6067

(n -1)× S 2 + (m -1)× S

2

Sоб =

1

2

.

(63)

n + m - 2

Табличное значение критерия Стьюдента ( tтабл ) определяется по справочным

таблицам (например, приложение 4)

при принятом уровне значимости

α (обычно

α = 0,05) при числе степеней свободы

f = (n + m - 2).

Если tр > tтабл , то с

принятой доверительной вероятностью

гипотеза

Н0(

):

1 =

2

отвергается

и

принимается

альтернативная

гипотеза

Х

Х

Х

2 случай.

При проверке однородности дисперсий двух выборок принята гипо-

теза Н

1

( S 2 ): S 2

¹ S 2

. В этом случае расчетное значение критерия Стьюдента вычис-

1

2

ляется по формуле:

S

2

S 2

1

tр =

( Х1 - Х 2 )

+

2

.

(64)

m

n

(n -1)× (m -1)

f =

(m -1)× С2 + (n -1)×

(1 - С2 ).

(65)

Величина C в формуле

(74) определяется из следующего выражения

S 2

n

1

С =

(S 2 n)+ (S

2

т) .

(66)

1

2

потеза Н0(

Х

):

Х

1 =

Х

2 отвергается

и принимается

альтернативная гипотеза

Н1(

):

1 ¹

2 .

Х

Х

Х

В случае подтверждения гипотез

( S

2 ): S 2

= S

2

и Н

(

):

1 =

2 срав-

Н

0

0

Х

Х

Х

1

2

об =

n ×

Х

1 + m ×

Х

2

;

(67)

Х

n + m

(n -1)× S 2 + (m -1)× S

2

Sоб =

1

2

.

(68)

n + m - 2

Пример 5. Сравнение двух выборочных совокупностей.

При изучении влияния

на прочность бетона добавки ускорителя твердения Na2SO4

проведены сравни-

тельные испытания двух серий бетонных образцов,

изготовленных по единой тех-

Серия №1:

1.

38,1 МПа;

5.

38,2

МПа;

9.

40,3 МПа;

13.

40,3

МПа;

2.

40,4 МПа;

6.

40,6

МПа;

10.

40,8 МПа;

14.

42,2

МПа;

3.

40,5 МПа;

7.

40,7

МПа;

11.

41,9 МПа;

15.

46,1

МПа;

4.

40,5 МПа;

8.

40,7

МПа;

12.

42,0 МПа.

Серия №2

1.

42,0 МПа;

5.

42,4

МПа;

9.

42,5 МПа;

13.

42,8

МПа;

2.

42,1 МПа;

6.

42,5

МПа;

10.

42,6 МПа;

14.

46,5

МПа;

3.

42,3 МПа;

7.

42,5

МПа;

11.

42,6 МПа;

15.

47,6

МПа;

4.

42,3 МПа;

8.

42,5

МПа;

12.

42,6 МПа;

С доверительной

вероятностью Р = 0,95 провести проверку на наличие гру-

средних результатов ( H :

R

1 =

R

2 ) и

дисперсий ( H : S1 = S2 ) выборок. По результа-

там проверки гипотез H :

1 =

2

и H : S1 = S2 решить вопрос о причинах разли-

R

R

чия прочности в сериях.

n

∑

R

i

R1 + R2 + R3 + ....... + R1

=

i =1

=

=

R

N

15

n

2

N

2

∑(R - Ri

)

1

N

∑ Ri

`1

(613,3)

2

2

i=1

2

i=1

S

=

=

∑ Ri

-

=

25123,33

-

= 3,396.

N -1

N -1

N

15 -1

15

i=1

- Rпод

40,887 - 46,1

ζр=

R

=

= 2,93.

S ×

N -1

1,843 ×

15 -1

N

15

вокупность №1 будет выглядеть следующим образом:

1.

38,1 МПа;

5.

38,2

МПа;

9.

40,3 МПа;

13.

40,3

МПа;

2.

40,4 МПа;

6.

40,6

МПа;

10.

40,8 МПа;

14.

42,2

МПа.

3.

40,5 МПа;

7.

40,7

МПа;

11.

41,9 МПа;

4.

40,5 МПа;

8.

40,7

МПа;

12.

42,0 МПа;

Б)

принимаем

за

подозрительный

результат

в

новой

выборке

Rпод = Rmax = 42,2 МПа.

= 40,51 МПа;

S 2 = 1,417 (МПа)2;

S = 1,19 МПа.

R

- Rпод

40,51 - 42,2

ζр=

R

=

= 1,47

S ×

N -1

1,417 ×

14 -1

N

14

При уровне значимости α = (1-Р) = (1-0,95) = 0,05 и

числе степеней свободы

fр=N=14

табличное

значение

критерия

Смирнова

ζтабл=2,461.

