elemen_teorija
.pdf
Отметим, что (см. (1.3.9), (1.3.17)) ( fi − f )iN B(N ). В результате получаем (см. § 1.3) из (3.4.11) утверждение следствия доказываемой импликации (3.4.10). Итак, истинность импликации (3.4.10) установлена, чем завершается проверка вышеупомянутого свойства непрерывности по совокупности переменных. Отметим, что в (3.4.10) можно, в частности, допустить, что fj Bo(E, L) j N . Получаемое при этом положение полезно связать с (3.3.10). Уместно в этой связи обсудить вопрос о приближении ЯИ интегральными суммами Римана (последний термин здесь используется условно).
Отметим прежде всего, что f B(E) H P′(E)
( ) ( )
{|f pr1(z) −f pr2(z) | : z H × H} BR↑ .
С учетом этого свойства можно ввести колебание ограниченной в/з функции (на E) на произвольном непустом п/м E : если f B(E) и H P′(E), то
|
n |
|
, |
( |
∆ ( ) |
)( |
) |
Ωf (H) = sup({|f pr1(z) −f pr2(z) | : z H × H}) [0, ∞[. (3.4.12) |
|||||||
Если |
|
N то через |
o E, |
L условимся обозначать множество всех раз- |
|||
|
n |
||||||
биений (Li)i 1,n ∆n(E, L) таких, что Lj ≠ j 1, n; иными словами,
o |
|
|
|
|
(3.4.13) |
||
|
|
|
|||||
∆n |
(E, L) = {(Li)i |
|
|
∆n(E, L) | Lj ̸= j 1, n}. |
|||
1,n |
|||||||
В (3.4.13) мы имеем невырожденные разбиения из ∆n(E, L); мы отбрасываем при своем рассмотрении пустые ячейки как несущественные. Ясно, что n N (Li)i 1,n ∆on(E, L) j 1, n
Lj P′(E).
Поэтому определение (3.4.12) вполне применимо к ячейкам разбиений из множества (3.4.13). Отметим, что (см. (1.3.15), (3.4.13)) n N (Li)i 1,n
∆on(E, L)
∏n
Li = {(xi)i 1,n En | xj Lj j 1, n} P′(En).
i=1
Предложение 3.4.3. nЕсли f B(E, L), µ A(L), n N , (Li)i |
|
|
||||
1,n |
||||||
|
|
|
i∏ |
|||
∆no |
(E, L) и (xi)i |
1,n |
|
Li, то |
||
|
|
|
|
=1 |
|
|
∫
E
n |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f dµ − i=1 f(xi)µ(Li) 6 Vµ sup({Ωf (Li) : i 1, n}). |
(3.4.14) |
|||
140
Замечание 3.4.1. В правой части (3.4.14) используется наибольшее из чисел Ωf (Li), i 1, n; в таких случаях обычно используется соглашение
mi 1,n f |
i |
{ |
f |
i |
) : i |
|
1, n |
} |
). |
(3.4.15) |
ax Ω |
(L |
) = sup( |
Ω |
(L |
|
|
|
В дальнейшем будем использовать соглашения, подобные (3.4.15), без какихлибо пояснений. 2
Доказательство предложения 3.4.3. Пусть f, µ, n, (Li)i 1,n и (xi)i 1,n
соответствуют условиям. Тогда
|
n |
|
|
|
∑i |
Bo(E, L) |
(3.4.16) |
φ = f(xi)χLi |
|||
|
=1 |
|
|
в силу (2.7.3). Из (3.2.7) вытекает равенство
∫(el) |
n |
|
|
∑ |
(3.4.17) |
φ dµ = |
f(xi)µ(Li). |
Ei=1
Сучетом (3.3.10) и (3.4.16) имеем очевидную оценку
|
|
(el) |
|
|
|
|
φ dµ − |
(3.4.18) |
|||
|
|
||||
|
|
∫ |
∫ f dµ 6 φ − f Vµ. |
||
|
|
E |
|
E |
|
Заметим теперь, что φ − f B(E) есть такая функция, что |
|
||||
|
|
(φ − f)(x) = φ(x) − f(x) x E. |
|
||
В силу (2.6.7) и (3.4.16) мы получаем, что справедливо равенство |
|
||||
|
|
φ − f = sup({|φ(x) − f(x)| : x E}). |
(3.4.19) |
||
Если j |
|
и x Lj, то (см. предложение 2.7.1) |
|
||
1, n |
|
||||
|
|
|φ(x) − f(x)| = |f(xj) − f(x)| 6 Ωf (Lj) |
(3.4.20) |
||
в силу (3.4.12). Коль скоро E и объединение всех множеств Li, i 1, n, совпадают, то из (3.4.19) вытекает, что
|φ(x) − f(x)| 6 max Ωf (Li) x E.
