- •Лабораторная работа №1 «Элементарная теория погрешностей»
- •Лабораторная работа №2 «Элементарная теория погрешностей»
- •Лабораторная работа №3 «Метод половинного деления»
- •Лабораторная работа №4: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных».
- •2)Метод касательных (Ньютона).
- •Лабораторная работа №5 «Комбинированный метод»
- •Лабораторная работа №6: «Решение нелинейных уравнений методом простой итерации».
- •Метод главных элементов для решения системы уравнений
- •Лабораторная работа №8 «Метод Гаусса»
- •Лабораторная работа №9 «Метод Халецкого»
- •Порядок заполнения таблицы:
- •Лабораторная работа №10 «Метод квадратных корней»
- •Лабораторная работа №11 «Метод итераций»
- •Лабораторная работа № 12 «Метод Зейделя»
- •Лабораторная работа13. Интерполирование функции многочленом Лагранжа.
- •Лабораторная работа14. Интерполирование функции многочленом Ньютона.
- •Лабораторная работа15. Сплайновая интерполяция.
- •Лабораторная работа16 Интерполяция функции кубическим сплайном. Метод прогонки.
- •Образец выполнения задания:
- •Лабораторная работа17 Среднеквадратическое приближение
- •Образец выполнения задания:
- •Лабораторная работа18 Ортогональные многочлены Чебышева
- •Образец выполнения задания:
- •Лабораторная работа19. Вычисление определенных интегралов по формуле трапеций и формуле Симпсона, по формуле левых, правых и средних прямоугольников.
- •3) Вычислить определенный интеграл по формуле левых и правых прямоугольников.
- •4) Вычислить определенный интеграл по формуле средних прямоугольников.
- •Лабораторная работа 20. Метод Эйлера с уточнением
- •Л/р 21«Численное решение ду первого порядка методом Рунге-Кутты 4-го порядка».
- •Л/р22 «Решение ду первого порядка методом Адамса-Башфорта».
- •Лабораторная работа 24
- •4. Минимизация функции f(X) методом барьерных функций:
Лабораторная работа19. Вычисление определенных интегралов по формуле трапеций и формуле Симпсона, по формуле левых, правых и средних прямоугольников.
1. Вычислить интеграл по формуле трапеций с тремя десятичными знаками.
Решение:
Для достижения заданной степени точности необходимо определить значение n max,
чтобы: (*) Здесь a=0.7; b=1,3; / f ”(x)/,
где f (x)=1/
Находим: f ’(x)=, f ”(x)=;
Положим M2=7, тогда неравенство (*) примет вид
Откуда n2>252, т.е. n>16; возьмем n=20, Вычисление интеграла производим по формуле:
где: h=(b-a)/n=0,6/20=0,03, yi=y(xi)=1/; xi=0,7+ih (i=0,1,2,…,20) Все расчеты произведены в таблице:
Таблица 1.
i |
xi |
xi2 |
2xi2+0,3 |
y0,y20 |
y1,…,y19 | |
0 |
0,7 |
0,49 |
1,28 |
1,131371 |
0,883883 |
|
1 |
0,73 |
0,5329 |
1,3658 |
1,168674 |
|
0,85567 |
2 |
0,76 |
0,5776 |
1,4552 |
1,206317 |
|
0,82897 |
3 |
0,79 |
0,6241 |
1,5482 |
1,244267 |
|
0,803686 |
4 |
0,82 |
0,6724 |
1,6448 |
1,282498 |
|
0,779729 |
5 |
0,85 |
0,7225 |
1,745 |
1,320984 |
|
0,757011 |
6 |
0,88 |
0,7744 |
1,8488 |
1,359706 |
|
0,735453 |
7 |
0,91 |
0,8281 |
1,9562 |
1,398642 |
|
0,714979 |
8 |
0,94 |
0,8836 |
2,0672 |
1,437776 |
|
0,695519 |
9 |
0,97 |
0,9409 |
2,1818 |
1,477092 |
|
0,677006 |
10 |
1 |
1 |
2,3 |
1,516575 |
|
0,65938 |
11 |
1,03 |
1,0609 |
2,4218 |
1,556213 |
|
0,642585 |
12 |
1,06 |
1,1236 |
2,5472 |
1,595995 |
|
0,626568 |
13 |
1,09 |
1,1881 |
2,6762 |
1,63591 |
|
0,611281 |
14 |
1,12 |
1,2544 |
2,8088 |
1,675947 |
|
0,596677 |
15 |
1,15 |
1,3225 |
2,945 |
1,7161 |
|
0,582717 |
16 |
1,18 |
1,3924 |
3,0848 |
1,75636 |
|
0,569359 |
17 |
1,21 |
1,4641 |
3,2282 |
1,796719 |
|
0,55657 |
18 |
1,24 |
1,5376 |
3,3752 |
1,837172 |
|
0,544315 |
19 |
1,27 |
1,6129 |
3,5258 |
1,877711 |
|
0,532563 |
20 |
1,3 |
1,69 |
3,68 |
1,918333 |
0,521286 |
|
|
|
|
|
1,40517 |
12,77004 |
Таким образом,
I=0,03 (+12,77004)=0,404180,404
2) Вычислить интеграл по формуле Симпсона с тремя десятичными знаками. Пусть n=8, поэтому h=(b-a)/n=(1,6-1,2)/8=0,05.
