Математика.-6
.pdfПризнак Даламбера в непредельной форме. Если на-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
чиная с некоторого номера |
|
|
|
q 1 , то ряд an |
абсо- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
an |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|||||||||
лютно сходится, если |
|
an 1 |
|
|
q 1, то ряд расходится. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
an |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Доказательство. Если |
|
an 1 |
|
|
|
q 1 , то |
|
|
|
a |
|
q |
|
a |
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
n |
|
|
|||||
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
an |
|
|
an 1 |
|
, …, |
|
a2 |
|
|
a1 |
|
. Соединяя вместе, получаем |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
q |
|
a |
|
|
q2 |
|
a |
|
... qn |
|
a |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Ряд qn 1 |
|
a1 |
|
есть сумма членов геометрической про- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
и знаменателем 0 q 1 , сле- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
грессии с первым членом |
|
a1 |
довательно, сходится. Поэтому по признаку сравнения исходный ряд сходится абсолютно.
|
an 1 |
q 1 |
|
|
|
и поэтому lim |
|
a |
|
0 и |
||
Если |
, то |
a |
a |
|
|
|||||||
|
||||||||||||
|
an |
|
|
n 1 |
|
n |
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из-за нарушения необходимого признака сходимости ряд расходится.
Признак Даламбера в предельной форме. Если
|
an 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
q , то при |
q 1 ряд |
an |
абсолютно сходится, |
||||||
a |
||||||||||
n |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
при q 1 ряд расходится (при |
q 1 |
lim |
|
an |
|
0 ), при q 1 |
||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
признак Даламбера ответа не даёт, то есть имеются как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых q 1 .
Доказательство. Так как lim |
an 1 |
q , то то для любого |
||
a |
||||
|
n |
|
||
|
|
n |
|
|
0 существует номер |
N ( ) такой, что для всех n N ( ) |
131
выполнено неравенство |
an 1 |
|
q |
, или |
|
an 1 |
q , |
||
|
an |
an |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
an 1 |
|
|
|
|
|
|||
следовательно q |
|
q . Если |
q 1 , |
то |
можем |
||||
an |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
взять 0 таким, чтобы |
|
q было меньше 1 . Тогда по |
признаку Даламбера в непредельной (конечной) форме ряд абсолютно сходится. Если q 1 , то можем взять 0 та-
ким, чтобы q было больше 1 . Тогда по признаку Даламбера в непредельной (конечной) форме ряд расходится.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 ! |
|
|
|
|
||||
Пример 9. Выяснить сходимость ряда |
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
(n 4) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Применяя признак Даламбера, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
(n 2)! |
|
|
n 1 ! |
|
|
|
|
(n 2)!(n 4)n |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
lim |
n 1 |
lim |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
||||||||||||||||
|
an |
|
|
|
(n 5) |
|
(n 4) |
|
|
|
|
(n 5) |
|
|
|
||||||||||||||||
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
(n 1)! |
|
||||||||||||||||
|
|
(n 2)(n 4)n |
|
|
|
|
|
(n 2) |
|
n 4 n |
|
|
|||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
(n 5) |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 5) |
|
n 5 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
(n 2) |
|
|
|
|
n 4 |
n |
|
|
|
|
n 4 |
n |
|
|
|
||||||||||||
|
|
lim |
|
|
lim |
|
|
|
1 lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
n (n 5) |
|
n n 5 |
|
|
|
|
n n 5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
1 |
e 1 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
lim 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
n 5 |
e |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как e 1 1 то ряд сходится.
Радикальный признак Коши в непредельной форме.