i 1,n
С учетом (3.4.19) получаем, как следствие, оценку
φ − f 6 max Ωf (Li),
i 1,n
141
из которой в силу (3.4.17) и (3.4.18) вытекает неравенство |
|
||||||||
E |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
f dµ |
|
f x µ L |
|
max Ω |
|
(L |
). |
2 |
∫ |
|
− i=1 |
( i) ( |
i) 6 Vµ |
i 1,n |
f |
i |
|
|
Предложение 3.4.4. Если f B(E, L) и ε ] 0, ∞[, то
n N (Li)i 1,n ∆on(E, L) : Ωf (Lj) < ε j 1, n.
Доказательство. Пусть f и ε соответствуют условиям. С учетом (2.6.11)
и (2.7.36) подберем φ Bo(E, L) так, что при этом |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
φ − f < |
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.4.21) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Используя (2.7.3), подберем N N , (αi)i |
|
|
RN |
и (Li)i |
|
|
∆n(E, L), |
|||||||||||||||||||||||
1,N |
1,N |
|||||||||||||||||||||||||||||
для которых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ = |
∑i |
αiχLi. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку |
|
|
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а то- |
|||
E = |
, |
{ |
i |
|
|
1, N |
| |
L |
= |
|
′(1, N), |
|||||||||||||||||||
K = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
̸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
i ̸ } P |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
гда K Fin(1, N) (см. § 1.4). Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и при этом |
|||||||||||||||||||
n = |K|; тогда n N |
||||||||||||||||||||||||||||||
(bi)[1 |
, n |
; K] ̸= . Пусть λ (bi)[1 |
, n |
; K] и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.4.22) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 1, n. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Λj = Lλ(j) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
По выбору (Li)i 1,n имеем сразу очевидное свойство: объединение всех мно-
жеств Λj, j 1, n, содержится в E. Пусть x E и p 1, N таково, что x Lp. Тогда Lp ≠ и p K, а, стало быть, p = λ(q) для некоторого q 1, n. С учетом (3.4.22) имеем x Λq, т. к. Lp = Lλ(q) = Λq. Тем самым установлено, что E содержится в объединении всех множеств Λj, j 1, n;
в итоге
n
E = Λi. |
(3.4.23) |
i=1
Если j1 1, n и j2 1, n таковы, что Λj1 ∩ Λj2 ≠ , то
Lλ(j1) ∩ Lλ(j2) ≠
и, стало быть, λ(j1) = λ(j2); в силу биективности λ это означает равенство j1 = j2. Поскольку выбор j1 и j2 был произвольным, то установлено свойство
Λk1 ∩ Λk2 = k1 1, n k2 1, n \ {k1}.
