eka
.pdf
где А = const и k = 2·π/λ= const – волновое число; i = 
−1 – мнимая единица.
Решение удовлетворяет уравнению, если энергия частицы имеет
вид
|
k 2 |
|
p2 |
m υ2 |
(61), |
|
E = |
|
= |
|
= |
|
|
2 m |
2 m |
2 |
||||
то есть энергия свободной квантовой частицы совпадает с классической кинетической энергией и может меняться непрерывно от нуля до бесконечности.
Общее решение:
ψ (x) = A e−i (ω t −k x ) |
(62). |
Эта функция представляет собой плоскую монохроматическую волну де Бройля.
Вероятность обнаружить частицу в точке х
Ψ(x, t) |
|
2 = Ψ(x, t) Ψ* (x, t) = A2 |
(63) |
|
постоянна во всем пространстве, что можно интерпретировать, как движение с постоянной скоростью.
2. Туннельный эффект
Туннельный эффект – проникновение частицы через потенциальный барьер, высота которого больше полной энергии частицы. Квантовая частица массой m , двигаясь вдоль оси х (рис.3.4.1), встречает на своем пути потенциальный барьер, высота которого больше ее полной энергии U0 > E . В области x > 0 , куда неспособна проникнуть клас-
сическая частица, уравнение Шредингера имеет вид:
|
|
|
|
|
∂ 2ψ (x) =η2ψ (x) |
(64), |
||||
|
|
|
|
|
∂ x2 |
|
||||
где при x > 0 |
|
|||||||||
η = |
1 |
|
|
|
|
> 0 |
(65). |
|||
2m (U0 − E) |
||||||||||
|
||||||||||
|
|
|
||||||||
Частным решением этого уравнения (64) является |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
ψ (x) = A e−η x |
(66), |
||||
0 |
|
|
||||||||
где х – глубина проникновения частицы. |
|
|||||||||
Вероятность обнаружить частицу за барьером |
|
|||||||||
|
|
|
|
ψ (x) |
|
2 = A2 e−2 η d |
(67). |
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
||||
Таким образом, квантовая частица имеет вероятность проникнуть за барьер, непреодолимый для классической частицы.
Туннельный эффект является специфическим квантовым эффектом. Прохождение частицы сквозь область, в которую, согласно законам классической механики, она не может проникнуть, можно пояснить со-
41
отношением неопределенностей. Неопределенность импульса р на от-
резке х = l составляет p > h/l. Связанная с этим разбросом в значениях импульса кинетическая энергия ( р)2/(2·m) может оказаться достаточной для того, чтобы полная энергия частицы оказалась больше потенциальной.
Рис. 17. Зависимость ψ
2 (x) для туннельного эффекта
Основы теории туннельных переходов заложены работами Л. И. Мандельштама и М. А. Леонтовича (1903—1981). Туннельное прохождение сквозь потенциальный барьер лежит в основе многих явлений физики твердого тела (например, явления в контактном слое на границе двух полупроводников), атомной и ядерной физики (например, α- распад, протекание термоядерных реакций).
3. Потенциальный ящик
Потенциальный ящик – это область одномерного пространства, ограниченная двумя бесконечными барьерами, за которые не может проникать ни классическая, ни квантовая частица.
а). Классическая частица движется в ящике с постоянной скоростью или покоится. Полная энергия частицы – кинетическая энергия – может принимать любые значения (в том числе и ноль). То есть допускается непрерывное изменение энергии (рис.18).
