elemen_teorija

см. в этой связи (1.3.1). Из определений легко следует, что

Всвою очередь, из последнего свойства получаем, что

| α|

β = | β| α R β R \ {0}.

Сучетом того, что ] − ∞, 0[ [ 0, ∞[= R и ] − ∞, 0[ ∩ [ 0, ∞[= , введем следующее традиционное определение: полагаем, что sgn RR, т. е.

При проверке (1.3.11) следует рассмотреть отдельно случаи, когда исходное значение — аргумент функции sgn — строго отрицательно и, напротив, неотрицательно. В дальнейшем активно используется понятие ограничений в/з функции. Вообще, как уже отмечалось, для всякого множества X RX есть множество всех в/з функций из X в R или множество всех функционалов на X; тогда

есть множество всех ограниченных в/з функций на X. В частности,

B(N ) = {(ξi)iN RN | c [ 0, ∞[: | ξj| 6 c j N }

40

есть множество всех ограниченных в/з последовательностей (подчеркнем, что всякая последовательность есть функция, определенная на N ). Возвращаясь к (1.2.1), (1.2.2), отметим традиционное соглашение, касающееся обозначения образа произвольного множества натуральных чисел при действии той или иной последовательности: если X — множество и (xi)iN

(напомним, что f(j) = xj при j N ). В дальнейшем соглашения (1.2.2), (1.3.13) будут использоваться без дополнительных оговорок.

Коль скоро N R, то при всяком выборе n N имеем свойство: n не является множеством (напомним, что данное соглашение вызвано только соображениями, связанными с исключением двусмысленности в традиционных обозначениях). В этой связи используем традиционное соглашение: если T — множество и n N , то полагаем, что

итак, T n (1.3.14) есть множество всех отображений (ti)i 1,n : 1, n −→ T. Разумеется, в качестве T можно использовать семейство. В этой связи отметим традиционное соглашение: если Y — семейство, n N и (Yi)i 1,n Yn, то

(см. в этой связи (1.2.19), (1.1.30), (1.1.33)). Итак, в (1.3.15) речь идет об объединении, пересечении и произведении всех множеств Yi, i 1, n.

(см. (1.2.1), (1.2.2)). При этом, конечно, имеет место следующее свойство: если m N и (xi)i 1,m Rm, то

и потому определены значения точных верхней и нижней граней:

( ) ( ) sup({xi : i 1, m}) R & inf({xi : i 1, m}) R .

41

Более того, с использованием индукции легко проверяется, что для всяких

n N и (xi)i 1,n Rn

( )

p 1, n : sup({xi : i 1, n}) = xp &

( )

& q 1, n : inf({xi : i 1, n}) = xq .

( )

Если (yi)i N RN и m N , то (yi)i 1,m = (yi)i N | 1, m Rm; иными

словами, сужение последовательности в R на 1, m есть кортеж в R «длины» m, т. е., по сути дела, m−мерный вектор. С учетом (1.3.8) и (1.3.16) получаем вложение

Как следствие, имеем из (1.3.17) при (xi)i N (FUND)[R] и m N свойство (см. (1.3.13))

С ростом m значение, указанное в (1.3.18) первым, не убывает, а значение, указанное вторым, не возрастает. В дополнение к сказанному отметим, что при всяком выборе последовательностей (ai)i N RN и (bi)i N RN ис-

тинна следующая импликация

(

(aj 6 bj j N ) & (ak 6 ak+1 k N ) & (bs+1 6 bs s N ) &

Равенство (1.3.19) характеризует важное свойство полноты R, которое будет использовано при построении интеграла.

Полагаем далее известным понятие степени произвольного вещественного числа: если x R, то последовательность

(xk)k N : N −→ R

42

Кроме того, при x R\{0} и k No непременно xk R\{0} (проверяется

Как следствие, получаем при x R, y R \ {0} и k N

Конечные суммы. Каждому натуральному числу n N и кортежу (xi)i 1,n Rn (т. е., по сути дела, n−мерному вектору) сопоставляется (конечная) сумма

∑k

xi R

i=1

всех чисел x1, . . . , xk. (вместо i может использоваться ПБ). При этом выполняются следующие хорошо известные соотношения:

С использованием математической индукции и (1.3.20) легко проверяются следующие известные свойства конечных сумм (мы не стремимся здесь к перечислению всех свойств; ограничиваемся нужными в дальнейшем):

1) если k N и (xi)i 1,k Rk, то

(∑k )

(xj = 0 j 1, k) = xi = 0 ;

i=1

43

2) если k N , (xi)i 1,k Rk и j 1, k, то

Отметим еще одно полезное и хорошо известное свойство, полагая, что

Пn = (bi)[ 1, n; 1, n ] n N .

Речь идет об изменении порядка суммирования. Если n N , (xi)i 1,n Rn

и l Пn, то

(xl(i))i 1,n Rn

и справедливо следующее равенство конечных сумм

Свойство (1.3.21) оказывается полезным при рассмотрении операции суммирования на конечных множествах, свойства которой совсем кратко будут изложены в следующем разделе.