142
В итоге (см. (1.4.9), (3.4.23)) (Λj)j 1,n ∆n(E, L). Кроме того, по выбору
|
|
|
|
|
|
|
|
K и λ имеем, что Λj ̸= j 1, n. С учетом (3.4.13) |
|
||||||
|
(Λi)i |
|
∆no (E, L). |
(3.4.24) |
|||
|
1,n |
||||||
|
N |
|
|||||
При этом, конечно, ψ = |
αλ(j)χ j Bo(E, L); см. (2.7.3). Согласно пред- |
||||||
ложению 2.7.1 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
j∑ |
(3.4.25) |
||||||
ψ(x) = αλ(j) j |
1, n |
x Λj. |
|||||
Если x E, то x Lr при некотором r 1, N, а тогда r K и, стало быть, r = λ(s) для некоторого s 1, n. Тогда Lr = Lλ(s) = Λs и x Λs, а потому (см. (3.4.25)) ψ(x ) = αλ(s). С другой стороны, по выбору φ имеем равенство φ(x ) = αr и, как следствие, φ(x ) = αλ(s). В итоге φ(x ) = ψ(x ), а, поскольку выбор x был произвольным, установлено равенство
φ = ψ. |
(3.4.26) |
Выберем произвольно m 1, n. Тогда Λm P′(E) и, в согласии с (3.4.12),
определено значение Ωf (Λm). Пусть z Λm × Λm, u = pr1(z), v = pr2(z). Тогда u Λm, v Λm и z = (u, v). Рассмотрим разность
( ) ( )
f pr1(z) −f pr2(z) = f(u) − f(v) R.
При этом |ψ(u) − f(u)| 6 ψ − f , |ψ(v) − f(v)| 6 ψ − f и, с учетом
(3.4.21), (3.4.26), |
|
|
|
|
|
|
| ψ(u) − f(u)| < |
ε |
, |ψ(v) − f(v)| < |
ε |
(3.4.27) |
||
|
|
|
. |
|||
4 |
4 |
|||||
Отметим, однако, что в силу (3.4.25) ψ(u) = ψ(v) = αλ(m). В итоге из (3.4.27) вытекает, что
|
|
|f(u) − αλ(m)| < |
|
ε |
, |f(v) − αλ(m)| < |
ε |
|||||
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
4 |
4 |
||||||||
f(u) |
− |
f(v) |
ε . |
Коль |
скоро выбор z был произвольным, име- |
||||||
Поэтому | |
|
| 6 2 |
|
ε |
|
|
|
|
|||
ем цепочку неравенств Ωf (Λm) 6 |
2 |
|
< ε. Поскольку выбор m также был |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
произвольным, установлено, что Ωf (Λj) < ε j 1, n. Из (3.4.24) имеем теперь, что
(Λj)j |
|
∆no (E, L) : Ωf (Λj) < ε j |
1, n. |
2 |
1,n |
Предложения 3.4.3, 3.4.4 определяют в своей совокупности вариант «римановой» аппроксимативной реализации ЯИ произвольной функции из
143
B(E, L). Учтем (2.2.11) и (2.2.16). Тогда при µ (add)+[L] корректно определяется функционал Iµ на B(E, L), значения которого суть µ−интегралы ярусных функций: из (2.2.11) и (3.3.7) имеем, что
∫
f dµ = Iµ(f) f B(E, L);
E
согласно (3.3.8) получаем, в частности, систему равенств
∫∫(el)
f dµ = f dµ f Bo(E, L).