б). Поведение квантовой частицы описывается уравнением Шредингера
d 2ψ (x) |
+ |
4 π 2 |
ψ (x) = 0 |
(68). |
|
d x2 |
λ2 |
||||
|
|
|
Решением этого уравнения (аналогично решению дифференциального уравнения гармонических колебаний) является гармоническая функция
ψ (x) = Asin(2 π |
x |
) + A cos(2 π |
x |
) |
(69). |
|
|
|
|||||
|
λ |
1 |
λ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
42 |
|
|
|
|
||
Так как вероятность обнаружить частицу в точках |
x = 0 |
и x = a |
|||||
равна нулю, то ψ (0) = 0, ψ (a) = 0 . |
|
|
|
|
|||
Для выполнения первого условия ψ (0) = Asin(0) + A1 cos(0) = 0 |
мы должны |
||||||
потребовать A1 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
Рис.18. Классическая Рис.19.Энергетические |
|
Рис. 20. Плотность |
|||||
частица в ящике |
уровни для квантовой |
вероятности для кванто- |
|||||
|
частицы в ящике |
|
вой частицы в ящике |
||||
Для выполнения второго условия ψ (a) = Asin(2 π a ) = 0 |
мы должны |
||||||
|
|
|
|
|
λ |
|
|
потребовать 2 π a = (n +1) π |
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
= 2 a ; n = 0,1, 2,...∞ |
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
(70). |
||
|
n |
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, длина волны де Бройля λ может принимать в по- |
|||||||
тенциальном ящике только ряд дискретных значений. |
|
|
|||||
Превращение непрерывной функции в дискретную называется её |
|||||||
квантованием (квант – порция). n − квантовое число – определяет со- |
|||||||
стояние частицы, то есть |
её волновую функцию ψn ( x) |
и |
энергию |
||||
(энергетический уровень) En . На рис.19 показаны волновые функции и |
|||||||
энергетические уровни для n = 0, 1, 2 |
|
|
|
|
|||
ψ 0 (x) = Asin(2 π |
x ); ψ |
1 |
(x) = Asin(2 π x ) ; ψ |
2 (x) = Asin(3 π x ) |
(71). |
||
2 |
a |
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
43 |
|
|
|
|
На рис. 20 приведены функции плотности вероятности Ψ(x) 2 и энергетические уровни En . В состояниях с n > 0 появляются узлы – точ-
ки, в которых частица не может находиться. Поэтому она излучает часть энергии в виде фотона с энергией h ν = Ek − En , k > n и переходит в ниж-
нее состояние, в котором в этой точке отсутствуют узлы. При поглощении энергии, происходит обратный процесс – частица переходит с нижнего уровня на верхний (k < n) . Таким образом, перекрытие волновых функций (рис. 20) обеспечивает квантовые переходы частиц из одного состояния в другое.
Так как внутри ящика потенциальная энергия U (x) = 0 , то полная
энергия частицы – это ее кинетическая энергия E = |
p2 |
||||||||
2 m |
|||||||||
p = |
h |
и λ = |
2 a |
, получаем |
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
||||
|
n |
n +1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
= |
h2 (n +1)2 |
, n = 0,1, 2,...∞ |
|
|
|
|
|
n |
8 m a2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
. Учитывая, что
(72).
Энергия частицы, движущейся в ограниченном пространстве, может меняться только дискретно. Значения этой энергии называются энергетическими уровнями.
Энергия квантовой частицы в соответствии с принципом неопределенностей не может быть равной нулю. Действительно, на нулевом
|
|
h2 |
|
уровне частица имеет энергию |
E0 = |
|
, то есть совершает так назы- |
8 m a2 |
|||
ваемые нулевые колебания. Поэтому, в частности, третий закон термодинамики гласит: «Не достижима температура, равная абсолютному нулю».
44
Глава 2. Элементы атомной физики
2.1. Опыт Резерфорда. Ядерная модель атома
Первая попытка создания модели атома на основе накопленных экспериментальных данных принадлежит Дж. Томсону (1903 г.). Он считал, что атом представляет собой электронейтральную систему шарообразной формы радиусом примерно равным 10–10 м. Положительный заряд атома равномерно распределен по всему объему шара, а отрицательно заряженные электроны находятся внутри него (рис. 21).
Рис. 21. Модель атома Д. Томсона
Для объяснения линейчатых спектров испускания атомов Томсон пытался определить расположение электронов в атоме и рассчитать частоты их колебаний около положений равновесия. Однако эти попытки не увенчались успехом. Через несколько лет в опытах великого английского физика Э. Резерфорда было доказано, что модель Томсона неверна.
Первые прямые эксперименты по исследованию внутренней структуры атомов были выполнены Э. Резерфордом и его сотрудниками Э. Марсденом и Х. Гейгером в 1909 – 1911 годах. Резерфорд предложил применить зондирование атома с помощью α-частиц, которые возникают при радиоактивном распаде радия и некоторых других элементов. Масса α-частиц приблизительно в 7300 раз больше массы электрона, а положительный заряд равен удвоенному элементарному заряду. В своих опытах Резерфорд использовал α-частицы с кинетической энергией около 5 МэВ (скорость таких частиц очень велика – порядка 107 м/с, но она все же значительно меньше скорости света). α-частицы – это полностью ионизированные атомы гелия. Они были открыты Резерфордом в 1899 году при изучении явления радиоактивности. Этими частицами Резерфорд бомбардировал атомы тяжелых элементов (золото, серебро, медь и др.). Электроны, входящие в состав атомов, вследствие малой массы не могут заметно изменить траекторию α-частицы. Рассеяние, то есть изменение направления движения α-частиц, может вызвать только
45
тяжелая положительно заряженная часть атома. Схема опыта Резерфорда представлена на рис. 22, где K – свинцовый контейнер с радиоактивным веществом, Э – экран, покрытый сернистым цинком, Ф – золотая фольга, M – микроскоп.
