ОА. Ее модуль определяется по формуле Эйлера: L € ∙ |” | ∙ смс .

3. Звено 2 (элемент АB).

Направление скорости точки В определяется направляющими ползуна. Движение ползуна В поступательное. Вектор L(!‚ имеет вертикальное направле-

ние. Восстанавливая перпендикуляры к направлению скоростей вектора L(! и L(!‚, получаем МЦС звена 2 (точку P2). Она совпадает с точкой О. Направление угловой скорости звена 2 определяется вектором скорости L (против часовой стрелки относительно точки О). Следовательно скорость ползуна В направлена вверх.

53

Рис.2.18

Угловая скорость звена 2 определяется с помощью формулы Эйлера: L € ∙ | |. Получаем, что € | L | радс .

Также по формуле Эйлера определяем скорость точки В:

L‚ € ∙ |‚ | € ∙ | ‚| ∙ MNF ∙ ∙ √ смс .

Скорость точки С направлена по перпендикуляру к отрезку СР2 в сторону вращения звена 2 относительно точки Р2 (рис. 2.18). Поскольку треугольник АСО равносторонний, то СР2=ОА=50см.

Тогда LС € ∙ |С | ∙ смс . 4. Звено 3 (элемент ОB).

Направление скорости точки D определяется направляющими ползуна. Движение ползуна D поступательное. Вектор L(!˜ имеет горизонтальное направ-

ление.

Восстанавливая перпендикуляры к направлению скоростей вектора L(!’ и L(!˜, получаем МЦС звена 4 (точку P4). Поскольку треугольник CDP4 равнобедренный, то

CP4 = DP4. Отсюда следует, что скорости точек C и D по модулю равны: L˜ L’ смс .

Направление угловой скорости звена 4 определяется вектором скорости L’ (по часовой стрелке относительно точки P4 ). Следовательно, скорость ползуна D направлена вправо.

Угловая скорость звена 4 определяется с помощью формулы Эйлера:

55

Направление скорости точки В определяется направляющими ползуна. Движение ползуна В поступательное. Вектор L(!‚ имеет горизонтальное направление и параллелен вектору L . Отсюда следует, МЦС звена 2 находится в бесконечности, а

движение звена 2 является мгновенно поступательным. Все точки звена 2 имеют одинаковые скорости и (!L (!L‚ (!L’

56

Задача 2.16. Плоскопараллельное движение твердого тела В некоторый момент времени движущийся плоский механизм находится в поло-

жении, показанном на рисунке. Кривошип ОА вращается с угловой скоростью € радс . Длина звена ОА = AD = 50 см. Размер a = 25см. Радиус колеса R = 20 см.

Определить угловые скорости звеньев AD , ВС и колеса D, скорость ползуна С, а также скорости точек A, D, Е и F.

Решение:

1.Механизм состоит из пяти тел: звеньев ОА, BC, AD и ползуна C и колеса D. Пронумеруем их и рассмотрим их движение.

2.Звено 1 (элемент ОА). Движение вращательное.

Центр скоростей находится в неподвижной точке О, то есть P1=0. Угловая скорость задана, то есть € € радс .

Определяем скорость точки А.

Рис.2.21

Скорость (!L направлена в сторону вращения перпендикулярно отрезку ОА. Ее модуль определяется по формуле Эйлера: L € ∙ |”| ∙ см.

Скорость (!L‚ также направлена в сторону вращения перпендикулярно отрезкус ОА. Ее модуль равен: L‚ € ∙ |”‚| ∙ смс .

57

Рис.2.22

3. Звено 2 (элемент BC).

Направление скорости точки C определяется направляющими ползуна. Движение ползуна C поступательное. Вектор L(!’ имеет вертикальное направле-

Тогда скорость ползуна C найдем по формуле Эйлера:

L’ € ∙ |’ | . ∙ . . смс . 4. Звено 4 (элемент AD).

58

направлена вправо.

59

ГЛАВА 3. ДИНАМИКА

3.1 Динамика материальной точки

Задачи, решаемые методами динамики, условно можно разделить на две группы: Первая задача динамики (прямая) предполагает, что закон движения механической системы известен, а силы которые вызывают это движение необходимо найти. Если закон движения задан в векторной форме, выражение для вектора силы мо-

Если закон движения задан в аналитической форме, проекции силы на декартовые оси могут быть найдены путем дифференцирования координат по формулам:

mx&& = Fx

my&& = F

ymz&& = Fz

Если закон движения задан в естественной форме, проекции силы на естественные оси могут быть найдены путем дифференцирования по формулам:

Вторая задача динамики (обратная) предполагает, что известны силы, действующие на механическую систему, а найти необходимо закон движения. Ее решение сводится к интегрированию дифференциальных уравнений движения материальной точки в векторной, координатной или естественной форме.

Задача 3.1. Первая задача динамики

Найти силу, под действием которой точка с массой m движется по закону: x = acos(ωt), y = bsin (ωt).

Решение.

Дифференцируя уравнения закона движения, получим:

&x& = −aω2 cosωt, &y& = −bω2 sin ωt.