Контрольные вопросы

1. Поясните назначение выпрямительных устройств.

2. Укажите, какие требования предъявляются к диодам, исполь­зуемым в выпрямительных устройствах?

3. Назовите основные типы однофазных выпрямительных схем.

4. Объясните отличие однотактной схемы выпрямления от двух­тактной схемы.

5.Поясните принцип действия одно- и двухполупериодной схем вы­прямления.

6. Изобразите временные диаграммы напряжений и токов нагрузки одно- и двухполупериодной схем выпрямления без сглаживающего фильтра.

7.Назовите основные виды сглаживающих фильтров.

8.Поясните, в каких случаях целесообразно использовать индук­тивные, а в каких — емкостные фильтры или их сочетания.

9. Каково значение коэффициента пульсаций напряжения или тока исследуемых выпрямительных схем?

Лабораторная работа № 14 Переходные процессы в линейных электрических цепях

Цель работы: Исследование переходных процес­сов в линейных электрических цепях при наличии одного и двух накопителей энергии, установление влияния пара­метров исследуемой цепи на характер переходного про­цесса, приобретение навыков применения электронного осциллографа для исследования и измерения быстропротекающих периодических несинусоидальных электриче­ских величин.

Основные понятия

Наряду с установившимися режимами работы в ли­нейных электрических цепях имеют место электромаг­нитные переходные процессы, происходящие в этих цепях при переходе от одного установившегося режима к дру­гому.

Под действием периодических или постоянных ЭДС и напряжений переходные процессы в электрических це­пях возникают при включении и выключении цепи, а так­же при изменении одного или нескольких ее парамет­ров.

Переходные процессы в электрических цепях не могут протекать мгновенно, так как в установившемся режиме любая электрическая цепь характеризуется определен­ным запасом энергии электрических или магнитных по­лей элементов цепи. Поэтому в реальных электрических цепях токи и напряжения на отдельных участках не могут мгновенно менять свои значения.

Однако при пренебрежении магнитным или электрическим полем на том или ином участке электрической цепи, ввиду их незначительности, можно считать, что ток или напряжение на соответствующем участке цепи изменяется практически мгновенно. В соответствии с законами коммутации электрических цепей не могут мгновенно изменяться на конечное значение токи в катушках индуктивности (первый закон коммутации), однако напряжения на зажимах подобных катушек можно принять изменяющимися мгновенно, если пренебречь их электри­ческой емкостью.

В то же время не может мгновенно меняться на конечное значение напряжение на обкладках конденсаторов (второй закон коммутации), хотя, если пренебречь индук­тивностью конденсаторов, теоретически возможны мгновенные изменения токов в их цепях.

Переходные процессы в линейных электрических це­пях описываются линейными дифференциальными уравнениями, составленными по первому и второму законам Кирхгофа, которые могут быть сведены к одному уравнению для любого переходного тока или напряжения в цепи.

Решение неоднородного дифференциального уравнения классическим методом возможно в результате суммирования частного решения данного неоднородного уравне­ния и его общего решения при равенстве нулю свобод­ного члена, т. е. однородного дифференциального уравне­ния.

При этом решение однородного уравнения без свобод­ного члена описывает процессы, происходящие в электри­ческой цепи при отсутствии внешних источников питания, когда они происходят под действием энергии, накоплен­ной в электрическом и магнитном полях элементов.

В реальных электрических цепях происходит рассея­ние энергии, в результате чего запас накопленной в соот­ветствующих элементах цепи энергии со временем будет исчерпан и, следовательно, все электромагнитные процес­сы в цепи через определенный промежуток времени прек­ратятся.

С учетом этого можно утверждать, что переходящие или свободные составляющие i" и и" тока и напряжения, определяемые общим решением дифференциального од­нородного уравнения, стремятся к нулю.

В результате частного решения неоднородного диф­ференциального уравнения представляется возможным получить установившиеся или принужденные составля­ющие тока и напряжения i" и и" имеющие место при установившемся режиме, т.е. при законченном переход­ном процессе.

При протекании переходного процесса в электриче­ской цепи ток и напряжение можно записать как суммы: i=i’+i’’ и = и' + и". При интегрировании дифферен­циальных уравнений появляются постоянные интегри­рования, число которых определяется порядком соот­ветствующего уравнения. При определении постоянных интегрирования принимаются начальные условия, харак­теризующие состояние электрической цепи в соответству­ющий момент времени. При этом число начальных усло­вий равно числу постоянных интегрирования.

Переходные процессы в неразветвленной электриче­ской цепи с параметрами R, L и С описываются диффе­ренциальным уравнением для мгновенных значений на­пряжений, составленным по второму закону Кирхгофа для соответствующей цепи:

Ri + L+

После дифференцирования

L=

Для определения принужденной (установившейся) составляющей переходного тока, когда воздействующая функция u(t) постоянна или является периодической, не­обходимо найти его значение в установившемся режиме.