Рис. 22. Схема опыта Резерфорда по рассеянию α-частиц
От радиоактивного источника, заключенного в свинцовый контейнер, α-частицы направлялись на тонкую металлическую фольгу. Рас-
сеянные частицы попадали на экран, покрытый слоем кристаллов сульфида цинка, способных светиться под ударами быстрых заряженных частиц. Сцинтилляции (вспышки) на экране наблюдались глазом с помощью микроскопа. Наблюдения рассеянных α-частиц в опыте Резерфорда можно было проводить под различными углами φ к первоначальному направлению пучка. Было обнаружено, что большинство α-частиц проходит через тонкий слой металла, практически не испытывая отклонения. Однако небольшая часть частиц отклоняется на значительные углы, превышающие 30°. Очень редкие α-частицы (приблизительно одна на десять тысяч) испытывали отклонение на углы, близкие к 180°.
Этот результат был совершенно неожиданным даже для Резерфорда. Он находился в резком противоречии с моделью атома Томсона, согласно которой положительный заряд распределен по всему объему атома. При таком распределении положительный заряд не может создать сильное электрическое поле, способное отбросить α-частицы назад. Электрическое поле однородного заряженного шара максимально на его поверхности и убывает до нуля по мере приближения к центру шара. Если бы радиус шара, в котором сосредоточен весь положительный заряд атома, уменьшился в n раз, то максимальная сила отталкивания, действующая на α-частицу по закону Кулона, возросла бы в n2 раз. Следовательно, при достаточно большом значении n α-частицы могли бы испытать рассеяние на большие углы вплоть до 180°. Эти соображения
46
привели Резерфорда к выводу, что атом почти пустой, и весь его положительный заряд сосредоточен в малом объеме. Эту часть атома Резерфорд назвал атомным ядром. Так возникла ядерная модель атома. Рис. 23 иллюстрирует рассеяние α-частицы в атоме Томсона (рис.23 (а)) и в атоме Резерфорда (рис.23 (b)).
Рис. 23. Рассеяние α-частицы в атоме Томсона и в атоме Резерфорда
Таким образом, опыты Резерфорда и его сотрудников привели к выводу, что в центре атома находится плотное положительно заря-
женное ядро, диаметр которого не превышает 10–14 –10 –15 м. Это ядро
занимает только 10–12 часть полного объема атома, но содержит весь положительный заряд и не менее 99,95 % его массы. Веществу, со-
ставляющему ядро атома, следовало приписать колоссальную плот-
ность порядка ρ ≈ 1015 г/см3. Заряд ядра должен быть равен суммарному заряду всех электронов, входящих в состав атома. Впоследст-
вии удалось установить, что если заряд электрона принять за единицу, то заряд ядра в точности равен номеру данного элемента в таблице Менделеева.
Радикальные выводы о строении атома, следовавшие из опытов Резерфорда, заставляли многих ученых сомневаться в их справедливости. Не исключением был и сам Резерфорд, опубликовавший результаты своих исследований только через два года (в 1911 г.) после выполнения первых экспериментов. Опираясь на классические представления о движении микрочастиц, Резерфорд предложил планетарную модель атома. Согласно этой модели, в центре атома располагается положи-
тельно заряженное ядро, в котором сосредоточена почти вся масса атома. Атом в целом нейтрален. Вокруг ядра, подобно планетам,
вращаются под действием кулоновских сил со стороны ядра элек-
троны (рис. 24). На рис. 24 показаны круговые орбиты четырех электронов. Находиться в состоянии покоя электроны не могут, так как они упали бы на ядро.
Планетарная модель атома, предложенная Резерфордом явилась крупным шагом в развитии знаний о строении атома. Она была совершенно необходимой для объяснения опытов по рассеянию α-частиц.
