3.2.1. Матрица одновременного перемещения и поворота детали относительно оси OiZi

Рассмотрим неподвижную систему координат O_iX_iY_iZ_i(рис.1 ). Пусть деталь или заготовка смещена вдоль оси 0_iZ_i на отрезок c_jи повернута вокруг этой оси на угол φ_j. Свяжем с деталью неподвижную систему координат O_jX_jY_jZ_j.

Возьмем произвольную точку,

которая в системе координат

O_jX_jY_jZ_jимеет координаты x_j,y_j,

z_j. Запишем координаты этой же

точки в системе координат

O_iX_iY_iZ_i:

х _i =x_jcosφ_j—y_j sinφ_j;

y _I = x_j sin φ_j — y_j cos φ_j;

z = z_j + C_j .

Рис.1. Перемещения объекта

Эту систему можно представить в матричном виде:

или [X_i], где M_ij- матрица перехода от системы O_jX_jY_jZ_j к системе O_jX_jY_jZ_j ,

Матрицу M_jj можно также рассматривать как некоторый оператор, преобразующий пространство «j» в пространство«j» , или оператор, осуществляющий движение поворота и переноса вдоль осиO_iZ_i неко­торой системы координат O_iX_iY_iZ_i. Элементами этой матрицы в первых трех верхних строках трех левых столбцов являются косинусы углов между осями систем O_jX_jY_jZ_jи O_jX_jY_jZ_j . В верхних трех строках четвер­того правого столбца стоят координаты начала системы О_j, в системе O_jX_jY_jZ_j. В данном случае с_j, есть расстояние, на которое смещено на­чало О_jвдоль оси O_iZ_i. Эту матрицу в дальнейшем будем называть матрицей переноса и поворота вдоль оси OZ.

2. Матрица перемещения и поворота относительно осей ОХ и OY

Аналогично изложенному выше можно построить матрицы пере­мещений и поворотов детали относительно осей OY и ОХ.

Если система O_jX_jY_jZ_j смещена вдоль оси О_iX_i системы O_iX_iY_iZ_iна отрезокa_j и повернута вокруг этой оси на угол α_j,то матрица перехода от системы O_jX_jY_jZ_jк системе O_iX_iY_iZ_iбудет иметь вид

Эту матрицу будем называть матрицей переноса и поворота вдоль оси ОХ.

Если система O_jX_jY_jZ_jсмещена вдоль оси O_iY_iна отрезокb_jи по­вернута вокруг этой оси на угол β_jто матрица перехода будет иметь вид

Эту матрицу будем называть матрицей переноса и поворота вдоль оси O_iY_i.

Пример.

Проставить системы координат, составить таблицу кинематических пар и параметров, а также вычислить матрицы A_i, для манипу­лятора, кинематическая структура которого изображена на pис. 2, а.

Манипулятор имеет пять степеней свободы, которым соответствуют пять обобщенных координат: s₁, θ₂, s₃, θ₄, θ₅. Специальные системы отсчета выбраны в соответствии с указаниями и показаны на конструктивной схеме (рис. 2, б). Тип кинематических пар и значения параметров сведены в табл. 2.

Рис. 2. Кинематическая структура (а) и конструктивная схема (б) ПР

с системами координат звеньев

Таблица 2

Кинема­тическая пара	Тип пары	Номер звена	Параметры
			θ	α	s	a
0,1 1,2 2,3 3,4 4,5	Поступательная Вращательная Поступательная Вращательная »	1 2 3 4 5	0 θ2 0 θ4 θ5	0 -π/2 0 -π/2 -π/2	s1 s2 s3 s4 0	a1 a2 a3 a4 a5

В соответствии с этой таблицей (1) и формулой (2), определяем матрицы A_i:

Навык в составлении таблиц, подобных 1 совершенно необходим, поскольку такие таблицы исчерпывающим обра­зом описывают кинематические схемы манипуляторов и являются входной информацией для кинематического расчетана ЭВМ.