Если начиная с некоторого номера n |
|
|
a |
q 1, то ряд |
||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||
an абсолютно сходится, если n |
|
an |
|
|
q 1, то ряд расхо- |
|||
|
|
|||||||
n 1 |
|
|
|
|||||
дится. |
|
|
|
132
Доказательство. Если |
n |
|
a |
n |
q 1 |
, то |
|
a |
qn . Ряд |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qn есть сумма членов |
геометрической |
прогрессии с |
n 1
первым членом 1 и знаменателем 0 q 1 , следовательно, сходится. Поэтому по признаку сравнения исходный ряд
сходится абсолютно. Если n |
|
a |
q 1, то |
|
a |
|
qn и поэто- |
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
му lim |
|
an |
|
0 и из-за нарушения необходимого признака |
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
сходимости ряд расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Радикальный признак Коши в предельной форме. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если lim n |
|
an |
|
|
q , то при q 1 |
ряд an |
|
абсолютно схо- |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дится, при q 1 ряд расходится (при q 1 |
|
lim |
|
an |
|
0 ), при |
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||
q 1 признак Коши ответа не даёт, то есть имеются как |
сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых q 1 .
Доказательство. Так как |
lim n |
|
a |
n |
q , то для любого |
||||||||||||||
0 существует номер N ( ) |
n |
|
что для всех n N ( ) |
||||||||||||||||
такой, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
выполнено неравенство |
n |
a |
n |
q |
, |
|
или |
n |
a |
n |
q , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
следовательно q n |
|
an |
|
q . Если |
q 1 , то |
|
можем |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
взять 0 таким, чтобы |
|
q было меньше 1 . Тогда по |
радикальному признаку Коши в непредельной (конечной) форме ряд абсолютно сходится. Если q 1 , то можем взять
0 таким, чтобы q было больше 1 . Тогда по ради-
кальному признаку Коши в непредельной (конечной) форме ряд расходится.
|
|
5 i n |
|
Пример 10. Выяснить сходимость ряда |
|
. |
|
|
|||
n 1 |
|
8 |
Применяя радикальный признак Коши, получаем
133
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 i n |
|
|
|
|
5 i |
|
n |
|
|
5 i |
|
5 i |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
lim n |
an |
|
lim n |
|
|
|
|
lim n |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
n |
|
8 |
|
n |
|
8 |
|
|
|
|
n |
8 |
|
8 |
|
|
8 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Так как |
|
26 |
|
1, то ряд сходится абсолютно. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Признак Дирихле. Пусть дан ряд cn |
anbn с произ- |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
вольными членами. Пусть, далее, последовательность |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Sn ak частичных сумм ряда an ограничена, а число- |
|
|||||||||||||||||||||||||||
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вая последовательность bn n 1 |
стремится к нулю монотонно, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
тогда ряд cn |
anbn сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следствием признака Дирихле является следующий признак. |
||||||||||||||||||||||||||||
Признак Лейбница. Пусть дан знакочередующийся |
ряд |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
( 1)n 1 an , |
an 0 . |
Если начиная |
с |
некоторого |
номера |
|||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
an an 1 |
и lim an |
0 , то ряд сходится. При этом модуль остат- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка не превосходит модуля первого отбрасываемого члена и по знаку совпадает с ним.
Доказательство. Рассмотрим чётные и нечётные частичные суммы
2n |
|
|
S2n ( 1)k 1 ak a1 |
a2 ... a2n 1 a2n |
|
k 1 |
|
|
и |
|
|
2n 1 |
|
|
S2n 1 ( 1)k 1 ak a1 a2 |
... a2n 1 a2n a2n 1 . |
|
k 1 |
|
|
Так как S2n 1 S2n a2n 1 |
и a2n 1 0 , то S2n S2n 1 . Далее, в си- |
лу монотонности стремления к нулю общего члена ряда
134
a2n 1 a2n 2 0 и поэтому S2n 2 S2n a2n 1 a2n 2 S2n . Сле-
довательно S2 n возрастающая последовательность.
S2n 1 S2n 1 a2n a2n 1 S2n 1 (a2n a2n 1) S2n 1 следова-
тельно S2n 1 убывающая последовательность, следовательно
S2n 1 S1 a1 .
Так как S2n S2n 1 , S2n a1 , то следовательно, S2n возрастающая, ограниченная сверху последовательность, поэтому она
имеет предел. |
Обозначим его |
S . Так как S2n 1 S2n a2n 1 и |
|||
lim a2n 1 0 |
, |
то |
lim S2n |
lim S2n 1 .Следовательно |
ряд |
n |
|
|
n |
n |
|
n 1
( 1)n 1 a |
n |
сходится. Рассмотрим остаток ряда. Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2n |
( 1)k 1 ak a2n 1 a2n 2 a2n 3 ... |
k2n 1
a2n 1 (a2n 2 a2n 3 ) ... .
