- •Лабораторная работа №1 «Элементарная теория погрешностей»
- •Лабораторная работа №2 «Элементарная теория погрешностей»
- •Лабораторная работа №3 «Метод половинного деления»
- •Лабораторная работа №4: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных».
- •2)Метод касательных (Ньютона).
- •Лабораторная работа №5 «Комбинированный метод»
- •Лабораторная работа №6: «Решение нелинейных уравнений методом простой итерации».
- •Метод главных элементов для решения системы уравнений
- •Лабораторная работа №8 «Метод Гаусса»
- •Лабораторная работа №9 «Метод Халецкого»
- •Порядок заполнения таблицы:
- •Лабораторная работа №10 «Метод квадратных корней»
- •Лабораторная работа №11 «Метод итераций»
- •Лабораторная работа № 12 «Метод Зейделя»
- •Лабораторная работа13. Интерполирование функции многочленом Лагранжа.
- •Лабораторная работа14. Интерполирование функции многочленом Ньютона.
- •Лабораторная работа15. Сплайновая интерполяция.
- •Лабораторная работа16 Интерполяция функции кубическим сплайном. Метод прогонки.
- •Образец выполнения задания:
- •Лабораторная работа17 Среднеквадратическое приближение
- •Образец выполнения задания:
- •Лабораторная работа18 Ортогональные многочлены Чебышева
- •Образец выполнения задания:
- •Лабораторная работа19. Вычисление определенных интегралов по формуле трапеций и формуле Симпсона, по формуле левых, правых и средних прямоугольников.
- •3) Вычислить определенный интеграл по формуле левых и правых прямоугольников.
- •4) Вычислить определенный интеграл по формуле средних прямоугольников.
- •Лабораторная работа 20. Метод Эйлера с уточнением
- •Л/р 21«Численное решение ду первого порядка методом Рунге-Кутты 4-го порядка».
- •Л/р22 «Решение ду первого порядка методом Адамса-Башфорта».
- •Лабораторная работа 24
- •4. Минимизация функции f(X) методом барьерных функций:
Л/р22 «Решение ду первого порядка методом Адамса-Башфорта».
Задание: Найти решение задачи Коши для ДУ первого порядка на равномерной сетке отрезка [a;b] методом Адамса-Башфорта с шагом 0,1:
1) ,,,
2) ,,,
3) ,,,
4) ,,,
5) ,,,
6) ,,,
Пример:
,,,
Лабораторная работа23
Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения методом конечных разностей
Задание: Используя метод конечных разностей, составить решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения с точностью
; шаг ;
Вариант №1
; ;
Вариант №2
; ;
Вариант №3
; ;
Вариант №4
; ;
Образец выполнения задания:
; ;
Разбив отрезок на части с шагом , получим четыре узловые точки с абсциссами:. Две точки являются конечными, а две другие внутренними. Данное уравнение во внутренних точках замени конечно-разностным уравнением:
.
Из краевых условий составим конечно-разностные уравнения в конечных точках:
Данная задача сводится к решению системы уравнений:
Выполнив преобразования, имеем:
Поставив значение в третье уравнение, получим для определения остальных неизвестных систему:
Для решения полученной системы воспользуемся, например, схемой «главных элементов».
Свободные члены |
| ||||
-0,00113507 0526788 -1 |
-2,9 375,9 0 |
4 -841 391,6 |
-1 464,1 -881 |
0,1 4,2 -1045,66 |
0,2 3,2 -1535,06 |
0,00560179 -1 |
-2,9 375,9 |
3,55551 -643,7098 |
- - |
1,28690 -546,6411 |
1,94240 -805,4511 |
-1 |
-0,79429 |
- |
- |
-1,77527 |
-2,56957 |
|
2,2350 3,2351 |
2,1849 3,1849 |
2,1580 3,1580 |
|
|
Ответ:
x |
y |
x |
y |
2.0 2.1 |
2.235 2.185 |
2.2 2.3 |
2.185 2.150 |
Лабораторная работа 24
«Численные методы поиска минимума функции нескольких переменных»
1.Минимизировать функцию в Е^2 методом градиентного спуска с дроблением шага (=0,05) 1)f(x,y)=2x+y+ 2) f(x,y)=1.5x+1.1y+ 3) f(x,y)=0.5x+2y+ 4) f(x,y)=1.8x+0.4y+ 5) f(x,y)=3x+2y+
Пример:
Следим, чтобы выполнялось условие монотонности < и вычисляем, пока не будет выполняться условие В качестве начального приближения и =1. k=0; ; ; ; =1; =-=(0, 0) – (1, 1) =(-1 , -1) > - условие монотонности нарушено Уменьшаем в 2 раза =0.5 =– 0,5= > - условие монотонности нарушено Уменьшаем в 2 раза =0.25 =(0, 0) –0.25 (1,1)=(-0,25,-0,25) < - условие монотонности выполняется Условие останова не выполнено. =(-0,25,-0,25), =0,25 =(-0,25,-0,25)-0,25=(-0,277,-0,152) < - условие монотонности выполняется Условие останова не выполнено. =(-0,277,-0,152)=0,25 =(-0,277,-0,152)-0.25=(-0.301,-0.162) < - условие монотонности выполняется Условие останова выполнено. =(-0.301,-0.162) , 2.Минимизировать квадратичную функцию в Е^2 методом наискорейшего спуска(=0,01):
Квадратичная функция имеет вид: f(x)=1/2(Ax,x)-(b,x); A-симметричная, положительно определенная матрица n*n, x Е^2,b Е^2. Ax=; (Ax,x)= +; (b,x)= Для случая Е^2 Пример: В качестве начального приближения A=; b= то
=0,227273
=– 0,227273= = Условие останова не выполнено =0.625
=– 0.625= = Условие останова выполнено. = , 1) A=; b= 2 )A=; b= 3 )A=; b= 4 )A=; b= 5) A=; b=
3. Минимизировать квадратичную функцию в Е^2 методом сопряжённых градиентов:
Примеры:
1.
2.
3.
4.
5.
Квадратичная функция имеет вид: f(x)=1/2(Ax,x)-(b,x); A-симметричная, положительно определенная матрица n*n, x Е^2,b Е^2. Ax=; (Ax,x)= +; (b,x)= Пример:
f(x) – квадратичная функция в E^2. Поэтому x* должна быть найдена после 2-х итераций метода сопряжённых градиентов.
.
.
.
Пусть начальное приближение .
1-ая итерация: k=0
1.
2.
Решаем задачу минимизации по α. Из условия минимума получим . Отсюда находим
3.
4.
5.
Условие остановки не выполнено.
2-ая итерация: k=1
6.
7.
8.
Решаем задачу минимизации по α. Из условия минимума получим
9.
10.
11. , тогда x*=– решение задачи.