elemen_teorija

В (4.7.3) мы имеем «обычный» образ п/м области определения в/з функции с неотрицательными значениями; см. (1.2.1), (1.2.2) Из (4.7.2), (4.7.3) можно заключить, что при µ (add)+[L] и S P(E) на содержательном уровне реализуется следующее равенство

µ1([L](S))= {µ(L) : L L, S L},

т. е. (4.7.3) есть множество всех таких чисел ξ [ 0, ∞[, для каждого из которых можно указать множество L [L](S) (т. е. множество L L, для которого S L) со свойством ξ = µ(L). Разумеется, из (4.7.3) вытекает (см. § 1.3), что для всяких µ (add)+[L] и S P(E)

( )

µ1 [L](S) BR↓ ,

а потому определена точная нижняя грань

мы учли, что (см. (4.7.3)) число 0 оценивает непустое множество (4.7.3) снизу.

Итак, для произвольной неотрицательной к.-а. меры на L определена ФМ на семействе всех п/м E. Отметим, что значение ФМ (4.7.4) определены, в частности, для множеств из L. Иными словами, µ (add)+[L]

Предложение 4.7.1. Если µ (add)+[L], то (µ( ) | L) = µ.

Доказательство. Фиксируем µ (add)+[L]. Имеем две в/з функции на L; µ и (µ( ) | L) (4.7.5). Пусть L L. В силу предложения 4.3.8 и (4.7.2) получаем, что

240

Предложение 4.7.2. Если µ (add)+[L], A P(E) и B P(E), то

µ( )(A B) 6 µ( )(A) + µ( )(B).

Доказательство. Фиксируем µ, A и B в согласии с условиями. Пусть

С учетом (4.7.3) подберем множество Aκ [L](A), для которого a = µ(Aκ). В силу (4.7.2), (4.7.9) имеем, что Aκ L, A Aκ и при этом

Пусть b — точка множества в левой части (4.7.8). Тогда b R и при этом

Затем с учетом (4.7.3) подберем множество Bκ [L](B), для которого b = µ(Bκ). С учетом (4.7.2) и (4.7.11) получаем, что Bκ L, B Bκ и при

этом

µ(Bκ) < µ( )(B) + κ2. (4.7.12) Ясно, что Aκ Bκ L и при этом A B Aκ Bκ. В силу (4.7.2)

241

В силу (4.2.18) мы получаем, что справедливо также Aκ ∩ Bκ L и

Доказательство. Пусть A P(E) и B P(E) таковы, что A B. Тогда в силу (4.7.2)

[L](B) [L](A)

и, как следствие (см. (4.7.3)), при ν (add)+[L] получаем очевидное вло-

Тем самым доказательство требуемой импликации (4.7.16) завершено. 2

242

Отметим, что при µ (add)+[L] возможна ситуация, когда µ( ) /

/ (add)+[P(E)].

Пример. Пусть E = [ 0, 2], L = { ; E}, к.-а. мера µ (add)+[L] опре-

Сейчас совсем кратко рассмотрим одну схему, которую можно связать с продолжением неотрицательных к.-а. мер; будем именовать ее схемой

получая множество всех ФМ, определенных на H и принимающих нуле-

µ(E) = µ(H) + µ(E \ H).

()

Предложение 4.7.4. Если µ Ψ P(E) , то (Car)[E; µ] (alg)[E].

243

Доказательство предложения (в несколько более общей форме) приведено в [10, c. 149]. В целях полноты изложения рассмотрим все же его схему, учитывая (4.7.19).

Пусть U (Car)[E; µ]. Тогда U P(E) и при этом

Для V = E \ U P(E) имеем: X \ U = X ∩ V X P(E). Пусть W P(E). Из (4.7.20) вытекает, что

µ(W ) = µ(W ∩ U) + µ(W \ U) = µ(W ∩ U) + µ(W ∩ V ). (4.7.21)

Поскольку U = E \ V (закон двойного дополнения), то W ∩ U = W \ V. С учетом (4.7.21) имеем

µ(W ) = µ(W ∩ V ) + µ(W \ V ).

Коль скоро выбор W был произвольным, то

µ(X) = µ(X ∩ V ) + µ(X \ V ) X P(E).

В итоге (см. (4.7.18)) V (Car)[E; µ]. Учитывая определение V и произвольность в выборе U получаем

Пусть A (Car)[E; µ] и B (Car)[E; µ]. Тогда, в частности, A∩B P(E). Кроме того, в силу (4.7.18)

244

(( ( )) ) (( ( )) )

= µ M ∩ E \ (A ∩ B) ∩B +µ M ∩ E \ (A ∩ B) ∩(E \ B) =

( ) ( )

µ(M) = µ M ∩ (A ∩ B) +µ M \ (A ∩ B) .

Поскольку выбор M был произвольным, имеем из (4.7.18), что A ∩ B (Car)[E; µ]. Поскольку выбор A и B был произвольным, установлено, что

A1 ∩ A2 (Car)[E; µ] A1 (Car)[E; µ] A2 (Car)[E; µ]. (4.7.28)

Из (4.7.19), (4.7.22) и (4.7.28) вытекает, что [27, c. 93] (Car)[E; µ] (alg)[E]. 2

( ) ( )

µ | (Car)[E; µ] = µ(C) C (Car)[E;µ],

являющееся в/з ФМ, определенной на упомянутой алгебре множеств.

