3. 2. 3. Решение прямой задачи о положениях в общем виде

Прямая задача кинематики манипуляторов формулируется так: задана кинематическая схема манипулятора и в некоторый момент времени известны значения обобщенных координат, определяющие положение всех Звеньев манипулятора друг относительно друга. Требуется определить положение и ориентацию последнего звена манипулятора (схвата) в системе отсчета, связанной со стойкой. Геометрические размеры звеньев считаются известными.

Задача решается с помощью формулы

R₀=T_nR_n

где Т_n — матрица, равная произведению матриц A_i:

T_n=A₁A₂…A_n

В формуле R_n и R₀ - матрицы-столбцы размером 4 х 1, первые три элемента, которых - это координаты произвольной точки охвата соответственно в системах п и 0.

Столбцы матрицы Т_n имеют геометрическое толкование. Первые три элемента первого, второго и третьего столбцов представляют собой направляющие косинусы соот­ветственно осей x_n, y_n, z_n в системе 0, а три элемента четвертого столбца—это координаты х*, у*, z* центра схвата в той же системе:

Таким образом, решение прямой задачи кинематики манипуляторов сводится к тому, что, задавшись значениями обобщенных координат, вычисляются с помощью (8) и , (2) значения элементов матрицы Т_n, а следовательно, согласно (9), определяются положение и ориентация схвата в системе координат, жестко связанной со стойкой манипулятора.

Если требуется определить положение и ориентацию не схвата, а некоторого промежуточного звена i и радиус-вектор его точки в системе 0, то следует воспользо­ваться формулами, аналогичными (7) и (8):

R₀ = T_i R_i

где T_i=A₁A₂…A_i.

По таким же формулам можно определить положение и ориентацию, некоторого звена l по отношению к звену i:

R_i =T_{i, l}R_l (12)

где

T_i,l=A_i+1A_i+2…A_i (13)

Пример 2. Определить положение и ориентацию схвата манипулятора, кинематическая схема которого изображенана рис. 1, а. в общем виде.

Решение задачи заключается в нахождении 12 элементов матрицы

(14)

которая определяется, согласно (3.8), как произведение матриц A_i:

T₅=A₁A₂A₃A₄A₅.

Перемножив матрицы A_i, вычисленные при решении примера 1, получаем искомые величины:

Полученные выражения показывают связь матрицы Т, определяющей положение и ориентацию охвата, с обобщенными координатами манипулятора.

4. Порядок выполненпия работы.

1.Ознакомиться с настоящими методическими указаниями.

2.Получитьзадание у руководителя: модель робота и некоторые параметры его манипулятора (численные значения обобщённых координат).

3. Замерить с помощью рулетки длину звеньев манипулятора и используя паспортные данные, а также результаты лабораторной работы №1 определить в системе 0, жестко связанной со стойкой, положение и ориентацию охвата манипулятора как функции обобщенных координат и линейных размеров звеньев, для чего:

- на основе кинематической структуры изобразить конструктивную кинематическую схему манипулятора и про­нумеровать на ней звенья манипулятора;

- выбрать специальные системы координат, жестко связан­ные со звеньями манипулятора, и показать их на рисунке;

- составить таблицу, типов кинематических пар и значений параметров манипулятора;

- вычислить матрицы А;

- определить элементы матрицы Т_n;

- вычислить с помощью ПЭПМ координаты центра охвата и направляющие косинусы осей схвата в системе координат, связанной со стойкой для численных значений параметров манипулятора и конкретных значений обобщённых координат,

- в наладочном режиме установить схват в соответствии с заданием для расчёта и сравнить результаты расчёта и установки. Сопоставить результаты работы с данными из технологической документации на робот.

- представить отчёт (задание и исходные данные для расчёта; , кинематическую структуру и конструктивную схему манипулятора ПР с системами координат звеньев; таблицу параметров; листинг расчёта; выводы по работе.

Пример 3. Выполнить задание для манипулятора, кинематическая схема которого дана на рис.3 а.

Рис.3. Структурная кинематическая (а) и конструктивная схема (б) ПР

Манипулятор имеет одну вращательную и две поступательные кинемати­ческие пары, следовательно, число степеней свободы равно трем. Конструктивная кинематическая схема изображена на рис. 3. б, там же проставлены номера звеньев.

Специальные системы координат выбираем в соответ­ствии с указаниями. Ось z₀ идет по оси вращательной пары (0, 1), т. е по оси вращения тела 1; ось z₁ идет по оси пары (1, 2), вдоль которой тело 2 поступательно перемещается относительно тела 1; ось z₂ идет вдоль, оси поступательной пары (2, 3); ось z₃ идет так же, как ось z₂.

Направление осей х и положения начал координат показаны на рис. 3, а.

Типы пар и значения параметров сведены в табл. 3.

Таблица 3.

Кинема-тическая пара	Тип пары	Номер звена	Параметры
			θ	α	s	a
0,1 1,2 2,3	Поступательная Вращательная »	1 2 3	θ1 π 0	0 π/2 0	0 s2 s3	0 0 0

Составляем матрицы A_i [ в соответствии с (2)]:

;

.

Вычисляем с помощью ПЭВМ элементы матрицы T₃ (здесь они приведены в общем виде):

;

Координаты центра схвата в системе, связанной со стойкой манипулятора, равны [чto видно из сопоставления (16) с(3.9)]

; ;;

Направляющие косинусы осей x₃ и z₃:

;;;;;.

Задание выполнено.