Тема 5. Статистические распределения и их основные характеристики.

1. Найти моду и медианное значение признака для распределения рабочих цеха по тарифному разряду:

Тарифный разряд	2	3	4	5	6
Число рабочих	12	32	55	62	43

Решение:

х	Накопленные частоты, S
2	12
3	12+32 = 44
4	44+55 = 99
5	99+62 = 161
6	161+43 = 204
Половина объема = 204/2 = 102

Мода = 5 (f _max)

Медиана = 5

2. Распределение торговых фирм по размеру месячного товарооборота характеризуется следующими данными:

Товарооборот, млрд.руб.	До 5	5-10	10-15	15-20	20-25	25 и более	Итого
Число фирм	4	12	18	26	14	6	80

Определите:

а) модальное и медианное значение месячного товарооборота;

б) средний размер товарооборота на одну фирму.

Решение:

Товарооборот	хi	fi	хi*fi	Si
До 5	2,5	4	10	4
5-10	7,5	12	90	4+12 = 16
10-15	12,5	18	225	34
15-20	17,5	26	455	60
20-25	22,5	14	315	74
25 и более	27,5	6	165	80
Итого		Σf = 80	1260

= =1260/80 = 15,75 h = 5

x_Mо = 15 f_мо = 26 f_-1= 18 f₊₁= 14

Мо = = 17 (см. наиб. частоту)

x_Me = 15 f_мe = 26 S_-1 = 34

Ме = = 16,2 (S >80/2 = 40 в первый раз)

3. Определите среднее линейное отклонение, дисперсию, СКО, относительный показатель вариации для распределения 20 банков по величине прибыли, данных в таблице.

Прибыль, млн.руб.	Число банков
3,7-4,5	2
4,6-5,4	4
5,5-6,3	6
6,4-7,2	5
7,3-8,1	3
Итого	20

Решение:

Прибыль	хi	fi	хi*fi	|xi-|*fi	(xi-)2*fi
3,7-4,5	4,1	2	8,2	|4,1-6,04|*2 = 3,87	7,49
4,6-5,4	5,0	4	20	4,14	4,28
5,5-6,3	5,9	6	35,4	0,81	0,11
6,4-7,2	6,8	5	34	3,83	2,93
7,3-8,1	7,7	3	23,1	5,00	8,32
Итого		20	120,7	17,64	23,13

= =120,7/20 = 6,04 = = 17,64/20 = 0,88

σ² = = 23,13/20 = 1,16 σ == 1,08

Коэффициент вариации: V = = 1,08 / 6,04*100 = 17,82%

Чем меньше коэффициент вариации, тем однороднее признак (н-р, если есть две группы).

4. Рассчитайте показатели ассиметрии и эксцесса по данным задачи 3.

Прибыль, млн.руб.	Число банков
3,7-4,5	2
4,6-5,4	4
5,5-6,3	6
6,4-7,2	5
7,3-8,1	3
Итого	20

Решение:

хi	fi	хi*fi	(xi-)2*fi	(хi-)3* fi	(хi-)4* fi
4,1	2	8,2	7,49	-14,49	28,04
5	4	20	4,28	-4,43	4,59
5,9	6	35,4	0,11	-0,01	0,00
6,8	5	34	2,93	2,24	1,71
7,7	3	23,1	8,32	13,85	23,06
Итого	20	120,7	23,13	-2,85	57,40

= = 120,7/20 = 6,04

µ₂ = = 23,13/20 = 1,16 = σ² ; σ = = 1,08

µ₃ = = -2,85/20 = -0,14; µ₄ = = 57,4/20 = 2,87

A_s = µ₃ / σ³ = -0,11; E_k = µ₄ / σ⁴-3 = -0,85

5. Имеются следующий данные о балансовой прибыли предприятий за два квартала:

Квартал	Число предприятий	Балансовая прибыль, млрд.руб.
I	3	18,4; 38,8; 72,6
II	4	14,1; 16,3; 48,8; 27,9

Определите:

а) среднюю из внутригрупповых, межгрупповую и общую дисперсию балансовой прибыли;

б) показатели тесноты связи междукварталом и балансовой прибыльюпредприятий (коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение).

Или другими словами: Используя метод дисперсионного анализа (правило сложения дисперсий), установить существует ли зависимость между кварталом и балансовой прибылью.

Решение:

n	1кв., х1	2кв., х2
1	18,4	14,1	(18,4-33,8)2 = 238,5	(14,1-33,8)2 = 389,8
2	38,8	16,3	(38,8-33,8)2 = 24,6	(16,3-33,8)2 =307,8
3	72,6	48,8	(72,6-33,8)2 =1502,1	(48,8-33,8)2 =223,7
4		27,9		(27,9-33,8)2 =35,3
итого	129,8	107,1	1765,17	956,57

₁ ==129,8/3 = 43,3; ₂ = 107,1/4 = 26,8; = (129,8+107,1)/(3+4) = 33,8

= = (1765,17 + 956,57)/(3+4) = 388,8

δ² = = = 66,6

=-δ² = 388,8 - 66,6 = 322,2

= δ²/ = 66,6/388,8 = 0,17 или 17%

= = 0,41 или 41%

6. Статистическая совокупность состоящая из 90 единиц разделена на 5 групп. Число степеней свободы для критерия согласия Пирсона равно:

а) 121; б) 101; в) 5; г) 2.

Решение: к = n - 3 = 5-3 = 2

7. Средняя величина в совокупности равна 15, среднее квадратическое отклонение равно 10. Чему равен средний квадрат индивидуальных значений этого признака?

Решение: = 15; σ = 10; σ² = –→= σ² + = 100+225 = 325