EE
Из (2.2.11), (2.2.16) и предложения 3.4.2 получаем, конечно, неравенство
|
E |
|
|
|
|
|
|
6 f µ(E) f B(E, L) µ (add)+[L]. |
(3.4.28) |
|
|
|
||
|
∫ |
f dµ |
||
В дополнение к (3.4.28) отметим, что (см. (2.2.16), (3.3.9)) |
|
|||
|
f dµ−∫ |
|
|
|
|
|
|
||
∫ |
g dµ 6 f−g µ(E) f B(E, L) g B(E, L) µ (add)+[L]. |
|||
EE
(3.4.29) С учетом рассуждений, подобных применяемым при обосновании предложений 3.4.3 и 3.4.4, устанавливается, что
|
|
|
( |
) |
f B(E, L) ε ] 0, ∞[ g Bo(E, L) : ( f −g < ε) & g1 |
(E) f1(E) . |
|||
В связи с применением (3.4.30) введем множество |
(3.4.30) |
|||
|
||||
B |
+ |
|
|
|
|
(E, L) = {f B(E, L) | 0 6 f(x) x E} = {f B(E, L) | OE 5 f} |
|||
|
|
|
|
(3.4.31) |
всех неотрицательных ярусных в/з функций на множестве E. Из (3.4.30) |
||||
и (3.4.31) вытекает, что |
|
|||
|
|
f B+(E, L) (fi)iN Bo+(E, L)N : (fi)iN f. |
(3.4.32) |
|
Из (3.2.9), (3.4.32) и предложения 3.3.1 следует, что |
|
|||
|
|
∫ |
f dµ [ 0, ∞[ f B+(E, L) µ (add)+[L]. |
(3.4.33) |
E
144
Заметим, что из (3.4.31) вытекает, что f B(E, L) |
g B(E, L) |
|
|||||
(f 5 g) g − f B+(E, L) . |
|
|
|
||||
Из предложения 3.4.1 и (3.4.33) |
следует теперь, что |
f |
B(E, ) |
g |
|||
( |
|
) |
|
L |
|
||
B(E, L) |
|
|
|
|
|||
|
∫ |
|
µ (add)+[L]). |
|
|
||
(f 5 g) = (∫ |
f dµ 6 |
g dµ |
(3.4.34) |
||||
EE
Всвязи с (3.4.34)) отметим одно совсем простое свойство, учитывающее то обстоятельство, что при f B(E, L) имеет место f1(E) BR↓ ∩ BR↑ ;
поэтому определены значения
|
f |
1 |
|
|
E |
)) R |
, |
||
inf f(x) = inf |
|
( |
|||||||
x E |
( |
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
(E) |
) R |
. |
||||
sup f(x) = sup f |
|
||||||||
x E |
( |
|
|
|
|
|
|
||
Кроме того, из предложения 2.7.2 следует, что cχE Bo(E, L) c R. |
|||||||||
С учетом вышеупомянутых свойств получаем, что f B(E, L) µ
(add)+[L] |
|
) x E |
6 |
∫ |
|
6 |
x E |
(3.4.35) |
( |
E |
f dµ |
||||||
µ |
inf f(x) |
|
|
|
µ(E) sup f(x). |
|
||
|
|
|
|
E |
|
|
|
µ P(L) |
Из (2.2.6) и (3.4.35) следует, в частности, что f B(E, L) |
||||||||
|
|
x E |
6 |
∫ |
f dµ |
6 x E |
(3.4.36) |
|
|
|
inf f(x) |
|
|
|
sup f(x). |
|
|
E
Случай ЯИ, рассматриваемый в (3.4.36), представляется интересным в связи с конструкциями математического ожидания (МО), используемыми в теории вероятностей. В данном очень общем случае (напомним, что L удовлетворяет только условию (2.2.1)) упомянутый ЯИ может не обладать «хорошими» свойствами и не соответствовать естественным представлениям о МО; однако, уже в случае ИП с полуалгеброй множеств многие естественные свойства МО у ЯИ в (3.4.36) «восстанавливаются».
Возвращаясь к (3.4.34), отметим, что строгие неравенства для значений подинтегральных функций могут уже не наследоваться интегралами по неотрицательной к.-а. мере, «превращаясь» в нестрогие (см. следствие импликации (3.4.34)). Позднее мы рассмотрим соответствующий пример. Упомянутая особенность отсутствует в «классическом» случае интегрирования по с.-а. мере (это также будет установлено в дальнейшем).