Всилу монотонности a2k a2k 1 0 для любого k 1,2,... .
Поэтому, так как мы вычитаем не отрицательные числа,
R2 n положительно и R2n a2n 1 . Аналогично,
|
|
R2n 1 |
( 1)k 1 ak a2n 2 a2n 3 ... |
k2n 2
(a2n 2 (a2n 3 a2n 4 ) ... .
Из последнего заключаем, что |
R2n 1 |
отрицательно и |
|||||
R2n 1 |
a2n 2 . Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 11. Выяснить сходимость ряда ( 1)n 1tg |
. |
||||||
|
|||||||
|
|
|
n 1 |
|
3n |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд из модулей имеет вид tg |
. Исследуя его с помо- |
||||||
3n |
|||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
щью предельного признака сравнения и находя порядок малости относительно 1n , получаем
135
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
lim tg |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
tg |
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n 3n 3n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, если 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, если 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 3n n |
|
|
|
n |
|
3n |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, если 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, порядок малости относительно |
|
1 |
|
равен 1 и ряд |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
|
|
расходится, |
|
а, |
|
|
следовательно, |
и |
|
|
|
|
исходный |
ряд |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1)n 1tg |
|
|
|
не является абсолютно сходящимся. Далее, |
так |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
как |
lim |
|
a |
|
|
|
lim |
( 1)n 1tg |
|
lim tg |
|
|
и |
|
|
стремление к |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
нулю монотонно потому что tg |
|
|
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
то по признаку |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
3(n 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Лейбница ряд ( 1)n 1tg |
|
|
сходится и так как он не сходится |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
абсолютно, то является условно сходящимся. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 12. Выяснить сходимость ряда ( 1)n 1tg2 |
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Ряд из модулей имеет вид tg 2 |
|
|
|
. Применяя предельный |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
признак сравнения и находя порядок малости относительно |
|
1 |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
tg |
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
lim |
tg |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
3n n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
3n |
3n |
|
|
3n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
136
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, если 2; |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
lim |
|
|
|
: |
1 |
lim |
|
n |
|
|
|
|
, если 2; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
9n |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
n 9n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, если 2. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, порядок малости относительно |
1 |
равен 2 и ряд |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
tg |
сходится, |
|
а |
следовательно |
|
и |
исходный ряд |
||||||||||||||||||||||||||||
|
3n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( 1)n 1tg2 |
|
сходится абсолютно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 13. Выяснить сходимость ряда |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2n 3 |
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
( 1)n 1 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n 1 |
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Предел модуля общего члена ряда равен |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 3 |
2n |
|
|
|
|
|
2n 1 2 2n |
|
||||||||||||
|
|
|
|
lim |
an |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n 2n 1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
2n 1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
e2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Поэтому ряд расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
7.2. Функциональные ряды |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Выражение |
un (z) |
называется функциональным ря- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
дом, |
un (z) |
- общим членом функционального ряда. Будем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обозначать через |
|
Sn (z) uk (z) |
|
|
- частичную сумму ряда, |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
через S (z) |
- сумму ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
137
Определение. Будем говорить, что ряд un (z) сходит-
|
|
|
n 1 |
|
ся к S (z) в области D , |
если |
lim Sn (z) S(z) |
для всякого |
z |
|
|
n |
|
|
из D . |
|
|
|
|
С другой стороны, |
при |
каждом фиксированном |
z |
функциональный ряд является числовым. Будем говорить, что ряд сходится в точке z из D , если сходится соответствующий числовой ряд.
Множество тех z , в которых ряд un (z) сходится, на-
n 1
зовём областью сходимости функционального ряда.
Множество тех z , в которых ряд un (z) абсолютно
n 1
сходится, назовём областью абсолютной сходимости функционального ряда. Обычно искать область абсолютной сходимости проще.
