elemen_teorija

Мы установили, следовательно, важное свойство: если X и Y — множества, то Y X есть множество всех функций f со свойствами (1.1.21), т. е. Y X есть множество, для которого:

1)при всяком выборе f Y X имеем, что f — функция в смысле (1.1.16)

ипри этом верно (1.1.21);

2)для любой функции f (см. (1.1.16)), удовлетворяющей условиям (1.1.21), непременно имеет место f Y X .

Функции из множества Y X называем также отображениями (операторами) из X в Y ; если f Y X , используем также обозначение

f : X −→ Y.

Заметим также, что в случае f Y X и x X определено (см. (1.1.21)) значение f(x) Im(f) функции f в точке x, для которого справедливо (1.1.17); с учетом (1.1.19) и (1.1.21) получаем теперь, что f(x) Y есть единственный элемент множества Y, для которого справедливо (1.1.17). Итак, общее понятие функции (см. [19]) хорошо согласуется с более традиционным определением функции как правила, сопоставляющего точке одного множества единственный элемент другого; последнее определение извлекается из (1.1.19).

В связи с конструкциями основной части работы нам потребуется также т. н. индексная форма записи функций. Речь идет о способе задания функций посредством перечисления ее значений. В этой связи отметим, что до сих пор мы определяем функцию как некое целое, а значение ее в отдельных точках получались как характеристики этого целого. Общее определение [19], реализуемое посредством (1.1.16), позволяет при этом для функций из множества (1.1.19) определять значения и использовать для них соответствующие обозначения без указания зависимости от Y в тех «пределах» для которых рассматриваемая функция оказывается п/м X × Y. С практической точки зрения оказывается зачастую удобнее определить функцию в терминах перечисления ее значений , т. е. в виде правила. Мы приведем ниже соответствующее определение, отметив сначала очевидный признак равенства двух функций: если X и Y — множества, f Y X и g Y X , то

Индексная форма записи функции. Пусть X и Y — множества; кроме того, пусть

20

Тогда через (yx)x X обозначаем единственную (см. (1.1.23)) функцию f Y X , для которой f(x) = ax x X. Разумеется, в выражении (ax)x X

Замечание 1.1.1. В последнем определении полагаем, что (см.(1.1.24)) элементы yx, x X, нам каким-то образом уже известны. Следовательно, при x X мы располагаем точкой (x, yx) X × Y. При этом молчаливо предполагается (постулируется), что совокупность всех таких точек при переборе x X составляет множество. Мы не будем здесь входить в рассмотрение этого вопроса на строгом уровне, считая процедуру «соединения» в единую функцию f элементов (1.1.24) вполне законной. Такое «соединение» можно в принципе при условиях (1.1.24) реализовать в следующем виде

f = {z X × Y | x X : z = (x, yx)}.

Мы полагаем, однако, конструктивное задание функций в виде правила

x 7→− yx : X −→ Y

(такую операцию будем неоднократно использовать в дальнейшем) предпочтительным с точки зрения применений в конкретных построениях. Более того, мы будем использовать сочетание индексно определяемых функций с кванторами, допуская, следовательно, появление выражений вида

(yx)x X , (yx)x X , !(yx)x X ;

эти соглашения оказываются особенно удобными при работе с последова-

Отметим совсем кратко два важных преобразования функций: суперпозицию и сужение. Имеем в виду при этом, что каждая функция является отношением. Поэтому к функциям применимы все правила работы с отношениями. В частности, можно использовать (1.1.15), получая в результате отношение. Однако справедливо, как уже отмечалось, более сильное свойство: если даны две функции, то их суперпозиция также является функцией; см. в этой связи (1.1.18). Применяя это свойство к функциям из множеств вида (1.1.19), получаем после несложных рассуждений, что для всяких множеств X, Y, Z, а также функций g Y X и h ZY

21

(сужение f на E) есть, как легко видеть, функция; для этой функции

( )

Dom (f | E) = E. Это позволяет для точек множества E определять зна-

Как следствие, мы получаем теперь (см. (1.1.21)) свойство: если X и Y — множества, f Y X и E P(X), то

(f | E) Y E

и при этом справедливо (1.1.26).

Если f — функция и z f, то в силу (1.1.16), (1.1.17) имеем pr (z)

( ) 1

Dom(f) и pr2(z) = f pr1(z) Im(f). С другой стороны, если при упомянутых условиях y Im(f), то (y = pr)2(z) для некоторой упорядоченной пары z f и, стало быть, y = f pr1(z) , где pr1(z) Dom(f). Мы получили следующее свойство: если f — функция, то Im(f) есть множество, для которого:

1)f(x) Im(f) x Dom(f);

2)y Im(f) x Dom(f) : y = f(x).