47
Рис. 24. Планетарная модель атома Резерфорда
Однако она оказалась неспособной объяснить сам факт длительного существования атома, то есть его устойчивость. По законам классической электродинамики, движущийся с ускорением заряд должен излучать электромагнитные волны, уносящие энергию. За короткое время (порядка 10–8 с) все электроны в атоме Резерфорда должны растратить всю свою энергию и упасть на ядро. То, что этого не происходит в устойчивых состояниях атома, показывает, что внутренние процессы в атоме не подчиняются классическим законам.
2.2. Квантовые постулаты Бора
Планетарная модель атома, предложенная Резерфордом, – это попытка применения классических представлений о движении тел к явлениям атомных масштабов. Эта попытка оказалась несостоятельной. Классический атом неустойчив. Электроны, движущиеся по орбите с ускорением, должны неизбежно упасть на ядро, растратив всю энергию на излучение электромагнитных волн (рис. 25).
Следующий шаг в развитии представлений об устройстве атома сделал в 1913 году выдающийся датский физик Н. Бор. Проанализировав всю совокупность опытных фактов, Бор пришел к выводу, что при описании поведения атомных систем следует отказаться от многих представлений классической физики. Он сформулировал постулаты, которым должна удовлетворять новая теория о строении атомов.
48
Рис. 25. Неустойчивость классического атома
Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний) гла-
сит: атомная система может находится только в особых стационар-
ных или квантовых состояниях, каждому из которых соответствует определенная энергия En. В стационарных состояниях атом не из-
лучает.
Этот постулат находится в явном противоречии с классической механикой, согласно которой энергия движущегося электрона может быть любой. Он находится в противоречии и с электродинамикой, так как допускает возможность ускоренного движения электронов без излучения электромагнитных волн. Согласно первому постулату Бора, атом характеризуется системой энергетических уровней, каждый из которых соответствует определенному стационарному состоянию (рис. 26). Механическая энергия электрона, движущегося по замкнутой траектории вокруг положительно заряженного ядра, отрицательна. Поэтому всем стационарным состояниям соответствуют значения энергии En < 0. При En ≥ 0 электрон удаляется от ядра (ионизация). Величина |E1| называется энергией ионизации. Состояние с энергией E1 называется основным
состоянием атома.
Рис. 26. Энергетические уровни атома и условное изображение процессов поглощения и испускания фотонов
Второй постулат Бора (правило частот) формулируется следую-
щим образом: при переходе атома из одного стационарного состоя-
49
ния с энергией En в другое стационарное состояние с энергией Em излучается или поглощается квант, энергия которого равна разности энергий стационарных состояний
h·νnm = En – Em
где h – постоянная Планка.
Отсюда можно выразить частоту излучения
νnm = En − Em
h
(73),
(74).
Второй постулат Бора также противоречит электродинамике Максвелла, так как частота излучения определяется только изменением энергии атома и никак не зависит от характера движения электрона.
Теория Бора не отвергла полностью законы классической физики при описании поведения атомных систем. В ней сохранились представления об орбитальном движении электронов в кулоновском поле ядра. Классическая ядерная модель атома Резерфорда была дополнена в теории Бора идеей о квантовании электронных орбит. Поэтому теорию Бора иногда называют полуклассической.
2.3. Атом водорода. Линейчатые спектры
Простейший из атомов, атом водорода. Ко времени создания теории Бора атом водорода был хорошо изучен экспериментально. Он содержит единственный электрон. Ядром атома является протон – положительно заряженная частица, заряд которой равен по модулю заряду электрона, а масса в 1836 раз превышает массу электрона. Ещё в начале XIX века были открыты дискретные спектральные линии в излучении атома водорода в видимой области (так называемый линейчатый спектр). Спектры излучения атомов – важнейшие характеристики их оптических свойств – состоят из отдельных линий или групп близкорасположенных линий. Каждому элементу присущ свой, характерный только для него, спектр излучения, подобный «отпечаткам пальцев», позволяющим определить элемент, которому он принадлежит. Вид линейчатого спектра не зависит от способа возбуждения атома.
К сожалению, модель атома Резерфорда не смогла объяснить наблюдаемые на опыте спектры атомов. Оптические спектры атомов не непрерывны, как это следует из теории Резерфорда, а состоят из узких спектральных линий. Это означает, что атомы излучают и поглощают электромагнитные волны лишь определённых частот, характерных для данного химического элемента.
Как уже было отмечено выше, наиболее изученным спектром излучения является спектр излучения атома водорода.
50