Для определения переходящей (свободной) составля­ющей тока переходного процесса находят решение диф­ференциального уравнения без свободного члена:

L=0

При этом соответствующее характеристическое урав­нение имеет вид:

Lp²+Rp+1/C=0

Корни этого уравнения:

p_1,2= ±

Свободная составляющая тока переходного процесса:

i’’(t)=A₁ + A₂

где е — основание натуральных логарифмов.

Постоянные интегрирования А₁ и А₂, входящие в уравнение, определяют, исходя из начальных условий

Ток переходного процесса:

i(t)=i’(t)+i’’(t)

Аналогично можно определить напряжение и другие электрические и магнитные величины на любом участке линейной электрической цепи в переходном режиме.

При включении электрической цепи с R и L под постоянное напряжение (рис. 4.1)

Рис.14.1. Схема включения электрической цепи

RL под постоянное напряжение

переходный процесс описывается дифференциальным уравнением, записанным по второму закону Кирхгофа (при переключении выключателя В из положения 1 в положение 2):

= u(i) = U

Характеристическое уравнение, соответству­ющее полученному дифференциальному уравнению, имеет вид

, где р = -R/L – корень характеристического уравнения.

Так как данное дифференциальное уравнение являет­ся уравнением первого порядка, то оно характеризуется единственным корнем.

С учетом этого выражение для свободной составля­ющей тока переходного процесса приводят к виду:

i’’(t)=A=A

Так как воздействующее на электрическую цепь напря­жение u(f) постоянно, значение принужденной составля­ющей тока цепи в переходном режиме оказывается равным его установившемуся значению: i' = U/R.

Ток в це­пи при переходном процессе:

i(t)=i’(t)+i’’(t)= U/R+ A

Постоянную интегрирования А определяют из началь­ных условий. Так как в цепи с индуктивностью ток не может измениться скачком, то при t= 0 ток в ней равен нулю:

i (0) = U/R + А = 0

Отсюда А = — U/R, тогда

i’’(t)=

С учетом этого выражение для тока переходного процесса приобретает вид:

i(t)=i’(t)+i’’(t)= -

Где τ=L/R — постоянная времени электрической цепи, равная промежутку времени, по истечении которого сво­бодная составляющая тока в цепи изменяется в e раз по сравнению со своим исходным значением.

Напряжение переходного процесса на индуктивности, уравновешивающее ЭДС самоиндукции, можно опреде­лить по уравнению:

u_L(t)=L

.

Рис.14.2. Временные зависимости тока в электрической цепи и

напряжения на индуктивности при переходном процессе

Во время переходного процесса ток в цепи постепенно возрастает от нуля, асимптотиче­ски приближаясь к своему установившемуся значению, равному U/R, в то время как напряжение на индуктив­ности, равное напряжению, U при t = 0, убывает, асимп­тотически приближаясь к нулю.

Постоянная времени электрической цепи может быть определена графически как длина подкасательной, про­веденной в любой точке к кривой, соответствующей рас­сматриваемой показательной функции времени (рис. 14.2).

При коротком замыкании RL-цепи, присоединенной к источнику постоянного напряжения U

(см. рис. 14.1) выключатель В из положения 2 перебрасывается в положение 3, в цепи возникает переходный процесс, обусловленный наличием запаса энергии в магнитном поле тушки с индуктивностью L.

Происходящий в короткозамкнутом контуре R — L процесс характеризуется свободным током, так как принужденный (установившийся) ток при этом оказывает равным нулю (i' = 0).

В результате ток переходного процесса в данном случае определяется его свободной составляющей:

i(t)=i’’(t)=AA

Постоянную интегрирования определяют, исходя из условия, что до момента короткого замыкания ток в цепи:

i(0)=I=U/R=A

С учетом этого ток переходного процесса:

i(t)=i’’(t)=

Из временной зависимости тока в переходном процессе (рис. 14.3) следует, что ток в электрической цепи уменьшается по экспоненциальной зависимости от значения, равного U/R в момент короткого замыкания при t = 0, до нуля — в конце переходного процесса.

Рис.14.3. Временные зависимости тока в электрической цепи

и напряжения на индуктивности при переходном процессе

По аналогичной зависимости изменяется в данной цепи и напряжение на индуктивности:

u_L(t)=)=-U

При включении RС-цепи (рис. 14.4) под постоянное напряжение u(t) = U (выключатель В устанавливается при этом из положения 1 в положение 2) принято, что к моменту включения (t = 0) конденсатор не был заряжен (u_с = 0).

