Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Северный (Арктический) федеральный университет им. М. В. Ломоносова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ПОСОБИЕ ЧАСТ 1- цепи постоянного тока

.pdf

Скачиваний:

119

Добавлен:

13.02.2015

Размер:

1.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 159 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

4)Сделаем проверку расчета токов по законам Кирхгофа: для узлов 1 и 2

–по первому и, например, для внешнего контура – по второму закону Кирхгофа.

Для узла 1: –I1 + I2 + I3 = 0; подставляя значения токов: – 5,19 +2,38 + 2,81 = 0. Для узла 2: – I2 + I4 + I5 = 0; подставляя значения токов: – 2,38 – 0,975+ 3,35 =

– 0,005 A.

Относительная ошибка: %=0,005 100% = 0,51%, что вполне допустимо

0,975

для инженерной точности расчетов. Относительная ошибка при расчете токов и напряжений может быть до 3%.

Составим уравнение по 2-му закону Кирхгофа: I1R1 + I2R2 + I5R5 = E1 + E5.

Из которого после подстановки числовых данных получим тождество: 5,91 1 + 2,38 2 + 3,35 3 = 20, что свидетельствует о верности расчета то-

ков.

5.1.2 Рассчитать токи в цепи представленной на рис. 5.1.2 методом узловых потенциалов, проверить расчет составлением уравнения баланса мощно-

стей, если: E1=8 В, E2=E3=6 В, R02=2 Ом, R1=5 Ом, R2=8 Ом, R4=10 Ом, R5=20 Ом, R6=5 Ом.

E1, R02

РЕШЕНИЕ:

В заданной цепи четыре узла, потенци-

ал одного из них, например, узла 4,

примем равным нулю: 4=0. Так как в

ветви, соединяющей узел 3 и узел 4,

включен только один идеальный источ-

φ3 = E3

ник с ЭДС E3, то, потенциал узла 3 бу-

дет равным ЭДС 3=E3 (проводимость

этой ветви равна бесконечности).

Рис. 5.1.2

1) Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов 1 и 2 и выразим все входящие в эти уравнения токи через потенциалы, ЭДС и проводимости, используя закон Ома в обобщенной форме.

Для узла 1:	I1+ I5 – I6 = 0;
для узла 2: – I1 + I2 + I4 = 0,
где I1 E1	1 2 G1, I2 E2 2 3 G2 (E2 2 E3) 2 G2,
I4	2 4 G4 2 G4, I5 4 1 G5 1 G5,
I6	3 1 G6 E3 1 G6.

Подставим полученные выражения для токов в уравнения, составленные по 1-му закону Кирхгофа:

E1 1 2 G1 1 G5 E3 1 G6 0;

E1 1 2 G1 2G2 4G4 0,

после группировки приведем исходную систему к виду:

1 G1 G5 G6 2 G1 E3 G6 E1G1;

2 G1 2 G1 G2 G3 E1 G1.

2) Рассчитаем проводимости ветвей подключенных к узлам 1 и 2:

0,2Cм, G2

0,1 См, G4

0,1 См,

R2 R02

8 4

0,05 См,

0,2См.

3) Запишем полученные уравнения относительно потенциалов 1

и 2

с учетом

проводимостей ветви и узловых токов:

1 0,2 0,05 0,2 2 0,2 6 0,2 8 0,2;

1 0,2 2 0,2 0,1 0,1 8 0,2.

Решая полученную систему, получим: 1 = 1,14 В, 2 = 4,57 В.

4) Определив потенциалы узлов, найдем токи:

I1 (E1

1 2)G1

(8 1,14 4,57) 0,2 0,914 A;

I2 2

G2 4,57 0,1 0,457 A;

I4 2

G4 4,57 0,1 0,457 A;

I5 1 G5 1,14 0,05 0,057 A;

I6 (E3 1)G6

(6 1,14) 0,2 0,972 A.

Ток I3 направляем таким образом, чтобы при выбранном направлении получить положительное значение:

I3 = I6 – I2 = 0,972 – 0,457 = 0,515 A.

Истинное направление тока I5 противоположно выбранному.