Так как ζр=

1,47 › ζтабл= 2,461, то с достоверностью 95 % принимается гипотеза

Н0 ,

в

соответ-

ствии с которой результат Rпод = Rmax = 42,2 МПа

статистически не значимо отлича-

исключения грубых ошибок измерения имеет вид:

1.

38,1 МПа;

5.

38,2

МПа;

9.

40,3 МПа;

13.

40,3

МПа;

2.

40,4 МПа;

6.

40,6

МПа;

10.

40,8 МПа;

14.

42,2

МПа.

3.

40,5 МПа;

7.

40,7

МПа;

11.

41,9 МПа;

4.

40,5 МПа;

8.

40,7

МПа;

12.

42,0 МПа;

Статистические характеристики выборки №1:

Среднее арифметическое (средняя прочность) ……………… 40,51

МПа;

Дисперсия

………………………………………………… 1,42 (

МПа)2;

-42-

Среднее квадратичное отклонение …………………………

1,19

МПа;

Коэффициент вариации

…… ..………………………………. 2,9 %.

Исключение грубых ошибок измерений из серии №2.

А) принимаем за подозрительный результат Rпод=Rmax=47,6 МПа;

= 43,05 МПа;

S 2 = 2,717 (МПа)2;

S = 1,648 МПа.

R

- Rпод

43,053 - 47,6

ζр =

R

=

= 2,855.

S ×

N -1

1,648 ×

15 -1

N

15

При

уровне значимости α = (1-Р) = (1-0,95) = 0,05

и

числе степеней свободы

fр = N = 15

табличное значение

критерия

Смирнова

ζтабл = 2,493.

Так как

ζр= 2,855 > ζтабл= 2,493 , то с достоверностью 95 % отвергается гипотеза

Н0 и при-

нимается гипотеза Н1,в соответствии с которой

результат Rпод=Rmax=47,6 МПа ста-

Б) принимаем за подозрительный результат Rпод = Rmax = 46,5 МПа;

= 42,73 МПа;

S 2 =1,2222 (МПа)2;

S = 1,106 МПа.

R

- Rпод

42,73 - 46,5

ζр =

R

=

= 3,54

S ×

N -1

1,106 ×

14

-1

N

14

При уровне значимости

α = (1-Р) = (1-0,95) = 0,05 и

числе степе-

ней свободы fр = N = 14

табличное значение

критерия

Смирнова

ζтабл

= 2,461. Так как

ζр = 3,54

> ζтабл= 2,461, то с достоверностью 95 %

отвергается гипотеза

Н0

и

принимается

гипотеза Н1 ,

в

соответст-

вии

с которой результат

Rпод = Rma x = 46,5 МПа

статистически значимо

R

= 42,438 МПа;

S 2 = 0,04758 (МПа)2;

S = 0,218 МПа.

- Rпод

42,438 - 42,8

ζр=

R

=

= 1,723.

S ×

N -

1

0,218 ×

13 -1

N

13

При уровне значимости α = (1-Р) = (1-0,95) = 0,05

и

числе степеней свободы

fр = N = 13

табличное

значение

критерия

Смирнова

ζтабл = 2,426. Так как ζр

= 1,723 < ζтабл = 2,426 , то с достоверностью 95 %

принимается гипотеза

Н0 , по ко-

торой результат Rпод = Rmax = 42,8 МПа

не является грубой ошибкой измерения и

принадлежит данной выборочной совокупности.

Г)

Принимаем за подозрительный результат Rпод= Rmin= 42,0 МПа;

= 42,438 МПа;

S 2 = 0,04758 (МПа)2;

S = 0,218 МПа.

R

- Rпод

42,438 - 42,0

ζр=

R

=

= 2,092.

S ×

N -1

0,218 ×

13 -1

N

13

При уровне значимости

α = (1-Р) = (1-0,95) = 0,05 и числе степеней свободы

fр = N = 13

табличное

значение

критерия

Смирнова

ζтабл = 2,426.

Так как ζр

= 2,092 < ζтабл = 2,426 , то с достоверностью 95 %

принимается гипотеза

Н0 , по ко-

торой результат Rпод =

Rmin = 42,0 МПа

не является грубой ошибкой измерения и

принадлежит данной выборочной совокупности.

Таким образом серия №2 принимает вид:

1.

42,0 МПа;

5.

42,4

МПа;

9.

42,5 МПа;

13. 42,8

МПа.

2.

42,1 МПа;

6.

42,5

МПа;

10.

42,6 МПа;

3.

42,3 МПа;

7.

42,5

МПа;

11.

42,6 МПа;

4.

42,3 МПа;

8.

42,5

МПа;

12.