Так как при каждом фиксированном z функциональный ряд является числовым, то для исследования сходимости функциональных рядов применяются признаки сходимости числовых рядов.
7 n
Пример 1. Найти область сходимости ряда . n 1 z
Найдём область абсолютной сходимости ряда. Используя радикальный признак Коши, получаем
|
|
|
|
|
lim n |
|
|
7 |
n |
|
lim n |
|
|
7 |
|
n |
lim |
|
7 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
lim n |
un |
(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
n |
|
|
|
n |
|
z |
|
|
n |
|
z |
|
|
n |
z |
|
|
|
z |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, ряд сходится абсолютно при 7z 1 и расходит-
ся при |
|
7 |
|
|
1 , или, что тоже самое, сходится при |
|
z |
|
7 и рас- |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
z |
|
|
||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
138
ходится при z 7 . При z 7 ни с помощью признака Коши,
ни с помощью признака Даламбера (показывается также) выяснить сходимость нашего ряда не удаётся. Рассмотрим ряд при
|
z |
|
7 . Так как |
|
|
|
z |
|
7 , |
то |
|
z 7ei , |
0 2 . Подставляя в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ряд, получаем |
|
|
|
|
|
|
e in . Так как |
e in |
|
1 , то в силу |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7ei |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
нарушения |
|
|
необходимого |
признак |
сходимости, |
ряд |
e in |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
расходится. Таким образом, ряд |
|
|
|
сходится при |
z |
7 и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
расходится при |
|
z |
|
|
7 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
4n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Пример 2. Найти область сходимости ряда |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Применяя признак Даламбера, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
u |
n |
1 |
|
lim |
|
z4(n 1) 1 |
z4n 1 |
|
lim |
|
z4 |
|
lim |
|
|
z |
|
4 |
|
|
|
|
z |
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
5n 1 |
|
|
|
5n |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, ряд сходится абсолютно при |
|
z |
|
4 |
1 и расхо- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z |
|
4 |
1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дится при |
|
|
|
|
или, что тоже самое, сходится при |
z |
|
5 и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
расходится при |
|
z |
4 5 . При |
|
z |
4 |
5 ни с помощью признака |
Коши, ни с помощью признака Даламбера (показывается также) выяснить сходимость нашего ряда не удаётся. Рассмотрим ряд
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
z |
4 5 . Так как |
z |
4 |
|
5 , то |
z 4 5ei , |
0 2 . Под- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
i |
4n 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ставляя в ряд, получаем |
|
|
5e |
|
|
4 |
5ei(2n 1) . Так как |
|||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
5 |
|
|
n 1 |
|
|
ei (2n 1) 1 , то в силу нарушения необходимого признак сходи-
139
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
мости, |
ряд |
4 |
5 |
ei(2n 1) |
|
расходится. |
Таким |
|
образом, |
ряд |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
z |
4n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится при |
z |
4 |
|
5 и расходится при |
|
z |
|
4 |
5 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n 0 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример |
3. |
|
|
|
|
|
|
Найти |
|
|
|
область |
|
сходимости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
n |
|
1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
6 |
|
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Исходный |
ряд |
сходится, |
|
|
если |
|
|
|
сходится |
|
|
|
|
|
|
|
|
сумма |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z n |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
Применяя |
|
к |
первому |
|
|
слагаемому |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
6 |
|
|
|
n 1 |
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
z n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
признак Коши, находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z n |
|
|
|
|
|
|
z |
|
n |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim n |
lim n |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim n |
un (z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
6 |
|
|
n |
6 |
|
|
|
|
n |
6 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
6 и |
||||||||
Следовательно, первое слагаемое сходится в области |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
6 . Исследуя при |
|
z |
|
6 (на границе |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
расходится в области |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6ei |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
областей) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ein . Так как |
ein |
1, |
то в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
силу нарушения необходимого признак сходимости, ряд ein |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
расходится. Таким образом, |
ряд |
|
|
|
сходится при |
|
|
z |
6 и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
z |
|
6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
расходится при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|||||||||||
|
Аналогично, |
применяя ко второму слагаемому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
z |
3 |
признак Коши, находим
140