44

§1.4. Конечные и счетные множества, разбиения, двойные суммы

. В настоящем разделе приведена краткая сводка некоторых свойств конечных множеств, т. е. множеств, элементы которых можно перенумеровать отрезком натурального ряда вида 1, n, где n N . К конечным традиционно относят также пустое множество . Итак, множество K называем конечным, если K = , либо

Следовательно, непустое конечное множество есть такое множество K, для которого выполняется (1.4.1). Более того, если K — непустое конечное множество, то !n N : (bi)[1, n; K] ≠ . Как следствие, корректно следующее

Определение 1.4.1. Если K — непустое конечное множество, то | K| N есть такое единственное число, что

(bi)[1, |K|; K] ≠ .

Отметим, что при наших предположениях |K| нельзя истолковать как модуль вещественного числа, чем исключается двусмысленность в обозначениях такого рода. Мы называем |K| — количеством элементов (мощностью) множества K. Легко видеть (см.(1.2.18)), что для всяких непустых конечных множеств P и Q

(P s Q) (|P | = |Q|).

С (1.3.21) можно связать следующее очевидное свойство: если K — непустое конечное множество и f RK, то

∑|K|

!c R : c = (f ◦ l)(j) l (bi)[1, |K|; K].

j=1

С учетом этого свойства введем следующее определение неупорядоченной

конечной суммы: если K — непустое конечное множество и f RK, то

∑

f(k) R

k K

45

(вместо k можно использовать ПБ) есть такое единственное число, что

∑∑|K|

f(k) = (f ◦ l)(j) l (bi)[1, |K|; K].

k K j=1

Для функций, определяемых индексно, имеем представление: если K — непустое конечное множество и (αk)k K RK, то

∑

k K

есть такое единственное число, что l (bi)[1, |K|; K]

∑∑|K|

αk = αl(j). (1.4.3)

k K j=1

Свойства сумм (1.4.2), (1.4.3) повторяют свойства упорядоченных конечных сумм, рассматриваемых в предыдущем разделе: если K — непустое

Если A — множество, то через Fin(A) обозначаем семейство всех непу-

46

(FIN)[A] = Fin(A) { } — семейство всех конечных п/м A. Если n N , то Fin(1, n) = P′(1, n) Fin(N ). Если X и Y — множества, то

P × Q Fin(X × Y ) P Fin(X) Q Fin(Y ).

Отметим практически очевидное свойство аддитивности неупорядоченных конечных сумм: если A — непустое множество, (xα)α A RA, P Fin(A)

и Q Fin(A), то

(разумеется, вместо α можно использовать ПБ). Полезно учитывать тот факт, что для всякого непустого конечного множества K непременно K Fin(K) и, кроме того (см. (1.4.4), (1.4.5)) P′(K) = Fin(K).

Разбиения. Если A — множество, H — семейство и B — непустое множество, то полагаем, что

разбиения); B = 1, n при n N (конечные разбиения). Итак, если A — множество и H — семейство, то

{

N

∆∞[A; H] = (PART)[A | H; N ] = (Hi)iN H | (A = Hi) &

iN

iN

есть множество всех счетных H — разбиений множества A. В частности,

( )

имеем следствие: если X — множество, X P′ P(X) и Y P(X), то

47

Аналогичным образом имеем, что для всякого множества A, семейства H и числа n N

{ }

= (Hi)i 1,n Hn | (A = Hi) & (Hp ∩ Hq = p 1, n q 1, n \{p})

i=1

есть множество всех (конечных) H−разбиений множества A, имеющих

Разбиения, являющиеся элементами множеств, подобных (1.4.8) и (1.4.9), будем широко использовать в конструкциях теории меры. Сейчас отметим только одно простое свойство, проверяемое с использованием математиче-

ипри этом справедливо следующее равенство

∑∑n ∑

в правой части (1.4.11) рассматривается сумма всех компонент кортежа (1.4.10), т. е. (по существу) сумма всех компонент n−мерного вектора (1.4.10).

48

В свою очередь, с учетом (1.4.11) легко проверяется следующее хорошо известное свойство двойных сумм: если p N , q N и f R1,p ×1,q, то

В дальнейшем часто используется «индексная версия» (1.4.12), в которой будем использовать традиционное соглашение: если m N и n N , то выражение

(ai,j)(i,j) 1,m×1,n

(вместо a, i и j могут использоваться ПБ) используется для обозначения функции

с выделением отдельных компонент упорядоченных пар из 1, m×1, n; если теперь обозначить функцию (1.4.13) через f, то

f(i, j) = ai,j i 1, m j 1, n.

Иными словами, мы просто опускаем скобки в индексе: для m N , n N и отображения (1.4.13) полагаем, что

Данное соглашение подобно (1.1.36); разумеется, (1.1.36) и (1.4.14) используют обычно без дополнительных оговорок. Возвращаясь к (1.4.12) отметим, что для всяких натуральных чисел m N , n N и двойной конечной последовательности

(ai,j)(i,j) 1,m×1,n R1,m×1,n

непременно справедливо равенство

Отметим один естественный аналог (1.4.12), (1.4.15): если A и B — непустые конечные множества, то для непустого конечного множества A × B

49