Рис.14.4. Схема включения электрической цепи

RC под постоянное напряжение

В соответствии с этим, исходя из уравнения электрического равновесия для мгновенных напряжений, записанного по второму закону Кирхгофа для рассмат­риваемой RС-цепи при t ≥ 0, имеем Ri + и_с = u(t) = U. Ток в рассматриваемой цепи можно представить через емкость конденсатора С и изменение напряжения на его обкладках:

i=C

В результате дифференциальное уравнение цепи приводят к виду:

R C

Данному дифференциальному уравнению соответст­вует характеристическое уравнение

RCp + 1=0, где р— корень характеристического уравнения р = -1/RC.

Решение дифференциального уравнения без свобод­ного члена относительно напряжения на конденсаторе позволяет определить свободную составляющую этого напряжения:

(t)=A

В свою очередь, напряжение и'_с на обкладках конден­сатора в установившемся режиме определяют в резуль­тате частного решения соответствующего дифферен­циального уравнения электрической цепи. В установив­шемся режиме ток в цепи i'(t) = 0, следовательно,

u'c(f) = u(t) = U

Напряжение на конденсаторе во время переходного процесса:

u_c(t)=(t)+(t)=U+

Постоянная интегрирования А находится из началь­ных условий. Напряжение на конденсаторе до включения равнялось нулю и_с(0) = 0, так как к моменту включения цепи конденсатор не был заряжен. Тогда и_с(0) = U + А = 0, откуда

A=—U и (t)=-U

Tаким образом, временная зависимость напряжения на обкладках конденсатора во время переходного процес­са определяется уравнением:

u_c(t)=U-U=U(1-)=U(1-)

где τ = RC — постоянная времени, равная промежутку времени, по истечении которого напряжение в цепи из­меняется в е раз по сравнению со своим исходным зна­чением.

Ток в цепи при переходном процессе:

i(t)=i’(t)+i’’(t)= C+ C= 0+

где i’(t)=0 , i’’(t)= и i(t)=

Анализ полученных временных зависимостей напря­жения на конденсаторе и тока в RС-цепи во время переходного процесса (рис. 14.5) показывает, что с течением времени напряжение на конденсаторе возрастает, стре­мясь к установившемуся своему значению, равному U, а ток убывает от значения, равного U/R до нуля.

При этом изменение напряжения на конденсаторе и тока в цепи при переходном режиме происходит тем i быстрее, чем меньше постоянная времени цепи τ = RC.

Короткое замыкание неразветвленной RС-цепи, ранее находившейся под постоянным напряжением U = const, осуществляется переключением выключателя В из положения 2 (в момент времени t= 0) в положение 3 (рис. 14.4).

Рис.14.5. Временные зависимости напряжения на

конденсаторе и тока в RC-цепи во время переходного процесса

Электромагнитные процессы в рассматривае­мой электрической цепи с момента ее замыкания проис­ходят за счет энергии, сосредоточенной ко времени t = 0 в электрическом поле конденсатора. Эта энергия, рав­ная Cв течение переходного процесса преобразует­ся в теплоту, рассеиваемую резисторомR.

Для установившихся значений тока в RС-цепи и на­пряжения на обкладках конденсатора при переходном ре­жиме i(t) = 0, u'_c(t) = 0.

При этом свободные составляющие тока в цепи и на­пряжения на конденсаторе:

i’’(t)= =

Ток в цепи и напряжение на обкладках конденсатора в переходном режиме выражаются уравнениями:

i(t)=i’(t)+i’’(t)=

=

Постоянная интегрирования А находится из началь­ных условий, так как при t = 0 напряжение на обклад­ках конденсатора равно U, т. е. и_с(0) =U = A.

Тогда для переходных значений тока и напряжения на конденсаторе справедливы уравнения:

i(t)= и =U

Временные зависимости для тока и напряжения на обкладках конденсатора во время переходного процесса представлены на рис. 14.6, из которого видно, что напря­жение и ток при коротком замыкании RС-цепи убывают по экспоненциальным зависимостям в соответствии с пос­тоянной времени τ = RC -цепи.

При расчете переходных процессов в линейных раз­ветвленных электрических цепях для определения токов в отдельных ветвях и напряжений на участках цепи запи­сывается соответствующее число уравнений, составлен­ных по первому и второму законам Кирхгофа.

Рис.14.6. Временные зависимости для тока и напряжения на

обкладках конденсатора во время переходного процесса

При этом при составлении характеристического уравнения не обя­зательно приводить систему уравнений к одному уравне­нию относительно одной неизвестной функции.

Система однородных дифференциальных уравнений, записанных для свободных составляющих токов в ветвях разветвленной цепи, записывается в виде соответству­ющей системы алгебраических уравнений и в отличие от исходной системы не содержит производных и интегралов. В этой системе уравнений производные свободные составляющей тока di"/dt заменяются символом рi".

