Задача № 2.7
Параметры схемы, показанной на рис. 2.7, а, приведены в таблице 2.7. Значения ЭДС и сопротивлений электрической цепи заданы в комплексной форме. Принять, что значение Zi = ni +jti, а угловая частота синусоидальных источников ЭДС равна = 2f = 314 рад/с.
С учетом параметров схемы определить:
действующие и комплексные значения токов всех ветвей электрической схемы, пользуясь методами: применения законов Кирхгофа, узлового напряжения (двух узлов);
составить баланс активной и реактивной мощности источников и приемников энергии;
записать выражения оригиналов (для мгновенных значений) ЭДС, неизвестных токов и напряжения Uас;
ток İ2, используя метод эквивалентного генератора;
построить векторную диаграмму токов и напряжений искомой электрической цепи (в одном масштабе на одном рисунке).
Рис. 2.7. Схемы (а,б,в) и векторные диаграммы токов и напряжений (г) к задаче № 2.7
Этапы решения задачи № 2.7
Для электрической схемы, соответствующей номеру варианта, выполнить следующие этапы расчета.
1. Зарисовать схему и записать задание, соответствующее номеру варианта (рис. 2.7, а; табл. 2.7).
2. Определить (рассчитать) параметры цепи.
3. Комплексное значение ЭДС Ė1 представляется в виде:
Ė1 = 100 + j0 = 100e j0 В.
4. Комплексное значение ЭДС Ė2 представляется в виде:
Ė2 = 0 + j0 = 0 В.
5. Комплексное значение ЭДС Ė3 представляется в виде:
Ė3 = 0 j100 = 100ej90 В.
6. Комплексное сопротивление Z1 представляется в виде:
Z1 = 7 + j24 = 25e j73,74 Ом.
Таблица 2.7
Задание к задаче 2.7
|
Параме- тры |
Последняя цифра номера зачетки |
Пример | |||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
| |||||||||||||||||||||||
|
Ė1, В |
80j |
90 |
100 |
110j |
120 |
110 |
90j |
80 |
60 |
50j |
100 | ||||||||||||||||||||||
|
Ė2, В |
40 |
50j |
60 |
70 |
80j |
90 |
80 |
70j |
60 |
50 |
0 | ||||||||||||||||||||||
|
Ė3, В |
90 |
80 |
70j |
60 |
50 |
40j |
60 |
70 |
50j |
60 |
100j | ||||||||||||||||||||||
|
|
Предпоследняя цифра номера зачетки |
| |||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
| |||||||||||||||||||||||
|
n |
t |
n |
t |
n |
t |
n |
t |
n |
t |
n |
t |
n |
t |
n |
t |
n |
t |
n |
t |
n |
t | ||||||||||||
|
Z1, Ом |
17 |
-8 |
16 |
-7 |
15 |
9 |
14 |
11 |
13 |
13 |
12 |
15 |
11 |
17 |
10 |
19 |
9 |
20 |
8 |
22 |
7 |
24 | |||||||||||
|
Z2 Ом |
15 |
10 |
16 |
9 |
17 |
8 |
18 |
7 |
19 |
6 |
20 |
5 |
21 |
4 |
22 |
3 |
23 |
2 |
24 |
1 |
25 |
0 | |||||||||||
|
Z3 Ом |
17 |
-8 |
16 |
-7 |
15 |
-9 |
14 |
-11 |
13 |
-13 |
12 |
-15 |
11 |
-17 |
10 |
-19 |
9 |
-20 |
8 |
-22 |
7 |
-24 | |||||||||||
7. Комплексное сопротивление Z2 представляется в виде:
Z2 = 25 + j0 = 25e j0 Ом.
8. Комплексное сопротивление Z3 представляется в виде:
Z3 = 7j24 = 25ej73,74 Ом.
9. Определение токов в ветвях различными методами.
10. Метод с использованием законов Кирхгофа предполагает составление уравнений по I и II законам Кирхгофа.
11. Определяем положительные направления токов в ветвях cda, cea, cba (рис. 2.7, а).
12. Записываем уравнение по I закону Кирхгофа для комплексных токов в узле а : İ1 İ2 +İ3 = 0. (1)
13. Выбираем положительное направление обхода выделенных контуров аесda и abсеa по часовой стрелке.