Вычислительная формула:
I=(y0+4y1+2y2+4y3+2y4+4y5+2y6+4y7+y8), где yi=y(xi)=, xi=1,2+ih
Вычисление значений функции, а также сложение значений функции, имеющих одинаковые коэффициенты в формуле, производим в таблице 2.
Таблица 2.
i |
xi |
2xi-2,l |
sin (2xi-2,1) |
xi2+1 |
y0,y8 |
y1, y3, y5, y7 |
y2, y4, y6 |
0 |
1,20 |
0,30 |
0,29552 |
2,44 |
0,1211 |
|
|
1 |
1,25 |
0,40 |
0,38942 |
2,5625 |
|
0,1520 |
|
2 |
1,30 |
0,50 |
0,4794 |
2,69 |
|
|
0,1782 |
3 |
1,35 |
0,60 |
0,5646 |
2,8225 |
|
0,2000 |
|
4 |
1,40 |
0,70 |
0,6442 |
2,96 |
|
|
0,2176 |
5 |
1,45 |
0,80 |
0,7174 |
3,1024 |
|
0,2312 |
|
6 |
1,50 |
0,90 |
0,7833 |
3,25 |
|
|
0,2410 |
7 |
1,55 |
1,00 |
0,8415 |
3,4025 |
|
0,2473 |
|
8 |
1,60 |
1,10 |
0.8912 |
3,56 |
0,2503 |
|
|
|
|
|
|
|
0,3713 |
0,8305 |
0,6368 |
Следовательно, I (0,3714+4 •0,8305+2 • 0,6368) 0,88278.Для оценки точности полученного результата составим таблицу конечных разностей функций до разностей четвертого порядка (табл. 3).
Так как max |4yi|=0,0001, то остаточный член формулы
Rост<
Вычисления производились с четырьмя значащими цифрами, а потому величина остаточного члена на погрешность не влияет.
Погрешность вычислений можно оценить из соотношения
I = (b -a) •у < 0,4 • 0,0001 < 0,00005. Значит, полученные четыре десятичных знака верны.
Таблица 3.
I |
уi |
yi |
2yi |
3yi |
4yi |
0 |
0,1211 |
0,0309 |
-0,0047 |
0,0003 |
-0,0001 |
1 |
0,1520 |
0,0262 |
-0,0044 |
0,0002 |
0.0000 |
2 |
0,1782 |
0,0218 |
-0,0042 |
0,0002 |
0.0000 |
3 |
0,2000 |
0,0176 |
-0,0040 |
0,0002 |
0,0001 |
4 |
0,2176 |
0,0136 |
-0,0038 |
0,0003 |
-0,0001 |
5 |
0,2312 |
0.0098 |
-0,0035 |
0,0002 |
|
6 |
0,2410 |
0,0063 |
-0,0033 |
|
|
7 |
0,2473 |
0,0030 |
|
|
|
8 |
0,2503 |
|
|
|
|
Самостоятельно:
1)
2)
3)
4)