42,6 МПа;

Статистические характеристики серии №2

Среднее арифметическое (средняя прочность) ……

………

… 42,44

МПа;

Дисперсия

……………………………………

…..……………

0,0476

(

МПа)2;

-44-

Среднее квадратичное отклонение

…………

…..………….. 0,218

МПа;

Коэффициент вариации …………………………………

……

0,514 %

Проверка статистического равенства дисперсий двух выборок.

Проверка гипотезы Н0 о статистическом равенстве дисперсий двух выборок

(Н

0

: S

2

= S 2 ) проводится по критерию Фишера, расчётное значение которого опре-

1

2

деляется по формуле

Fр =

Sмах

=

S1

=

1,42

= 29,83.

Sмin S2

0,0476

1 -

2

40,51 - 42,44

tр =

R

R

=

= 5,954 .

S12 N1 + S22

N 2

1,42 14 + 0,0476 13

f =

(N1 -1)× (N 2 -1)

,

(N 2 -1)× C 2 + (N1 -1)× (1 - C )2

(S

2 N1 )

(1,42 14)

C =

(S 2

N 1)+ (S 2

)=

= 0,965 ,

N

2

(1,42 14) + (0,0476 13)

1

1

2

f =

(14 -1)×(13 -1)

= 13,94 » 14 .

(13 -1)×0,9652 + (14 -1)×(1 - 0,965)2

( Н

0

( S 2 ):S 2

= S 2 = ... = S 2 ),

и

статистическом

равенстве средних результатов этих

1

2

n

выборок

( Н0(

):

1 =

2 = ... =

n ) . Следует

помнить при этом, что гипотеза

Х

Х

Х

Х

Н0(

):

1 =

2 = ... =

n

проверяется только в том случае, если справедлива нуль-

Х

Х

Х

Х

гипотеза Н

0

( S 2 ):S 2

= S 2

= ... = S

2 . Рассмотрим случай, когда в результате проведе-

1

2

n

Таблица 3

Результаты однофакторного эксперимента

/пп№

исслеЗначениефакторадуемого

Номер

Количество

параллельных измерений

Выборочное арифмесреднеетическое

Выборочная дисперсия

и

результат измерения

1

2

…

j

…

m

1

х1

Х11

Х12

…

Х1 j

…

Х1m

m1

S12

Х1

2

х2

Х21

Х22

…

Х2 j

…

Х2m

m2

S22

Х 2

.

….

….

….

…

….

…

….

….

….

….

i

хi

Хi1

Хi2

…

Хij

…

Хim

mi

Si2

Х i

…

….

….

….

…

….

…

….

….

….

….

n

хn

Хn1

Хn2

…

Хnj

…

Хnm

mn

Sn2

Х n

n

∑ Si2

i =1

При реализации такого эксперимента возможно одинаковое количество парал-

лельных измерений в каждой группе, т.е.

m1 = m2 = ... = mn ,

или неодинаковое, т.е.

m1 ¹ m2 ¹ ... ¹ mn .

Если

число

параллельных измерений

в каждой группе одинаковое , т.е.

m1 = m2 = ... = mn ,

то

проверка

гипотезы

о

статистическом

равенстве

дисперсий

G

расч

=

Smax2

,

(69)

n

∑ Si2

i=1

где Smax2

-

наибольшая из всех n выборочных дисперсий;

n

∑ Si2

-

сумма всех выборочных дисперсий.

i =1

Если G

> G

табл

, то гипотеза

Н

0

( S 2 ):S 2

= S

2 = ... = S 2

отвергается и при-

расч

1

2

n

нимается альтернативная гипотеза Н ( S

2 ): S 2

¹ S 2

¹ ... ¹ S 2

, по которой между срав-

1

1

2

n

ниваемыми дисперсиями имеются статистически значимые отличия.

Табличное значение критерия Кохрена (Gтабл )

определяется по справочным

потеза Н ( S

2 ): S 2 ¹ S

2

¹ ... ¹ S 2 , то это означает, что измерения в выборках проведе-

1

1

2

n

ны с разной точностью и объединять такие выборки нельзя (нельзя их также

ис-

пользовать

при обработке математически спланированного эксперимента).

Для

дальнейшей

работы

требуется

повторение

либо всего эксперимента, либо от-

дельных опытов с максимальной дисперсией.

Если

число параллельных

измерений

в группах не одинаковое,

т.е.

m1 ¹ m2 ¹ ... ¹ mn , то

проверка гипотезы о статистическом равенстве дисперсий

n

2,30259 K × lg S2 -

∑(mi -1)× lg Si2

Bрасч =

i=1

,

(70)

С

где mi

-

число параллельных измерений в соответствующей группе;

Si2

-

дисперсия каждой группы измерений.

Величина K в формуле (70) рассчитывается по формуле:

n

i -1).

(71)

i =1

В свою очередь величина

S2 и С рассчитываются по формулам: