Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

6822

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.11.2023

Размер:

891.65 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Решение

Линии действия сил P и RA пересекаются в точке D . По теореме о трех силах линии действия силы RB также пройдет через точку D .

Условием равновесия сил P , RA и RB является замкнутость силового треугольника. Строим силовой треугольник A′B′D′ , замыкая который получаем направления реакций связей (рис. 1.13)

		R
C	A′	RA	D′
R			R
R			RB
RA	D		RB
RA	D
A	R	α
	P
		B′
α
	R
B	P
B

Рис. 1.12

Рис. 1.13

Из подобия треугольников ABD и A′B′D′ следует равенство отношений:

P = RA = RB

AB AD BD .

Если учесть, что BD = AB2 + AD2 = 42 + 32 = 5м , то из полученных пропорций можно получить, что


RA	=	P × AD			=		P ×3	= 0.75P

		AB	4					,
RB	=	P × BD		=		P ×5		= 1.25P

		AB	4					.
Ответ: RA = 0.75P ,			RB =1.25P .

Задача 1.5. Применение теоремы о равновесии трех сил

Горизонтальная балка AC закреплена в точке А с помощью неподвижного шарнира, а в точке В удерживается наклонным тросом BD (рис. 1.14). В точке С к балке приложена вертикальная сила P , равная по модулю 10 кН. Определить направления и модули реакций связей, пользуясь теоремой о трех силах

A B C

5м3м

Рис.1.14.

4м

Решение

R R

Линии действия сил P и RB пересекаются в точке D . Для равновесия трех сил

линия действия силы RB тоже должна пройти через точку D (рис.1.15).

α β

			R
R	A	B	RB	C
X A
	R
	YA
R
RA

Рис.1.15

Условием равновесия сил P , RA и RB является замкнутость силового треугольника. Строим силовой треугольник, замыкая который получаем направления реакций

связей RA и RB (рис. 1.16).

Рис.1.16.

Длина опорного стержня равна BD = BC 2 + CD2 =

32 + 42 = 5м .

sin α =

= 0.6

Тогда

и следовательноα = 40.97°.

Длина отрезка AD равна AD = AC 2 + CD2 = 82 + 42

= 8.94 м

sin β =

= 0.8949

β = 70.55° .

8.94

Тогда

и следовательно

Найдем внутренние углы силового треугольника и их синусы:

γ =180°− β =109.45°,	ϕ = β −α = 29.58° ,
sin γ = 0.8950 ,	sin ϕ = 0.4481.

Находим неизвестные стороны силового треугольника, используя теорему синусов:

P	=		RA	RA	=	sin α	P =13.39 кН

sinϕ			sinα , откуда			sin ϕ
							,
P		=	RB	R =		sin γ	P =19.97 кН


sin ϕ			sin γ , откуда	B		sin ϕ	.

Ответ: Реакции связей равны: RA =13.39 кН и RB =19.97 кН .

1.2 Равновесие плоской системы сил

Уравнения равновесия плоской системы сил в аналитической форме представлены тремя уравнениями:

n	n	n	R
∑Fix = 0,	∑Fiy = 0,	∑M A (Fi )= 0.
i=1	i=1	i=1

Это основная (первая) форма уравнений равновесия произвольной плоской системы сил. Этой системе уравнений равносильны еще две формы записей уравнений равновесия:

- вторая форма уравнений равновесия:

n	n	R	n	R
∑Fiy = 0,	∑M A (Fi )= 0,		∑MB (Fi )= 0.
i=1	i=1		i=1

(ось y не должна быть перпендикулярна линии АВ, иначе уравнения не будут неза-

висимы); - третья форма уравнений равновесия:

n	R	n	R	n	R
∑M A (Fi )= 0,		∑MB (Fi )= 0,		∑MC (Fi )= 0.
i=1		i=1		i=1

(при этом точки А, В и С не должны лежать на одной прямой).

Задача 1.6

Определить реакции опор А и В для следующей балки.

A	α	B

l 2			l 2

Рис.1.17

Решение:

Отбросив связи и заменив их действие неизвестными реакциями обнаружим, что

R R

задача содержит две неизвестные реакции: RA , RB .