14. Записываем уравнение по II закону Кирхгофа для контура аесda:
Ė2 + Ė1 = İ1Z1 + İ2Z2. (2)
15. Записываем уравнение по II закону Кирхгофа для контура аbcеa:
+Ė2 Ė3 = İ3Z3 İ2Z2 . (3)
16. Из (1) выражаем İ3 и подставляем в (2):
İ1 = İ3 + İ2; (4)
Ė1 = (İ3 + İ2)Z1 + İ2Z2 + Ė2 = İ3Z1 + İ2(Z2 + Z1) + Ė2. (5)
17. Упростим (5), учитывая, что в данном варианте Ė2 = 0:
Ė1 = İ3Z1 + İ2(Z2 + Z1). (6)
18. Из (6) выражаем İ3
İ3 = [Ė1 + İ2(Z2 + Z1)]/Z1 . (7)
19. Из (3) выражаем İ3: İ3 = (Ė3 İ2Z2)/Z3 . (8)
20. Объединяя (7) и (8), выражаем Ė1
[Ė1 + İ2(Z2 + Z1)]/Z1 = (Ė3 İ2Z2)/Z3; (9)
Ė1 = (Ė3 İ2Z2)Z1/Z3 + İ2(Z2 + Z1); (10)
Ė1 = Ė3Z1/Z3 + İ2(Z2 + Z1 + Z2Z1/Z3). (11)
21. Из (11) выражаем İ2: İ2 = (Ė1 + Ė3Z1/Z3)/(Z2 + Z1 + Z2Z1/Z3). (12)
22. В выражение (12) подставляем комплексные значения ЭДС, сопротивлений ветвей, и, преобразуя, находим İ2:
İ2 = 3,179 j3,179 = 4,4965еj45 A. (13)
23. Используя (13) определяем İ3 с учетом (7):
İ3 = 0,1026 j3,282 = 3,284еj91,79A. (14)
24. Используя (14) определяем İ1 с учетом (1):
İ1 = 3,282 + j0,1025 = 3,284е j1,79A. (15)
Примечание к пп. 1-24: решение уравнений (1)-(3) может быть найдено с помощью анализа и использования матриц коэффициентов.
25. Комплексное напряжение Ů1:
Ů1 = İ1Z1; Ů1= 82,09e j75,5 = 20,51 + j79,49 В.
26. Комплексное напряжение Ů2:
Ů2 = İ2Z2; Ů2 = 112,41ej45 = 79,49 j79,49 В.
27. Комплексное напряжение Ů3:
Ů3 = İ3Z3; Ů3= 82,09ej165,5 = 79,48 j20,51 В.
28. Определение токов в ветвях методом узлового напряжения (метод двух узлов).
29. Для определения напряжения между точками а и с используем метод двух узлов, согласно которому
Ůaс = (Ė1Y1 + Ė2Y2 + Ė3Y3)/(Y1 + Y2 + Y3), (16)
где Y1 , Y2, Y3 комплексные проводимости ветвей.
30. Проводимость Y1: Y1 = 1/Z1; Y1 = 0,04ej73,74 = 0,0112 − j0,0384 Cм.
31. Проводимость Y2: Y2 = 1/Z2; Y2 = 0,04e j0 = 0,04 − j0 Cм.
32. Проводимость Y3; Y3 = 1/Z3; Y3 = 0,04e j73,74 = 0,0112 + j0,0384 Cм.
33. Напряжение Ůaс между точками а и с (вектор Ůaс направлен от а к с) (по 16): Ůaс= 112,41еj45 = 79,49 − j79,49 В.
34. Рассчитываем токи в ветвях с учетом направлений токов и действующих ЭДС.
35. Определяем İ1: İ1 = (Ė1− Ůaс)/Z1; İ1= 3,282 + j0,1025 = 3,28е j1,79A.
36. Определяем İ2: İ2 = (Ůaс - Е2) / Z2; İ2 = 3,179 j3,179 = 4,496е j45 A.
37. Определяем İ3: İ3 = (Ė3 − Ůaс)/ Z3;
İ3= 0,1025 j3,28 = 3,283еj91,8A.