5) Проверим правильность расчета токов, составив уравнение баланса мощностей:

PИСТ PH P

Так как токи оказались положительными и совпадают по напряжению с источниками ЭДС, то все источники работают в режиме генераторов:

PИСТ E1I1 E 2I2 E3I3 8 0,914					6 0,457 6 0,515	13,05 Bт .
Мощности, потребляемые приемниками:
PH I12R1 I2	2R2 I4	2R4 I5	2R5 I6	2R6	0,9142 5 0,4572	8 0,4572 10

0,0572 20 0,9722 5 12,67 Bт.

Потери мощности в источниках:

P P2 I22R02 0,4572 2 0,418 Bт.

Суммарный расход мощности в источниках и приемниках:

PН P 12,67 0,418 13,09 Bт.

Относительная ошибка в %:

%	(PН P) PИ	100 %	13,09 13,05	100 % 0,383 %,
	PИ
		13,09

что вполне допустимо. Относительная ошибка в расчете мощности может быть до 3%. Баланс мощности показал правильность расчета токов.

5.1.3 Используя метод узловых потенциалов определить показание амперметра в цепи, представленной на рис. 5.1.3, если: E1=12 В, E2=6 В, E3=20 В, R1=3 Ом, R2=10 Ом, R3=4 Ом, R4=8 Ом, R01=R03=1 Ом (сопротивлением амперметра можно пренебречь).

РЕШЕНИЕ:

1) Так как сопротивлением амперметра

IА

можно пренебречь (RА=0), то потенциал

E1,

E3,

узла 1' будет такой же по величине, как и

R01

R03

потенциал узла 1, в результате, заданная

R4 цепь фактически имеет два независимых

узла. Примем потенциал узла 2 равным

нулю: 2=0. В этом случае можно приме-

нить

формулу

определения

потенциала

одного узла:

E1 G1 E2 G2

E3 G3

Рис. 5.1.3

G1 G2 G3 G4

где:

0,25Cм,

0,1Cм,

R1 R01

3 1

0,2См,

0,125Cм,

R3 R03

4 1

1 12 0,25 6 0,1 20 0,2 9,48 В. 0,25 0,1 0,2 0,125

2) Для определения показаний амперметра рассчитаем токи всех ветвей. Направим токи таким образом, чтобы найти их положительные значения, а при расчете будем использовать закон Ома в общем виде:

I1 E1 1 G1 12 9,48 0,25 0,63A;

I2 E2 1 G2 6 9,48 0,1 1,55A;

I3 E3 1 G3 20 9,48 0,2 2,1A; I4 1G4 9,48 0,125 1,18A.

3) Найдем показания амперметра через токи I1 и I2 для ветвей, подклю-

ченных к узлу 1: IA=I2 – I1 = 1,55 – 0,63 = 0,92 A,

и проверим показание амперметра через токи I3 и I4 для ветвей, подключенных к узлу 1': IA = I3 – I4 = 2,1 – 1,18 = 0,92 A.

Т.к. алгебраическая сумма всех токов равно нулю, то расчет токов верен.

5.2 Примеры расчета электрических цепей с источниками постоянного тока методом узловых потенциалов

5.2.1 Методом узловых потенциалов рассчитать токи в цепи, представ-

ленный на рис. 5.2.1, если: J1=8 мA, J2=12 мA, R1=2 кОм, R2=4 кОм, R3=4 кОм, R4=5 кОм.

РЕШЕНИЕ:

Заданная цепь содержит 4 узла и 6

ветвей, в двух из которых включены

источники тока. В результате их со-

I1 2

единения образуется три независи-

мых контура, но только для одного

R2 UИТ2

из них может быть составлено урав-

UИТ1

нение по 2-му закону Кирхгофа. По-

тенциал узла 4 принимаем равным

нулю: 4=0. А для узла 2 составляем

уравнение по 1-му закону Кирхгофа

φ4 = 0

Рис. 5.2.1

и находим ток I2:

I2 = J1 + J2 = 8 +12 = 20 мA.

Т.к. цепь питается двумя идеальными генераторами тока (их внутренние проводимости G0=0), то достаточно найти один из токов I1 или I3 или I4, а тогда остальные токи будут найдены в соответствии с 1-м законом Кирхгофа. Чтобы рассчитать токи нужно определить потенциалы двух узлов (1-го и 2-го или 2-го

и3-го).