		14
		R		R
		P		F
R			α	R
X A	A			R	B
X A	A			T	B
	R				R
R	YA	l 2	l 2		RB
RA		l 2	l 2
RA

Рис.1.18
R
Наклонную реакцию RA представим в виде суммы ее вертикальной и горизон-
R R R
тальной составляющих: RA = X A +YA .
R	R R R
Наклонную силу F также представим в виде суммы: F = P +T .
Модули составляющих сил равны: P = F sinα ,	T = F cosα .

Используем систему уравнений равновесия:

		n
		∑ Fiy = 0,
		i=1
	n	R

∑ M A (Fi ) = 0,
i=1
n		R

∑ M B (Fi ) = 0.i=1

	X A − T = 0,
	X A − T = 0,
		l
		l
RBl − P			= 0,
RBl − P			= 0,
	2

−Y l + P l = 0.A 2

Решая систему, получаем значения неизвестных сил:

	= T			= F cosα ,
X A
		P				F sin α
	=		=
RB							,
		2			2

	=	P		=		F sin α
RA								.
		2
					2

Задача 1.7. Равновесие плоской системы параллельных сил Определить реакции опор А и В (рис.1.18).

A B

	R	R
		RB
	RA
		l 3
	2l 3

Рис.1.18

Решение.

∑X i = 0

Из уравнения i=1 следует, что горизонтальная составляющая реакции на опоре А равна нулю, поэтому используем вторую систему уравнений равновесия:

n	R
∑M A (Fi )= 0,
i =1
n	R

∑M B (Fi )= 0.i=1

	R ×l - F ×		2	l = 0,

	B	3
		1


-RA		×l + F ×			l = 0.
		2

Решая систему, получаем значения неизвестных реакций:

RB = 2 F , 3

RA = 1 F. 3

Задача 1.8. Равновесие плоской системы параллельных сил Определить реакции опор А и В (рис.1.19).

F	F	F	2F	F	F	F
A							B
A
			C
RA							RB
RA	a	a	a	a	a	a	2a
2a	a	a	a	a	a	a	2a

Рис. 1.19

Решение.

При определении реакций следует при любом удобном случае использовать симметрию системы.

Заметим, что горизонтальная реакция на опоре А отсутствует.

Видно, что все силы приложенные к балке расположены симметрично относительно вертикальной оси, проходящей через точку С,

По этой причине RA = RB .

∑M C = 0

Формально этот результат можно получить из уравнения i =1

Обе реакции теперь можно обозначить одной буквой − R и для их определения

∑Yi = 0


использовать единственное уравнение i =1		.
Формируем уравнение:	2R −8F = 0 , откуда получаем, что R = 4 F .

Задача 1.9.

Определить реакции опор А и В (рис.1.20).

		M
	A	B
	RA	RB
	RA	l 3
	2l 3	l 3

Рис.1.20

Решение.

Используем третью форму уравнений равновесия :

n	R
∑M A (Fi )= 0,
i =1
n	R

∑M B (Fi )= 0.i=1

M + RBl = 0,−RAl + M = 0.

Решая систему, получаем значения неизвестных реакций:

RB = − M , l

RA = M . l

Знак «минус» в выражении реакции RB говорит о том, что ее истинное направление противоположно тому, которое показано на рисунке.

Задача 1.10.

Определить реакции в заделке А.

M = 3Fa

X A

α = 60°

M A

Рис.1.21

Решение.

Наклонную реакцию RA представим в виде суммы ее вертикальной и горизон-

R R R

тальной составляющих: RA = X A +YA . Наклонную силу также представим в виде векторной суммы: двух сил P = 2F sinα и T = 2F cosα .

Используем вторую систему уравнений равновесия:

n
∑ Fix	= 0,
i=1
n	= 0,
∑ Fiy	= 0,
i=1
n	R

∑ M O (Fi ) = 0.i=1

X A -T = 0,

YA - F - P = 0,
	- P ×3a = 0.
M A - F ×a + M	- P ×3a = 0.

Выражая неизвестные из уравнений системы, получим:

X A = T ,			X A = 2F cosα ,
	= F + P,		YA = F + 2F sinα ,
YA
			M A = +F ×a - 3Fa + 2F cosα ×3a.
M A = +F ×a - M + P ×3a.		и далее:		.