145
§3.5. Конечно-аддитивные меры и линейные непрерывные функционалы на пространстве ярусных функций
Мы рассматриваем сейчас банахово пространство (2.7.34) в общем случае L (2.2.1). Традиционным образом (см. [10,12,14]) определяем простран-
ство B (E, L), топологически сопряженное к пространству (2.7.34):
{ ( )
B(E,L)
B (E, L) = h R | h(αf) = αh(f) α R f B(E, L) &
( )
& h(f + g) = h(f) + h(g) f B(E, L) g B(E, L) &
& ( c [ 0, ∞[: |h(s)| 6 c s s B(E, L))}; |
(3.5.1) |
элементами множества (3.5.1) являются линейные ограниченные функционалы на B(E, L) и только они (требование ограниченности здесь не соответствует (1.3.12), что типично при рассмотрении линейных функционалов; однако конструкция (1.3.12) полностью «восстанавливается» для сужений упомянутых функционалов на ограниченные п/м B(E, L)). Отметим, что из (3.5.1), предложений 3.4.1 и 3.4.2 вытекает свойство (см. (3.3.7))
(∫ )
Iµ = f dµ |
B (E, L) µ A(L). |
(3.5.2) |
f B(E,L)
E
Из (3.5.2) имеем, в частности, что B (E, L) — непустое п/м множества
RB(E,L) = {B(E, L) −→ R}.
Следующее утверждение есть частный случай хорошо известного положения функционального анализа (см., например, [10, 12, 14]), касающегося свойств сопряженного пространства.
Предложение 3.5.1. Пространство B (E, L) линейно:
B (E, L) (LIN)[RB(E,L)].
Весьма очевидное доказательство опустим, поскольку оно повторяет стандартные процедуры [10,12,14] и других источников.
146
Заметим, что линейное пространство (3.5.1) традиционным образом нормируется. Для того, чтобы ввести соответствующую (и весьма традиционную) норму, нам потребуется ряд вспомогательных обозначений. Пусть
6
BL(f, ε) = {g B(E, L) | f − g ε} f B(E, L) ε [ 0, ∞[. (3.5.3)
()
Вчастности, BL(OE, 1) P′ B(E, L) и при этом {|h(s)| : s BL(OE, 1)}
BR↑ h B (E, L). С учетом (3.5.1) корректно следующее определение: если h B (E, L), то
h |
|
h s |
s |
BL(OE |
, |
1)}) [ 0 |
, |
∞[ |
. |
(3.5.4) |
|
= sup({| |
( )| : |
|
|
|
|
||||
Наряду с (3.5.3) введем также (непустое) множество |
|
|
|
|
||||||
B∂o (E, L) = {go Bo(E, L) | g = 1} P′(BL(OE, 1)) |
(3.5.5) |
|||||||||
(заметим, что χE B∂(E, L)), а тогда, как легко видеть, |
|
|
||||||||
{h(s) : s Bo∂(E, L)} BR↑ ;
поэтому определено значение sup({h(s) : s Bo∂(E, L)}) R, для которого
согласно (3.5.4) и (3.5.5) справедливо неравенство |
|
||||||
|
|
sup({h(s) : |
s B∂o (E, L)}) 6 h . |
(3.5.6) |
|||
Из (3.3.8), (3.5.2) и (3.5.6) имеем, в частности, что при µ A(L) |
|
||||||
(el) |
|
|
} |
|
|
|
|
{E |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
f dµ : f B∂o (E, L) = {Iµ(f) : f B∂o (E, L)} BR↑ ; |
|
|||||