Итак, Im(f) есть по смыслу множество всех элементов f(x), x Dom(f). С учетом (1.1.21) имеем теперь для всяких множеств X, Y и функции

fY X , что Im(f) P(Y ) обладает свойствами

a)f(x) Im(f) x X;

b)y Im(f) x X : y = f(x).

Стало быть, здесь по смыслу Im(f) — множество всех f(x), x X. Отдельно обсудим некоторые свойства функций, значениями которых

являются множества. Если X — множество, Y — семейство и f YX , то Im(f) P(Y) в силу (1.1.21) и, в частности, Im(f) — семейство, а потому определено множество

22

Тогда, как легко видеть, для всяких множества X, семейства Y и функции f YX (1.1.27) есть (единственное в силу (1.1.1)) множество, для которого

Отметим теперь, что каждая функция f в смысле общего определения (1.1.16) является в силу (1.1.19) элементом множества Im(f)Dom(f), т. е.

если, к тому же при всяком выборе x Dom(f) значение f(x) функции f

вточке x есть множество, то Im(f) —семейство, которое при Dom(f) ≠ также является непустым. Поэтому Im(f) можно использовать в качестве Y в предыдущем определении. Аналогичное представление следует иметь

ввиду и далее, при построении пересечения всех множеств — значений f, если только Dom(f) ≠ .

Всвязи с (1.1.27), (1.1.28) рассмотрим одну конструкцию построения множества функций с различными областями определения. Для этого сначала приведем «индексный» вариант (1.1.27): если X — множество, Y —

семейство и (Yx)x X YX , то множество

Пусть U и V — множества; тогда при H P(U) имеем вложение H × V P(U × V ) и в силу (1.1.19),

(в самом деле, P(H × V ) P(U × V ) и V H P(H × V )); это дает возможность полагать в (1.1.30) X = P(U) и Y = P P(U × V ) . Можно

будет(определена)функция (Yx)x X в требуемом частном случае. Поскольку P P(U × V ) — семейство, то в согласии с (1.1.30) и (1.1.31) имеем

23

Поскольку U и V выбирались произвольно, установлено, что для всяких

множеств P и Q определено единственное множество

Отметим, что в случае, когда X — непустое множество, Y — семейство и f YX , семейство Im(f) непусто, т. е. Im(f) P′(Y), а тогда определено

легко видеть, что множество (1.1.32) таково, что

∩

1)f(x) f(u) u X,

x X

2) для всякого объекта v истинна импликация

( ∩ )

(v f(˜x) x˜ X) = v f(x) .

x X

Свойства 1), 2) легко проверяются с использованием (1.1.21), (1.1.32) и ранее отмечавшегося представления множества значений произвольного отношения (см. также свойства а), в) образа области определения произвольной функции). В построении на основе (1.1.32) можно использовать функции f, понимаемые в соответствии с общим определением (1.1.16) и обладающие тем свойством, что при всяком выборе x Dom(f) значение f(x) функции f есть множество; в этой связи см. (1.1.29). Разумеется вышеупомянутые свойства множества (1.1.32) можно, подобно (1.1.30), переформулировать на случай отображений в индексной форме записи: если

X— непустое множество, Y — семейство и (Yx)x X YX , то

∩( )

24

x X

Последний вариант операции пересечения, как и (1.1.30), оказывается, в частности, удобным при исполнении соответствующих операций над последовательностями множеств; при этом в качестве Y используется обычно семейство п/м некоторого фиксированного множества. В качестве такого семейства может выступать (см. [27]) , в частности, полуалгебра, алгебра или σ−алгебра п/м вышеупомянутого множества. Кроме того, в качестве полезного частного случая отметим ситуацию, когда данное семейство является топологией [13,33], т. е. семейством открытых множеств. Последние могут, в частности, конструироваться посредством той или иной метрики упомянутого фиксированного множества.

Отметим в заключении раздела важное правило построения функций:

(1.1.34) В связи с проверкой (1.1.34) отметим построения [27, c. 31]. Наконец, имеем для любых двух множеств X, Y и третьего множества H P(Y ) всегда

разумеется, имеем включение f(x, y) Z.

Напомним, что функции являются отношениями. Говоря об отношениях, не являющихся, вообще говоря, функциями, отметим отношения порядка и отношения эквивалентности; см. обозначения в [27, c. 46–48].

Если — отношение (т. е. есть п/м множества X × Y, где X и Y —

25

В частности, если A — множество и — п/м A × A, то — отношение (бинарное отношение в A) и для u A, v A применимо (1.1.37).