Подставляя значения тригонометрических функций, получим значения реакций:

X A	= 2F ×	1	= F ,

	2
					= F (1+		) = 2.73F ,
YA = F + 2F				3
						3
			2

M A = +F × a - 3Fa + 2F × 1 ×3a = Fa. 2

Задача 1.11. Равновесие произвольной плоской системы сил Дано: F = 24 кН , P = 20кН , q = 10кН / м, M = 30кНм , α = 30° .

Определить реакции опор А и В.

α	C	q
P		F
		F
		М

Рис. 1.22

Решение:

1.Отбрасываем связи (опоры) и заменяем их неизвестными реакциями. Распределенные нагрузки заменяем равнодействующими (рис.1.23).

2.Раскладываем наклонные силы на составляющие по осям х и у (рис.1.23).

3.Заменяем распределенную нагрузку ее равнодействующей

Q = q ×1.6м = 10 кН ×1.6м = 16кН
м
1.6м	α C	Q
1.6м	P		F
X A			F
X A	A
1 м	Y A
RA	Y A	М		B
RA		М		B
			RB	α
	2м	1м	1м
	Рис. 1.23

4. Составляем уравнения равновесия.

∑ mA = 0
	∑ X = 0

	∑Y = 0;

P × cosα ×1.6 + Q ×0.8 - M - F × 3 + RB ×sin α ×1 + RB × cosα × 4 = 0

X A - P × cosα - Q + RB ×sin α = 0
Y	+ P sin α + R	B	cosα - F = 0.
A		B

5. Решаем систему уравнений и находим неизвестные реакции.

		- P × cosα ×1.6 - Q × 0.8 + M +	F × 3			- 20 ×	3		×1.6 -16 × 0.8 + 30 + 24 × 3
						- 20 ×	2		×1.6 -16 × 0.8 + 30 + 24 × 3
RB	=					=	2									= 15.511кН;
		sin α ×1 + cosα × 4
													1	+ 4 ×	3
													1		3
													2		2
													2		2

X A	= P × cosα + Q - RB × sin α = 20 ×		3		+16 -15.511					×		1	= 25.565кН;
X A	= P × cosα + Q - RB × sin α = 20 ×		2		+16 -15.511					×			= 25.565кН;
			2							2
YA	= -P × sin α - RB × cos α + F = -20 ×			1		-15.511 ×		3			+ 24 = 0.567кН.
YA	= -P × sin α - RB × cos α + F = -20 ×					-15.511 ×					+ 24 = 0.567кН.
			2				2

6. Выполняем проверку, вычисляя сумму моментов относительно произвольной точки С.

∑ mC = X A ×1.6 - YA × 2 - P sin α × 2 - Q × 0.8 - M - F ×1 + RB sin α × 2.6 + RB cos α × 2 =


25.565 ×1.6 - 0.567 × 2 - 20 ×	1	× 2 -16 × 0.8 - 30 - 24 ×1 + 15.511 ×		1	× 2.6 + 15.511 ×	3	× 2 = 0.0007.
						2
2			2
Проверка выполняется с удовлетворительной точностью.

Ответ: Реакции равны RA =			X A2 + YA2 = 25.571кН, RB = 14.444кН.

Задача 1.12. Равновесие произвольной плоской системы сил Дано: М=6кН·м, F=8кН, Р=10кН, q=3кН/м, α=300.

Определить реакции опор в жесткой заделке.

		М
м	А
1	А
1
		F
3 м
	4 м	2 м

Рис. 1.24

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.11.2023890.04 Кб06818.pdf
#
23.11.2023890.19 Кб06819.pdf
#
21.11.2023141.91 Кб0682.pdf
#
23.11.2023890.74 Кб06820.pdf
#
23.11.2023890.93 Кб06821.pdf
#
23.11.2023891.65 Кб06822.pdf
#
23.11.2023891.66 Кб06823.pdf
#
23.11.2023891.66 Кб16824.pdf
#
23.11.2023891.82 Кб06825.pdf
#
23.11.2023891.82 Кб06826.pdf
#
23.11.2023891.88 Кб06827.pdf