1)Запишем систему уравнений относительно потенциалов 1, 2 и 3-го уз-

лов:

1G11 2G12 3G13 J1;
	1G21	2G22	3G23	0;

	1G31	2G32	3G33	J2 ,

где: G11 = G1 + G4 = 0,7 мСм,		G22 = G1 + G2 + G3 = 1 мСм,
G33	= G3 + G4 = 0,45 мСм,	G12 = G21 = G1 =0, 5 мСм,
G13	= G31 = G4 = 0,2 мСм,	G23 = G32 = G3 = 0,25 мСм.

2) Найдем потенциал 1-го узла 1 с помощью определителей:

			J1	G12	G13		8	0,5	0,2
			0	G22	G23		0	1	0,25
1	1		J2	G32	G33		12	0,25	0,45	101,8B.

		G11		G12	G13	0,7		0,5	0,2


		G21		G22	G23	0,5		1	0,25
		G31		G32	G33	0,2		0,25	0,45

3) Рассчитаем потенциал 2-го узла:

2 4 I2 R2 0 20 10 3 4 103 80 B.

4) Зная 1 и 2, находим токи, направляя их таким образом, чтобы получить для них положительные значения:

I1 ( 1 2)G1 (101,8 80) 0,5 10,9мА;

I4 I1 J1 10,9 8 2,9мА;I3 J2 I4 12 2,9 9,1мА.

5.2.2 Методом узловых потенциалов рассчитать токи в цепи, представленной на рис. 5.2.2 и проверить расчет баланса мощностей, если: J1=5 A, J2=10 A, R2=15 Ом, R3=20 Ом, R4=25 Ом, R5=30 Ом, R6=20 Ом.

	2	R5
	R4	I5
J1	R4
J1	UИТ1
	I4	UИТ2
I3	R3 0	R2
1		3
		J2

I6 R6

Рис. 5.2.2

y G 1

определяем матрицу проводимостей:

РЕШЕНИЕ:

Заданная цепь содержит 4 узла и 6 ветвей, в двух из которых включены источники ока. В результате их соединения образуются три независимых контура, но только для одного из них может быть составлено уравнение по 2-му закону Кирхгофа ("1–3– 2–0–1").

Примем потенциал нулевого узла за нуль 0=0.

Так как по методу узловых потенциалов в данном случае имеем систему третьего порядка, то воспользуемся матричными уравне-

ниями узловых потенциалов.

Iy ,

	G11	G12
G		G22
G	G21	G22
	G31	G32

где

G13

G23

G33


G11	1		1			1				1	0,1См, G22	1				1				1	1	0,073См,
	R3		R6													R5					30
				20				20				R4						25
G33		1	1		1				1		0,083См, G12		G21 0,
		R5	R6
				30				20
G13 G31			1				1	0,1См, G23 G32						1			1		0,033См,
			R6											R5
				10											30

Подставляя значения проводимостей в матрицу, получим:

		0,1				0				0,1
G			0		0,073				0,033		,

			0,1		0,033					0,083
			0,1		0,033					0,083
Находим обратную матрицу проводимостей:
				11		12			13
			1	11		12			13
	1		1
G				21		22				23
G			G	21		22				23
					31		32
					31		32			33
					5 10 3					1,667 10 3			3,667 10	3	15,789	5,263	11,579
1								3				3		3
				1,667 10						5,833 10			3,333 10		5,263	18,421	10,526 ,
				1,667 10						5,833 10			3,333 10		5,263	18,421	10,526 ,
	3,167 10 4			3,667 10 3						3,333 10 3			7,333 10	3	11,579	10,526	23,158

а затем матрицу контурных токов:

Iy	I11		J1			5
							5
	I22			J1			5	.
	I33			J2			10

Определяем потенциалы узлов:
y	1				Iy			63,158
				1
	2	G						171,053	,
	3							226,316

1 63,158В, отсюда: 2 171,053В,3 226,316 В.

На основании закона Ома вычисляем токи в ветвях:

63,158

3,153А,

3 2

226,316 171,053

1,842 А,

171,053

6,842 А,

3 1

226,316 63,158

8,158 А.