()

Предложение 4.7.5. Если µ Ψ P(E) , то

( ) [ ]

µ | (Car)[E; µ] (add) (Car)[E; µ] .

245

( )

Доказательство. Фиксируем µ Ψ P(E) и полагаем для краткости

(

ν= µ | (Car)[E; µ]);

тогда ν : (Car)[E; µ] → R. Выберем произвольно A (Car)[E; µ] и B (Car)[E; µ]; пусть, кроме того, A ∩ B = . При этом A B (Car)[E; µ] в силу предложения 4.7.4; кроме того (см.(4.7.18)), B E \ A и с учетом

этого

( ) ( )

ν(A B) = µ(A B) = µ (A B) ∩ A +µ (A B) \ A =

( ) ( )

= µ(A) + µ (A B) ∩ (E \ A) = µ(A) + µ B ∩ (E \ A) =

Вернемся теперь к L (4.7.1), получая при µ (add)+[L] ФМ µ( ) (4.7.4).

( )

Предложение 4.7.6. Если µ (add)+[L], то µ( ) Ψ P(E) .

246

Доказательство. Пусть µ, A и B удовлетворят условиям предложения.

Пусть A ∩ B = . Тогда, коль скоро A B P(E), имеем из (4.7.18), что

( ) ( ) ( )

µ(A B) = µ (A B) ∩ A +µ (A B) \ A = µ (A ∩ A) (A ∩ B) +

Предложение 4.7.8. Если µ (add)+[L], то L (Car)[E; µ( )].

Доказательство. Фиксируем L L (в частности, L P(E)). Пусть A P(E); рассмотрим множества A∩L и A\L, содержащиеся в E. Имеем равенство

С учетом определения 4.7.1 получаем неравенства

µ( )(A ∩ L) 6 µ(G ∩ L),

µ( )(A \ L) 6 µ(G \ L).

247

В итоге имеем очевидное неравенство

При этом (G ∩ L) (G \ L) = G и, кроме того, (G ∩ L) ∩ (G \ L) = . В силу аддитивности µ имеем (см. (4.2.19))

t= µ(G) = µ(G ∩ L) + µ(G \ L).

Всилу (4.7.33) µ( )(A ∩ L) + µ( )(A \ L) 6 t. Поскольку выбор t был произвольным, установлено, что

( ) [ [

µ1 [L](A) µ( )(A ∩ L) + µ( )(A \ L), ∞ .

Но в этом случае имеем из определения 4.7.1 неравенство

µ( )(A ∩ L) + µ( )(A \ L) 6 µ( )(A).

С учетом (4.7.32) имеем: µ( )(A) = µ( )(A ∩ L) + µ( )(A \ L). Поскольку выбор A был произвольным, получаем из (4.7.18), что L (Car)[E; µ( )], чем и завершается обоснование вложения L (Car)[E; µ( )]. 2 Итак, если задана к.-а. мера µ (add)+[L], то в силу предложений 4.7.4

и 4.7.6 имеем

(Car)[E; µ( )] (alg)[E] : L (Car)[E; µ( )];

иными словами, справедливо (см. (1.1.38)) включение

(Car)[E; µ( )] [(alg)[E]](L).

Из (4.7.30) мы получаем теперь с учетом предложения 4.7.1 следующее

Предложение 4.7.9. Если µ (add)+[L], то к.-а. мера

( ( ) ( ) ) [ ( ) ]

ν = µ | (Car)[E; µ ] (add)+ (Car)[E; µ ]

является продолжением µ на алгебру (Car)[E; µ( )] : µ = (ν |L).

248

Доказательство. Пусть µ и ν удовлетворяют условиям предложения.

Кроме того, µ есть в/з функция на L. Пусть L L фиксировано. Тогда в силу (4.7.30) ν(L) = µ( )(L), где, в частности, L (Car)[E; µ( )]. С другой стороны, из предложения 4.7.1 следует, что µ( )(L) = µ(L). Стало быть, µ(L) = ν(L). Поскольку выбор L был произвольным, то установлено свойство

L

Если µ R , то полагаем, что Nµ = {L L | µ(L) = 0}. Заметим, что в этом обозначении мы не указываем L, т. к. L однозначно определяется по µ : L = Dom(µ) (см. (1.1.20)). При µ (add)[L] имеем, что Nµ P′(L); при этом Nµ. В частности, семейство Nµ определено для µ (add)+[L].

1)A B L{ }Nµ A L B Nµ;

2)S L{ }Nµ S1 L S2 Nµ : S = S1 S2.

Поскольку Nµ, то из 1) вытекает, что L L{ }Nµ µ (add)+[L].

Предложение 4.7.10. Если µ (add)+[L], то L{ }Nµ (alg)[E].

Доказательство. Фиксируем неотрицательную к.-а. меру µ, опреде-

249