поэтому согласно (3.5.6) имеем включение |
|
|
|||||
|
|
(el) |
|
|
}) |
|
|
|
|
({E |
f dµ : f B∂o (E, L) |
|
|||
|
sup |
∫ |
] − ∞, Iµ ]. |
(3.5.7) |
|||
Предложение 3.5.2. Если µ A(L), то справедлива цепочка равенств: |
|||||||
|
|
|
|
(el) |
}) |
|
|
|
Vµ = Iµ = sup |
({E |
|
|
|||
|
∫ |
f dµ : |
f B∂o (E, L) . |
|
|||
147
Доказательство. Фиксируем µ A(L) и полагаем, что
|
(el) |
}) |
|
|
({E |
|
|
d = sup |
∫ |
f dµ : f B∂o (E, L) . |
|
Тогда для d R имеем в силу (3.5.7) оценку |
|
||
|
|
d 6 Iµ . |
(3.5.8) |
Кроме того, из (3.3.7), (3.5.3), (3.5.4) и предложения 3.4.2 вытекает неравенство
Iµ 6 Vµ. |
(3.5.9) |
Стало быть (см. (3.5.8), (3.5.9)), d 6 Iµ 6 Vµ. Выберем произвольно ε ] 0, ∞[. С учетом (2.2.14) подберем число ξ,
ξ (VAR)E[µ] : Vµ − ε < ξ. |
(3.5.10) |
Используя (2.2.12), подберем число n N и разбиение (Li)i 1,n ∆n(E, L), для которых
n |
|
∑i |
(3.5.11) |
ξ = |µ(Li)|. |
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагаем, что αj |
|
j 1, n. Тогда (αi)i |
|
||||
= sgn µ(Lj) |
|
||||||
1,n |
|||||||
(1.3.11) имеем |
следующую систему равенств. Именно |
||||||
|
|
( |
) |
|
|
|
|
αiµ(Li) = |µ(Li)| i 1, n.
Из (3.5.11) и (3.5.12) мы получаем следующее равенство
∑n
ξ = αiµ(Li).
i=1
Сдругой стороны, из (2.7.3) получаем очевидное свойство
∑n
φ= αiχLi Bo(E, L).
i=1
Rn и в силу
(3.5.12)
(3.5.13)
При этом согласно предложению 2.7.1 φ(x) = αj j 1, n x Lj. Как следствие, из определения § 1.3, предшествующего (1.3.11), вытекает, что
|φ(x)| = 1 x E;
148
см. также (1.4.9). Это означает в силу (2.6.3), что φ = 1 и (см. (3.5.5)) φ Bo∂(E, L); при этом
∫(el)
∑n
φ dµ = αiµ(Li) = ξ,
Ei=1
где учтены (3.2.7) и (3.5.13). С учетом (3.5.10) получаем теперь, что
∫(el) |
|
Vµ − ε < φ dµ 6 d. |
(3.5.14) |
E
Поскольку ε, ε > 0, выбиралось произвольно, то Vµ 6 d, откуда с учетом (3.5.8) и (3.5.9) получаем цепочку равенств Vµ = Iµ = d. 2 Из (2.2.16) и предложения 3.5.1 следует, в частности, свойство: если µ
(add)+[L], то
({ |
(el) |
}) |
|
∫ |
|
||
µ(E) = Iµ = sup |
f dµ : f B∂o (E, L) , |
||
E
причем функция χE Bo∂(E, L) реализует цепочку равенств
∫(el)
χE dµ = Iµ = µ(E),
E
т. е. является максимизирующим элементом сферы Bo∂(E, L) и, как следствие, максимизирует зависимость
s −7→ |Iµ(s)| : BL(OE, 1) −→ [ 0, ∞[.
Предложение 3.5.3. Отображение (Iµ)µ A(L) B (E, L)A(L) является
линейным оператором: |
) ( |
) |
( |
Iαµ = αIµ α R µ A(L) & Iµ+ν = Iµ +Iν µ A(L) ν A(L) .
(3.5.15)
Доказательство. Выберем произвольно a R и νe A(L). Тогда (см. предложение 2.5.2) aνe A(L). Если f B(E, L), то
∫∫
Iaνe(f) = fd(aνe) = a f dνe = aIνe(f) = (aIνe)(f);
E E
149