Определяем напряжения на источниках тока:

UИТ1 I3 R3

I4 R4

3,158 20 6,842 25 107,895В,

UИТ2 J2 R2

I3 R3

I6 R6

10 15 3,158 20 6,842 25 376,316В.

Правильность расчета токов проверяем с помощью баланса мощностей для чего определяем мощности источников и мощности приемников:

PИСТ UИТ1 J1 UИТ2 J2 107,895 5 376,316 10 4303Вт,

PН J22 R2 I32 R3 I24 R4 I52 R5 I62 R6

102 15 3,1582 20 6,8422 25 1,8422 30 8,1582 20 4303Вт.

Баланс сошелся, следовательно, токи рассчитаны верно.

5.2.3 Методом узловых потенциалов рассчитать токи в цепи и составить уравнение баланса мощностей для схемы, представленной на рис. 5.2.3, если: J1=4,2 A, J2=2 A, J3=1,8 A, R1=R3=10 Ом, R4=R5=20 Ом.

РЕШЕНИЕ:

Заданная цепь содержит два узла и

UИТ1

пять ветвей, в которых имеется три

UИТ3

источника тока, образующих 4 не-

зависимых контура (m =4). Со-

UИТ2

нез

гласно методу «двух узлов», при

0=0 найдем 1:

			I11	J1 J2 J3
	0	1	Gk		1	1
	0				R4	R5
Рис. 5.2.3
Рис. 5.2.3

4,2 2 1,8 40 В.

1 1

20 20

На основании закона Ома определяем токи в ветвях, не содержащих источники тока:

I4	1	40	2 А,	I5	1	40	2 А.

	R4 20				R5 20

Определяем напряжения на зажимах источниках тока: UИТ1 J1R1 I4 R4 4,2 10 2 20 82 В;

UИТ2 1 40 В;

UИТ3 J3R3 I5R5 1,8 10 2 20 58 В.

Правильность расчета цепи проверяем с помощью баланса мощностей, для чего определяем мощности источников и мощности приемников:

PJ UИТ1 J1 UИТ2 J2 UИТ3 J3 82 4,2 ( 40) 2 58 1,8 368,8Вт,

PН J12 R1 J32 R3 I24 R4 I52 R5 4,22 10 1,82 10 22 20 22 20 368,8Вт.

Баланс сошелся.

5.3 Примеры расчета электрических цепей методом узловых потенциалов при совместной работе источников постоянной ЭДС

итока

5.3.1Методом узловых потенциалов рассчитать токи в цепи, представленной на рис. 5.3.1 и составить уравнение баланса мощностей, если: J2=10 A,

E1=200 В, R1=25 Ом, R2=R3=20 Ом, R4=30 Ом, R5=R6=10 Ом.

UИТ2

Рис. 5.3.1

РЕШЕНИЕ:

Заданная цепь содержит 4 узла и шесть ветвей в которые включены один источник ЭДС (Е1) и один источник тока (J2), при соединении которых, образуется три независимых

контура (mнез=3).

Определяем потенциалы узлов 1, 2 и 3, т.е. 1, 2 и 3 соответственно, полагая 0=0, для чего воспользуемся матричными уравнениями узловых потенциалов:

[φy]= [G]-1 [Iy].

где для данной схемы:

y	1			11			12
			1
		2			21		22
			G
		3				31		32

Определим матрицу проводимостей схемы:

I11I22 ,I33

			G11				G12	G13
	G						G22	G23	, где
			G21
			G31				G32	G33
G11 G1 G4 G6		1		1		1	0,173См,
		25	30
					10

G22 G1				G3						1						1		0,09 См,
G22 G1				G3														0,09 См,
									25						20
G33 G3				G4				G5									1			1		1	0,183См,
G33 G3				G4				G5															0,183См,
										1					20				30		10			1
G12 G21					G1					1			0,04 См, G13										G31 G4	1	0,033См,
G12 G21					G1					25			0,04 См, G13										G31 G4	30	0,033См,
										25														30
G		G			G						1			0,05См.
G	23	G	32		G		3			20				0,05См.
	23		32				3			20
Определяем обратную матрицу проводимостей:

				1
G 1				1					11						12				13
						21						22						23
						21						22						23
			G									32
						31						32							33

