6067

-29-

цательных, вследствие чего сумма всех случайных ошибок стремится к нулю. Таким образом, для существенного уменьшения случайной ошибки при проведении экс-

перимента необходимо предусматривать как можно большее число измерений од-

ного и того же параметра; 3. Грубые, возникают из-за неожиданных поломок приборов, неправильных

отсчетов, грубых описок и небрежностей в записях и т.д. Грубая ошибка, как правило,

резко отличается по величине от соседнего результата.

Поскольку систематические и случайные ошибки можно тем или иным спосо-

бом свести к минимуму еще при проведении эксперимента (в процессе измерений),

то отсеивание грубых ошибок входит в задачу экспериментатора на стадии обра-

ботки результатов эксперимента. Таким образом, прежде чем вычислять статистиче-

ские характеристики выборки, полученной при проведении каких-либо измерений,

необходимо исключить из ряда измерений грубые ошибки. Поскольку даже опытно-

му экспериментатору трудно только на логическом уровне решить вопрос об оши-

бочности того или иного результата измерений, то для проведения проверки следует привлекать статистические критерии. Выявление и отбраковку грубых ошибок можно истолковывать как проверку однородности наблюдений, т.е. проверку гипотезы о том, что все элементы, в том числе и резко выделяющийся результат, принадлежат одной и той же выборочной совокупности. Проверка гипотезы проводится при помо-

щи статистических критериев Смирнова, Романовского, Стьюдента, Ирвина в сле-

дующем порядке:

1)результаты измерений в выборке располагаются в порядке возрастания (или убывания) и определяются минимальный и максимальный результат, т.к именно они чаще всего вызывают подозрение, особенно если они резко отличаются по величине от других вариант выборки;

2)формулируется нуль-гипотеза Но, в соответствии с которой подозрительный результат статистически не отличается от других элементов выборки, т.е. не является грубой ошибкой и принадлежит данной выборочной совокупности. Альтернативной гипотезой является гипотеза Н1, в соответствии с которой подозрительный результат имеет статистически значимые отличия от других элементов выборки, т.е. является грубой ошибкой и должен быть исключен из выборочной совокупности;

-30-

3) выбирается критерий Cr проверки гипотезы;

4)по результатам измерений вычисляется расчетное значение критерия Crрасч;

5)по справочным таблицам определяется табличное значение критерия Crтаб

при числе степеней свободы f и уровне значимости α (обычно α=0,05).

6) сравниваются величины расчетного и табличного значений Cr. Если

Crрасч < Crтаб, то экспериментальным данным не противоречит гипотеза H0 . Если

Crрасч > Crтаб,то гипотеза Н0, отвергается и принимается альтернативная гипотеза Н1.

Если в выборке есть несколько подозрительных результатов измерений, то та-

кая проверка производится поочередно для каждого подозрительного результата.

Грубая ошибка исключается из ряда измерений, а проверка следующего аномально-

го результата осуществляется с использованием новой получившейся выборки объёмом (n - 1) .

Расчетное значение выше приведенных критериев можно определить по фор-

мулам:

а) критерий Смирнова:

Критерии Смирнова, Стьюдента и Романовского используются при статистиче-

ской обработке сравнительно небольших выборок. При больших объемах выборки

более рационально использовать критерий Ирвина, расчетное значение которого

определяется по формулам:

если подозрительным результатом является последний член ранжированного

ряда (Х1 < Х2 < Х3 < …< Хn-1 <Хn):

если подозрительным результатом является первый член выборки:

свободы f = n.

Таблицы для определения табличных значений критериев приведены в прило-

жениях 3...6 к настоящей методической разработке.

Пример 4. Расчет статистических характеристик выборочной совокупности При определении прочности бетона получены следующие результаты:

-32-

С доверительной вероятностью Р = 0,95 проверить не являются ли минималь-

ный и максимальный результаты грубыми ошибками измерений, а также вычислить точечные и интервальные оценки статистических характеристик.

Проверку гипотезы об ошибочности минимального и максимального результа-

та измерений будем проводить с использованием критерия Смирнова ( ς ). Формули-

руем нуль-гипотезу Н0, в соответствии с которой подозрительный результат стати-

стически не отличается от других элементов выборки. Н0 не противоречит экспери-

ментальным данным, если ςрасч ς табл . Если ςрасч ςтабл , то с принятой довери-

тельной вероятностью нуль-гипотеза отклоняется и принимается альтернативная ги-

потеза Н1, в соответствии с которой подозрительный результат имеет статистически значимые отличия от других элементов выборки, является грубой ошибкой измере-

ний и должен быть исключен из выборочной совокупности.

Проверим, не является ли грубой ошибкой минимальный результат Х1=20,00 МПа.

Среднеквадратичное отклонение, МПа, для данной выборки будет равно:

Среднее арифметическое, МПа:

Расчетное значение критерия Смирнова:

При уровне значимости α = 0,05 (α = 1-Р = 1-0,95 = 0,05) и числе степеней сво-

боды f=n=12 табличное значение критерия Смирнова ς табл = 2,387 . Так как

ςрасч = 3,254 ς табл = 2,387 , то с принятой доверительной вероятностью Р = 0,95 нуль-

гипотеза отвергается, а экспериментальным данным не противоречит гипотеза Н1,

-33-

по которой Х1 = 20,00 МПа является грубой ошибкой и должен быть исключен из вы-

При f = 11 и α = 0,05 ς табл = 2,343 . Экспериментальным данным не противоречит гипотеза Н0, по которой Х1 = 23,50 МПа не является грубой ошибкой.

