6067

-48-

Следует отметить, что для надежной оценки число параллельных измерений должно быть не менее mi = 6 . Критерий Бартлетта приближенно распределен как

χ2 -распределение (критерий Пирсона) с числом степеней свободы f = (n − 1). Если

что между сравниваемыми дисперсиями статистически значимых отличий не обна-

является проверка нуль-гипотезы о статистическом равенстве средних результатов выборок ( Н0( Х ): Х1 = Х 2 = ... = Х n ) методом однофакторного дисперсионного анали-

за. Логическим основанием этого метода является то, что если не отвергается гипоте-

за о равенстве внутригрупповой (Sвг2 ) и межгрупповой (Sмг2 ) дисперсий, то можно

считать, что при переходе от группы к группе нет какого-либо неслучайного смеще-

-50-

3.Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов

3.1.Общие положения

В технологии бетона издавна стремились обобщить опыт в виде математиче-

ских моделей, отражающих те или иные стороны наблюдаемого явления. Уже в пер-

вых работах (И.Г. Малюга, Р. Фере и др.) сложились три направления количествен-

ного описания закономерностей технологии бетона, которые получили развитие и в дальнейших исследованиях:

а) построение графиков Y = f ( X ) при прочих равных условиях (например,

построение графика зависимости прочности бетона от цементно-водного отношения);

б) описание таких графиков эмпирическими формулами, например описание прочности бетона известной формулой Боломея Rб = ARц (ЦВ± С);

в) построение аналитических формул на основе некоторых физико-химических представлений (сначала в алгебраической, а позже в дифференциальной форме).

В зависимости от исходной информации можно получить модели, описываю-

щие с известной точностью определенных процесс или явление, как например, обоб-

щенные модели прочности бетона (типа формулы Боломея с коэффициентами,

усредненными по результатам испытаний бетона на разных материалах), либо част-

ные модели, описывающие данный процесс или явление в конкретных условиях, на-

пример модель прочности бетона для определенных видов материалов, используемых на данной стройке.

Наибольшую сложность при построении любой математической модели пред-

ставляет решение вопроса о выборе формы связи (линейная или нелинейная) между переменными. Однако ряд трудностей моделирования можно исключить, если при-

менить некоторые ограничения - модель должна быть максимально проста и как можно точнее описывать поведение системы в конкретной ситуации.

В этом случае отпадает необходимость поиска в каждой задаче специфических математических форм связи между аргументом (фактором) Хi (при числе факторов

К) и функцией (параметром выхода) Y . Если самая простая модель окажется недо-

-51-

статочно точной, ее можно усложнять. Воспользовавшись тем, что любую непрерыв-

ную функцию можно разложить в ряд Тейлора, который преобразуется в степенной ряд, начальную модель поведения системы удобно представить в виде полинома т-й

степени

Вычислительная процедура определения коэффициентов b0, bi , bii , bij ... мо-

дели (87) построена на основе метода наименьших квадратов. Его сущность разъясня-

ется ниже на примере вычисления коэффициентов линейной, а затем и нелинейной

модели.

3.2. Вычисление коэффициентов однофакторной линейной модели

-52-

Необходимо подобрать такие значения а и b или так провести прямую (рис. 7),

чтобы модель (91) наиболее полно соответствовала данным табл. 4. Провести пря-

мую через все точки с координатами {Х1u , Yu} (т.е. через экспериментально полу-

ченные точки), как правило, невозможно. Это объясняется тем, что или измерения

Х1u и Yu весьма точны, но предположение о линейном влиянии X1 на Y несовер-

шенно, или влияние X1 на Y действительно линейно, но значения Yu измерены со

значительной погрешностью, или наряду с несовершенством гипотезы о линейном влиянии X1 на Y существует еще и погрешность измерений Yu (наиболее часто встречающийся в технологии строительных материалов случай).

Следовательно, всегда между наблюдаемым значением Yu и рассчитанным по модели значением Y u будет разница u :

-53-

Таким образом, главным вопросом при решении поставленной задачи является

N

минимизация суммы отклонений ∑ u . Однако из математики известно, что про- u =1

стейшая вычислительная процедура получается в том случае, если минимизируется

Для нахождения минимума функции необходимо приравнять нулю частные производные по всем неизвестным (их два – а и b). После дифференцирования име-

ем так называемую систему нормальных уравнений:

Проведя преобразования, получим:

Решая совместно оба уравнения относительно b0 и b1, получим расчетные формулы:

-54-

Пример 6. Пользуясь методом наименьших квадратов определить коэффици-

енты математической модели, описывающей зависимость прочности тяжелого бетона от цементноводного (водоцементного) отношения Rб = ARц (ЦВ ± С). При прове-

дении эксперимента использованы портландцемент с активностью 40,8 МПа, гранит-

ный мытый щебень и песок средней крупности. Результаты испытаний девяти соста-

вов приведены в табл. 5.

Таблица 5

Результаты испытаний бетонных образцов

Построим график изменения прочности в зависимости от цементноводного от-

ношения (рис. 8). Он наглядно свидетельствует, что экспериментальные данные мо-

гут быть с достаточной точностью аппроксимированы линейной зависимостью.

Поскольку эксперимент проводился при постоянной активности цемента и дру-

гих постоянных факторах (например, качество крупного и мелкого заполнителя и

т.д.), влияющих на прочность бетона, то за Х принимаем цементноводное отноше-

ние - Ц В. Так как прочность бетона зависит и от активности цемента введём до-

полнительное обозначение Y = RбRц .

Значения параметра выхода после проведения преобразований

Для облегчения вычисления коэффициентов математической модели (неизвестных коэффициентов в формуле зависимости прочности бетона от цементноводного отношения) составим таблицу расчётных величин (табл. 7).

Таблица 7

Расчетные величины для вычисления коэффициентов модели

-56-

что достаточно близко совпадает с общепринятой формулой Боломея-Скрамтаева.

3.3. Вычисление коэффициентов однофакторной нелинейной модели

Линейная зависимость между переменными является наиболее простой. Если зависимость между переменными Y и Xi не является линейной, то для упрощения вычислений можно применить метод линеаризации (выравнивания). Для этого необ-

ходимо подобрать новые переменные U=f(x, y) и V=f(x, y) так, чтобы зависимость между V и U была линейной.

В качестве примера рассмотрим вычисление коэффициентов a и b показа-

тельной однофакторной модели

Для выравнивания (линеаризации) показательной зависимости вида Y = a × ( Х )b

необходимо провести логарифмирование, а затем ввести новые переменные и обозна-

чения:

коэффициенты A и B которого можно определить, используя методику, разобранную

в п. 3.2. Для перехода к первоначальному уравнению необходим пересчёт коэффици-

ентов - в данном случае а = 10А и b = В.

yi - значение функции, рассчитанное по полученному уравнению для каждо-

го опыта;

n - количество экспериментальных точек, в которых получены значения функции;

l - количество коэффициентов в полученном уравнении.

Чем меньше остаточная дисперсия Sост2 , тем выше качество аппроксимации,

т.е. тем лучше соответствует экспериментальным данным линия регрессии, получен-

ная по уравнению. С.Л.Ахназарова и В.В.Кафаров [3] рекомендуют оценивать качест-

во аппроксимации по критерию Фишера, расчётное значение которого можно опреде-

лить по формуле