Как обычно, для всяких множества A и отношения P(A × A) называем

1)рефлексивным, если x x x A;

2)транзитивным, если x A y A z A

Если A — множество и P(A × A), то называем отношение предпорядком на A, если оно рефлексивно и транзитивно; если — предпорядок и (одновременно) антисимметричное отношение, то называем порядком на A. Иными словами, порядок есть антисимметрический предпорядок. Наконец, при условии, что A — множество и P(A × A), называем отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Иногда будет полезным следующее соглашение: если H — семейство и S — множество, то

есть очевидно семейство всех множеств из H, каждое из которых содержит

S.

§1.2. Образы и прообразы множеств; обобщенные декартовы произведения

Внастоящем разделе мы рассматриваем преобразования множеств посредством той или иной заданной функции. Речь пойдет о преобразовании п/м области определения, т. е. о действии на эти п/м в сторону образа. Кроме того, рассматриваем и преобразования «в противоположном направлении», рассматривая их как действия в сторону прообраза.

26

Возвращаясь к (1.1.25), отметим, что для данного отношения может быть определено множество значений. Его мы и назовем образом соот-

где g = (f| E); с учетом (1.1.26) заключаем, что f1(E) есть единственное

множество, для которого

( ) ( )

f(x) f1(E) x E & y f1(E) x E : y = f(x) . (1.2.1)

Иными словами, f1(E) есть множество всех точек f(x), x E, обозначаемое также через {f(x) : x E} :

где смысл равенства в (1.2.2) соответствует (1.2.1). Мы будем далее широко использовать выражения типа (1.2.2), подразумевая при этом, что множество в левой части (1.2.2) обладает свойством (1.2.1). Отметим, в частности, с учетом (1.1.21) следующее свойство: если X и Y — множества, f Y X и E P(X), то (см. § 1.1) f1(E) P(Y ) таково, что справедливо (1.2.1) и потому можно полагать выполненным (1.2.2). Данное соглашение (см. (1.2.2)) используется в дальнейшем без дополнительных пояснений. Легко видеть, что справедливо следующее свойство: если X и Y – множества и f Y X , то (см. [27, c. 45])

(разумеется, в (1.2.3) вместо x может использоваться ПБ). Отметим, что (см. (1.1.21)), в частности, при всяком выборе множеств X, Y, функции f Y X и множества L P(Y )

В (1.2.4) имеем более традиционный вариант прообраза п/м области значений функции. Отметим, кстати, полезное свойство: если X и Y — множества, а f Y X , то

27

(конечно же, вместо L может использоваться ПБ). В виде (1.2.5) имеем очевидно функцию со значениями в семействе множеств; точнее, мы можем рассматривать (1.2.5) как функцию из непустого множества в непустое семейство, т. к. P(X) ≠ и P(Y ) ≠ . Полезно отметить в этой связи, что для всякого множества H

Эти два свойства позволяют рассматривать при условиях, обеспечивающих (1.2.5), прообраз объединения произвольного семейства п/м Y и прообраз пересечения произвольного непустого семейства п/м Y.

Возвращаясь к (1.2.5), отметим следствие (1.1.30): если X и Y — мно-

поэтому в согласии с (1.1.30) определено множество-объединение

f−1(L) P(X),

которое непосредственно следует из (1.2.4).

Далее, действуя по аналогии с (1.2.5), отметим другое полезное свойство:

( )

если X и Y — множества, f Y X и L P′ P(Y ) , то

( )

f−1(L) L L P(X)L,

28

а потому в согласии с (1.1.33) определено множество

∩

f−1(L) P(X),

L L

для которого справедливы следующие два свойства: 1) ∩ f−1(L) f−1(Λ) Λ L,

L L

2) для произвольного объекта v истинна импликация

В (1.2.6), (1.2.7) имеем полезные свойства операции взятия прообраза: речь идет о сохранении операций объединения и пересечения. На самом деле сохраняются и другие теоретико-множественные операции. Сейчас отметим в качестве следствий (1.2.6), (1.2.7) следующие простые свойства: если X и Y — множества, f Y X , A P(Y ) и B P(Y ), то

( ) ( ) f−1(A B) = f−1(A) f−1(B) & f−1(A ∩ B) = f−1(A) ∩ f−1(B) .

(1.2.8) Отметим, что свойства (1.2.8) можно проверить и непосредственно, используя (1.2.4). Кроме того, (см. (1.2.4)) при условиях, обеспечивающих (1.2.8) (X и Y — множества, f Y X , A P(Y ) и B P(Y )),

С (1.2.9) уместно связать полезное представление прообраза дополнения до заданного множества: если X и Y — множества, f Y X , то, как легко видеть в силу (1.2.4) f−1(Y ) = X, а потому

Из (1.2.6) – (1.2.10) видно, что операция взятия прообраза (см. (1.2.5)) сохраняет основные теоретико-множественные операции; см. также в этой связи [27, § 1].

29