		0,014			8,983 10 3	4,97 10	3		7,368
1				3				3
	9		10		0,031	9,987 10			4,737
1,894 10 3	9		10		0,031	9,987 10			4,737
1,894 10 3			10	3	0,01	0,012
	5		10		0,01	0,012			2,631

Находим матрицу-столбец узловых токов:

Iy	I		E		G		8
	11			1		1
	I22	J2 E1 G1					2 .
			0					0
	I33		0					0

Тогда потенциалы узлов определим как:

1		I11	68,421
	1
2	G	I22	70,175 ,отсюда:
3		I33		31,58

4,737 2,631

16,14 5,26 .

5,263 7,368

1= – 68,421 В, 2= – 70,175 В, 3= – 31,58 В.

На основании закона Ома определяем токи в ветвях, не содержащих источники тока:


I1	1 2					E1				68,421 70,175 200					8,07 А,
				R1
											25
I3			3 2					31,58 70,175				1,93А,
			R3
						20
I4			3 1				31,58 68,421					1,228 А,
			R4
						30
I5		3			31,58				3,158А,		I6		1	68,421		6,842 А.

			R5			10							R6		10

Определяем напряжение на зажимах источника тока: UИТ J2 R2 2 10 20 70,175 200,175 В.

Правильность расчета цепи проверяем с помощью составления уравнения баланса мощностей, для чего находим мощности, развиваемые источниками и мощности, потребляемые приемниками:

PИСТ E1 I1 UИТ J2 200 8,07 270 175 4316Вт,

PН I12 R1 J22 R2 I32 R3 I42 R4 I52 R5 I62 R6

8,072

25 102 20 1,932

20 1,2282 30 3,1582 10 6,8422 10 4316Вт.

Баланс сошелся.

5.3.2 Методом узловых потенциалов рассчитать токи в цепи, представ-

ленной на рис. 5.3.2 и составить уравнение

баланса мощностей, если: J=2 A,

E2=300 В, E3=60 В, R1=R4=40 Ом, R2=20 Ом, R5=R6=25 Ом.

РЕШЕНИЕ:

В заданной цепи имеется 4 узла

UИТ

и 6 ветвей в которых включены

один источник тока (J), один

реальный источник ЭДС (Е2) и

один идеальный источник ЭДС

(Е3). Указанные элементы обра-

зуют три независимых контура

1 (mнез=3).

Так как в данной цепи

присутствует идеальный источ-

ник ЭДС, то число уравнений по

методу узловых потенциалов

Рис. 5.3.2

будет равно 2. Если принять по-

тенциал нулевой точки 0: 0=0,

то потенциал узла 1 будет из-

вестен и равен Е3 ( 1=Е3).

Проводимость ветви, содержащей идеальный источник ЭДС равна бесконечности, поэтому воспользуемся обычным подходом для метода узловых потенциалов, который заключается в составлении для узлов 2 и 3 уравнений по 1- му закону Кирхгофа:

для узла 2:

–J + I5

– I6

= 0;

для узла 3:

I2 + I4

– I5

= 0.

Выразим токи (кроме I3) по закону Ома:

3 1 E2

, I4

2 3

1 2

и подставим найденные токи, в уравнения, составленные по 1-му закону Кирхгофа:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 159 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.11.2019332.8 Кб8Пособие Древесина ее свойства и применение.doc
#
13.02.2015797.7 Кб24пособие Елукова.doc
#
22.04.20194.95 Mб8пособие по проектированию деревянных.doc
#
22.04.20195.73 Mб23пособие по проектированию каменных.doc
#
22.04.20196 Mб38пособие по проектированию стальных.doc
#
13.02.20151.71 Mб119ПОСОБИЕ ЧАСТ 1- цепи постоянного тока.pdf
#
13.02.20155.87 Mб227ПОСОБИЕ ЧАСТЬ 2 -цепи переменного тока.pdf
#
13.02.20156.29 Mб65ПОСОБИЕ ЧАСТЬ 4-переходные процессы.doc
#
13.02.2015296.45 Кб39Поток отказов.doc
#
27.09.2019391.68 Кб8почва отчёт.doc
#
13.02.201587.64 Кб48ПОЧВОВЕДЕНИЕ.docx