Интеграл от этого тока ∫i"dt— символом i"/p (p — корень характеристического уравнения — показатель затухания, одинаковый для всех свободных составляющих токов цепи).

Действительно, если i" = Ае^{р t} то производная от свободного тока di"/dt = d(Aе^pt)/dt = рАе^pt = pi"

а интеграл ∫i"dt = ∫Ae^ptdt = Ae^pt/p = i"/p. Постоянная интегрирования при этом оказывается равной нулю, так свободные составляющие не содержат не зависящих времени слагаемых. Подобный переход от системы линейных дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений, называемый алгебраизацией системы дифференциальных уравнений, для свободных токов значительно упрощает составление характеристического уравнения. Из полученной системы алгебраически уравнений составляют затем определитель _∆(р), который должен равняться нулю, так как данная система уравнений имеет решение, отличное от нулевого, если определитель системы равен нулю.

Выражение _∆(р)= 0 и будет характеристическим уравнением, в котором единственным неизвестным является его корень р. Для составления характеристически го уравнения системы однородных дифференциальных уравнений (уравнений без свободного члена) может быть использован и другой прием. Записывается выражение входного комплексного сопротивления Z(јϖ) для соответствующей цепи, в котором јϖ заменяют символом p. Полученное обобщенное комплексное сопротивление Z(p) приравнивают нулю. Уравнение Z(p) = 0 и будет характеристическим уравнением рассматриваемой цепи.

Число корней характеристического уравнения определяется его степенью.

Для характеристического уравнения второй степени число корней равно двум. При этом они могут быть: действительными, неравными, отрицательными, действительными, равными, отрицательными комплексными, сопряженными, с отрицательной действительной частью.

Таким образом, если характеристическое уравнение! имеет n корней, общее решение системы однородных дифференциальных уравнений имеет вид:

i’’(t)=

где р_к — корни характеристического уравнения; А_к постоянные интегрирования.

При двух действительных неравных корнях:

i’’(t)=A₁ + A₂

Для нахождения постоянных интегрирования необхо­димо решить систему уравнений для искомого свободного тока i"(t), соответствующих моменту времени t = 0. В ка­честве недостающих (п — 1) уравнений используют урав­нения, полученные путем (п — 1)-кратного дифференци­рования уравнения для свободного тока i"(f).

Совместное решение этих уравнений позволяет опре­делить все входящие в выражение свободного тока пос­тоянные интегрирования. Для характеристического урав­нения второго порядка, корни которого действительные и неравные, выражение свободного тока:

i’’(t)=A₁ + A₂

Первая производная от свободного тока:

di’’/dt=p₁A₁ + p₂A₂

При t = 0 имеем систему уравнений, из которых опреде­ляют постоянные интегрирования А₁ и А₂:

i’’(0)=A₁+A₂ di’’/dt(0)= p₁A₁ + p₂A₂

В полученной системе уравнений i’’(0) , di’’/dt(0) и кор­ни р₁ и р₂ известны, их можно определить для любой электрической цепи, используя законы Кирхгофа и зако­ны коммутации. Совместное решение уравнений позво­ляет получить значения постоянных интегрирования

A₁=

A₂=i’’(0) - A₁

Если характеристическое уравнение имеет два дей­ствительных отрицательных равных корня

р₁=р₂=-а, то решение уравнения приводят к виду:

i’’(t)= A₁ + A₂=( A₁+ A₂

Если корни характеристического уравнения комплексные сопряженные р₁ = - а + jb и р₂ = -а - jb, то i"(t) =Ae^-atsin(bt-γ)

Полученное выражение для свободной составляющей тока переходного процесса рассматриваемой цепи соответствует затухающему гармоническому колебанию (рис. 14.7) с угловой частотой ϖ_o = b = 2π/T и начальной фазой, равной γ.

Рис.14.7 Затухающая свободная составляющая тока.

Огибающая затухающего колебательного процесса определяется кривой вида Ae^-at. Величины А и γ определяются значениями параметров рассматриваемой цепи, начальными условиями и значением напряжений источника питания.

При этом значения угловой частоты свободных колебаний ϖ_o = b и коэффициент затухания

а = δ зависят только от параметров цепи после коммутации. Их определяют из выражений для корней характеристического уравнения.

Соответственно А и γ находят по значениям i"(0) и di"(0)/dt, т.е. из уравнений:

i’’(0)=Asinγ di"(0)/dt=-A δsinγ+A ϖ_ocos γ

Переходные процессы широко используются в электронной и импульсной технике для генерирования сину­соидальных электрических колебаний (генераторы типа RC и LC) и получения электрических колебаний специальной формы (генераторы прямоугольных, пилообразных и других колебаний).