Проверим, не является ли максимальный результат Х11 = 24,20 МПа грубой

ошибкой:

При f = 11 и α = 0,05 ς табл = 2,343 . Экспериментальным данным не противоречит

-34-

Для этой выборки:

0,0074 ≤ M (V ) ≤ 0,0193 .

-35-

2.6.Сравнение двух и более выборочных совокупностей

Вповседневной работе технолога часто возникают ситуации, когда необходи-

мо оценить значимость влияния того или иного рецептурно-технологического реше-

ния на результат эксперимента. Например, часто требуется оценить значимость изме-

нения прочности бетона при введении в его состав добавки ускорителя твердения или оценить значимость изменения подвижности бетонной смеси при введении пласти-

фикатора. Кроме того, часто возникает необходимость решить об объединении в одну выборочную совокупность результатов определения того или иного показателя свойств, вычисленного по параллельным сериям измерений. В таких случаях доста-

точно часто решение принимается на основании сравнения только среднего арифме-

тического значения показателя свойств. Например, при равенстве средних значений предела прочности бетона на сжатие, определенного по двум или более сериям испы-

таний, все измерения объединяются в одну выборку, а превышение прочности образ-

цов с химической добавкой на прочностью образцов без добавки служит основанием для вынесения суждения об эффективности влияния на прочностные свойства бетона этого химического соединения.

Однако известно, что любое измерение сопровождается действием случайных неучтенных факторов (инструментальные ошибки, изменение условий проведения измерений и т.д.). Из-за их действия при повторении серий измерений значение опре-

деляемого параметра отклоняется в ту или другую сторону от истинного. При этом вопрос об объединении параллельных серий измерений в одну выборочную совокуп-

ность не может быть решен на интуитивном уровне по признаку равенства в этих се-

риях выборочного среднего арифметического значения, так как равенство средних еще не гарантирует равенство истинных значений (математических ожиданий) опре-

деляемого параметра и одинаковости распределения отдельных измерений в выбор-

ках. В то же время влияние случайных неучтенных факторов в той или иной мере бу-

дет изменять воздействие изучаемого технологического фактора. Может возникнуть случай, когда при незначительном истинном влиянии, например, добавки ускорителя твердения, сочетание неучтенных факторов может уменьшить предел прочности бе-

тона без добавки и увеличить прочность бетона с добавкой (и наоборот). Становится очевидным, что и в этом случае нельзя вынести суждение об эффективности того или

-36-

иного технологического мероприятия, оценивая только отличия выборочного средне-

го арифметического.

Решение таких вопросов становится возможным только после проверки одно-

родности измерений, производя сравнение выборочных совокупностей с привлечени-

ем статистических критериев (Фишера, Стьюдента, Кохрена, Бартлетта и т.д.). Такая оценка предусматривает проверку основной (нуль-гипотезы) гипотезы Н0, предпола-

гающей, что статистические характеристики сравниваемых выборочных совокупно-

стей являются оценками статистических характеристик одной и той же генеральной совокупности (нуль-гипотеза, в соответствии с которой статистические характеристи-

ки сравниваемых выборочных совокупностей не имеют статистически значимых от-

личий). Оценить однородность измерений методически можно, сравнив результаты измерений двух выборочных совокупностей или нескольких выборок.

2.6.1. Сравнение результатов измерений двух выборок

Сравнение результатов измерений двух выборочных совокупностей проводит-

ся в следующей последовательности.

1.Проверяется принадлежность к данным выборочным совокупностям рез-

ко выделяющихся в них результатов (проводится исключение грубых ошибок изме-

рений). Методика исключения грубых ошибок разобрана ранее и здесь не приводит-

ся.

2.Формулируется нуль-гипотеза, в соответствии с которой дисперсии

сравниваемых выборочных совокупностей имеют статистически значимые различия, т.е. Н1( S 2 ): S12 ¹ S22 . Проверка нуль-гипотезы Н0( S 2 ): S12 = S22 ведется по критерию

Фишера (F-критерию).

3.Проверяется статистическое равенство средних результатов выборок.

Для этого формулируются нуль-гипотеза Н0( Х ): Х1 = Х 2 , и альтернативная гипотеза

Н1( Х ): Х1 ¹ Х 2 . Проверка нуль-гипотезы о статистическом равенстве средних ре-

зультатов двух выборочных совокупностей проводится по критерию Стьюдента (t-

является основание для объединения двух выборочных совокупностей в одну выбор-

ку с последующим вычислением обобщенных статистических характеристик (обоб-

т- число вариант (измерений) второй выборки

Гипотеза о статистическом равенстве дисперсий двух выборочных совокупно-

жению 8 или 9) для принятого уровня значимости α и при числе степеней свободы:

торой между дисперсиями сравниваемых выборок наблюдаются статистически зна-

чимые отличия, т.е. измерения в этих выборках вследствие действия неучтенных фак-

торов и погрешностей измерения проведены с разной точностью.

Проверка нуль-гипотезы о статистическом равенстве средних результатов двух выборочных совокупностей ( Н0( Х ): Х1 = Х 2 ), как говорилось выше, проводится по критерию Стьюдента (t-критерий). При этом следует иметь в виду, что при проверке

нуль-гипотезы Н0( S 2 ): S12 = S22 о статистическом равенстве дисперсий возникают два случая.

1. Справедлива нуль-гипотеза Н0( S 2 ): S12 = S22 , по которой с принятой дове-

рительной вероятностью можно утверждать, что статистически значимых отличий между дисперсиями сравниваемых выборок не имеется;