Математика.-6

формуле Bx Ax b . При b 0 B оператор, полученный из линейного оператора A сдвигом на вектор b. При b = 0 оператор B совпадает с оператором A. Найдем условия сжимаемости оператора B при различных метриках в про-

странстве Rn . Для R1n имеем

(Bx, By) (Ax b, Ay b)

Таким образом, мы получили условие сжимаемости оператора B, а следовательно, и оператора A.

201

Соответствующие вычисления предлагается проделать самостоятельно или посмотреть в [26].

Подводя итоги, получаем, что если систему n линейных уравнений с n неизвестными удается записать в форме x Ax bс матрицей A, удовлетворяющей одному из полученных условий сжимаемости оператора A, то, по теореме о сжимающем операторе, последовательные приближения xn 1 Axn b сходятся к точке x0 , являющейся решением

данной системы линейных уравнений. Соответствующий процесс называется итерационным.

На этой идее основаны методы простой итерации и его модификации (метод Зейделя).

Пусть теперь функция f (x, y) удовлетворяет условиям

теоремы существования и единственности (см. п.1.4) решения задачи Коши для дифференциального уравнения y f (x, y) с начальными условиями y(x0 ) y0 , то есть не-

прерывна по совокупности переменных в некоторой области D и удовлетворяет в ней условию Липшица по y . Перейдём к эквивалентному интегральному уравнению

x

y y0 f (x, y)dx . Рассмотрим оператор, действующий по

x0

x

формуле By(x) y0 f (t, y(t))dt . Этот оператор переводит

x0

непрерывную функцию в непрерывную. Получим условия сжимаемости оператора B в метрике пространства C[a, b].

Имеем (By1, By2 ) max y1(x) y2 (x) x [a,b]

x

max ( f (t, y1(t)) f (t, y2 (t)))dt

x [a,b] x0

202

Таким образом, если L b a 1, то оператор B сжимающий. Тогда, по теореме о сжимающем операторе, решение

и единственно на отрезке [a,b] .

203

Приложение 3

Таблица интегралов

204

205

3.dxx d (ln x) d (ln x b) 1a d (a ln x b) ;

4.e x dx d(e x ) d(e x b) ;

5.cos xdx d sin x d (sin x b) ;

6.sin xdx d cos x d(cos x b) ;

206

ЛИТЕРАТУРА

1.Горбанев Н.Н. Высшая математика I. Линейная ал-

гебра. Аналитическая геометрия: учеб. пособие. /Н.Н. Горбанев, А.А. Ельцов, Л.И. Магазинников – 2-е изд., перераб. и доп.–Томск: Томск. гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 2001.

2.Магазинников Л.И. Линейная алгебра и аналитиче-

ская геометрия/ Л.И Магазинников, А.Л. Магазинникова. – Томск: Томск. гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 2011.

3.Ельцов А.А. Высшая математика I. Дифференциаль-

ное исчисление./ А.А. Ельцов, Г.А. Ельцова, Л.И. Магазинников – Томск: Томск. гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 2001.

4.Ельцов А.А. Интегральное исчисление./ А.А. Ельцов,

Т.А. Ельцова – Томск: Томск. ун-т систем управления

ирадиоэлектроники, 2013.

5.Ельцов А.А. Дифференциальные уравнения./ А.А.

Ельцов, Т.А. Ельцова – Томск: Томск. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 2013.

6.Ельцов А.А. Практикум по интегральному исчисле-

нию и дифференциальным уравнениям./ А.А. Ельцов, Т.А. Ельцова – Томск: Томск. ун-т систем управления

ирадиоэлектроники, 2005.

7.Бугров Я. С.Высшая математика: Учеб. для вузов: В 3 т. /Я. С. Бугров, С М. Никольский; Под ред. В. А. Садовничего. — 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2004. – (Высшее образование: Современный учебник).

Т 3: Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного.

8.Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциаль-

ных уравнений. – М.: Высшая школа, 1991.

9.Лизоркин П.И. Курс дифференциальных и интеграль-

ных уравнений с дополнительными главами анализа.

– М.: Наука, 1981.

10.Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновен-

ных дифференциальных уравнений. – 3-е изд., испр. и

207

доп. – М.: Высшая школа, 1967.

11.Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функ-

ционального анализа./ А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин

–7-е изд., -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.

12.Краснов М.Л. Интегральные уравнения. – М.: Наука,

1975.

13.Карташев А.П. Обыкновенные дифференциальные

уравнения и основы вариационного исчисления: учеб. пособие для вузов./ А.П. Карташев, Б.Л. Рождественский – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1986.

14.Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных

дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1964.

15.Понтрягин Л.С. Дифференциальные уравнения и их

приложения. – М.: Наука, 1988.

16.Иванов В.К. Теория линейных некорректных задач и

её приложения./ В.К. Иванов, В.В. Васин, В.П. Танана

–М.: Наука, 1978.

17.Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач./

А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин – М.: Наука, 1979.

18.Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости. – М.:

Наука, 1987.

19.Ахтямов А.М. Математика для социологов и эконо-

мистов – М.: Физматлит, 2004.

20.Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Физматгиз,

1963.

21.Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений./ И.С. Градштейн, И.М. Рыжик – М.:

Наука, 1971.

22.Демидович Б.П. Численные методы анализа./ Б.П.

Демидович, И.А. Марон, Э.З. Шувалова – М.: Наука,

1967.

23.Демидович Б.П. Основы вычислительной математи-

ки./ Б.П. Демидович, И.А. Марон – М.: Наука, 1970.

24.Келли Дж.Л. Общая топология. – М.: Наука, 1968.

25.Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной (введение в теорию интеграла). – М.:

Наука, 1973. – 350с.

208

26.Натансон И.П. Теория функций вещественной пере-

менной. – М.: Наука, 1974.

27.Будак Б.Н. Кратные интегралы и ряды./ Б.Н. Будак,

С.В. Фомин – М.: Наука, 1967.

28.Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа

для втузов./ А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович – М.:

Наука, 1969.

29.Ефимов А.В. Математический анализ (специальные разделы). Ч.1. Общие функциональные ряды и их приложение: Учеб. Пособие для втузов – М.: Высшая школа, 1980. – 279 с.

30.Магазинников Л.И. Высшая математика 3. Функции комплексного переменного. Ряды. Интегральные преобразования. – Томск: Изд-во ТУСУРа, 2002. – 206 с.

31.Магазинников Л.И. Высшая математика. Специальные разделы (для автоматизированной технологии обучения). Ч. 1./ Л.И. Магазинников, Г.Н. Глазов – Томск: Изд-во Том.ун-та, 1992. – 198 с.

32.Магазинников Л.И. Высшая математика. Специальные разделы (для автоматизированной технологии обучения). Ч. 2. / Л.И. Магазинников, Г.Н. Глазов – Томск: Изд-во Том.ун-та, 1992. – 193 с.

209