38. Определение токов в ветвях методом эквивалентного генератора. Метод предполагает, что в ветви, содержащей искомый ток, имеется разрыв, так что между точками а и с приложено напряжение холостого хода Ůхх.
39. Исследуем схему (рис. 2.7, а), размыкая ветвь aec (разрыв между точками а и с), получаем схемы (б, в).
40. Согласно этапам метода с учетом выбранных положительных направлений токов, напряжения Ůхх и ЭДС, необходимо определить:
определить ЭДС эквивалентного генератора, равное напряжению холостого хода Ėген= Ůхх;
внутреннее сопротивление эквивалентного генератора Zген как входное сопротивление цепи с разрывом;
ток в искомой ветви, равный: İ2 = (Ėген - Ė2)/(Zас + Z2). (17)
41. Рассчитываем Ėген = Ůхх, используя метод двух узлов аналогично (16): Ůхх =(Ė3Y3 + Ė1Y1)/(Y1+ Y3); Ėген=Ůхх = 313,15еj45 = 221,42 j221,42 В.
42. При этом режиме входная проводимость Yэкв цепи:
Yэкв = Y1 + Y3; Yэкв = 0,0224е j0 = 0,0224 + j0 См.
43. Внутреннее сопротивление генератора Zген:
Zген = 1/Yэкв; Zген = 44,64е j0 = 44,64 + j0 Ом.
44. Для схемы с эквивалентным генератором, приведенной на рис. 3.7, в, рассчитываем по (17) İг = İ2 (с учетом, что в варианте Ė2 = 0):
İг = İ2 = (Ėген Ė2)/(Zген + Z2); İг = İ2 = 4,496ej45 == 3,179 j3,179 А.
45. Сравнивая результаты расчета, делаем вывод, что значения токов, полученные различными методами, идентичны друг другу.
46. Для построения векторной диаграммы необходимо учесть значения и направления векторов комплексных токов и напряжений (рис. 2.7, г).
47. Составление баланса мощностей.
48. Комплексная полная мощность S1 источника Ė1:
S1 = Ė1I1*; S1 = 100e j03,28е −j1,79 = 328,37e j1,79 = 328,21 j10,26 ВА.
49. Комплексная полная мощность S2 источника Ė2:
S2 = Ė2I2*; S2 = 0 ВА.
50. Комплексная полная мощность S3 источника Ė3:
S3 = Ė3I3*; S3 = 328,37e j1,79 = 328,21 + j10,26 ВА.
51. Активная составляющая мощности источников:
Рист = ReSi; Рист = 656,41 Вт.
52. Реактивная составляющая мощности источников
Qист = ImSi; Qист = 0 вар.
53. Активная мощность потребителей
Pпот = Ii2ReZi; Pпот = 3,2827 +4,5225+3,2827 = 656,41 Вт.
54. Реактивная мощность потребителей:
Qпот= Ii2ImZi; Qпот= 3,282·24 + 0 – 3,282·24 = 258,8 + 0 258,8 = 0 вар.
55. Сравнивая результаты расчета, делаем выводы:
суммы активных мощностей источников и потребителей равны;
суммы реактивных мощностей источников и потребителей равны
56. Запись оригиналов ЭДС, токов и напряжений.
57. Оригинал e1(t): e1(t) = Em1sin(t + 1); e1(t) = 141,4 sin(314t) В.
58. Оригинал e2(t): e2(t) = Em2sin(t + 2); e2(t) = 0 В.
59. Оригинал e3(t): e3(t) = Em3sin(t + 3); e3(t) = 141,4sin(314t 90o) В.
60. Оригинал i1(t): i1(t) = Im1sin(t + i1); i1(t) = 4,64sin(314t + 1,79 o) A.
61. Оригинал i2(t): i2(t) = Im2sin(t + i2); i2(t) = 6,36sin(314t 45 o) A.
62. Оригинал i3(t): i3(t) = Im3sin(t + i3); i3(t) = 4,64sin(314t91,79 o) A.
63. Оригинал uxx(t):
uxx(t) = Umxxsin(t + i2); Uxx(t) = 442,8sin(314t 45o) В.
Примечание: решение уравнений (1)-(3) может быть найдено с помощью анализа и использования матриц коэффициентов.