Математика.-6

конкретного решения разностного уравнения первого порядка нужно знать начальное значение y0 , а для получения конкретного решения уравнения второго порядка необходимо знание двух значений y0 и y1 . Прослеживается связь

между разностными уравнениями и задачей Коши для дифференциальных уравнений. В общем случае разностное уравнение порядка n может быть записано в виде F yk n , yk n 1,..., yk 0 . Если удаётся разрешить это урав-

нение относительно yk n , то разностное уравнение записывается в виде yk n ( yk n 1,..., yk ) .

6.2 Разностные уравнения первого порядка

Самыми простыми разностными уравнениями являются линейные разностные уравнения первого порядка. Самый общий вид линейного разностного уравнения первого порядка следующий

Продолжая дальше, окончательно имеем

111

Любое решение уравнения (6.2) получается из (6.3) заданием начального условия y0 . Таким образом, (6.3) есть

общее решение уравнения (6.2). Обычно берут y0 1.

Если (6.1), а следовательно и (6.2) есть уравнения с постоянными коэффициентами, то есть имеют вид

ayk 1 byk fk ,

Рассмотрим теперь неоднородное уравнение (6.1). Отметим, что для линейных разностных уравнений имеется полный аналог теоремы о наложении решений и её

ет вклады под p процентов годовых. Начисление процен-

тов происходит ежемесячно. Вычислить, сколько будет денег на вкладе через год, если было положено A рублей.

112

доставляется читателю.

Пример 2. Банк выдаёт кредит под p процентов го-

довых. Погашение происходит ежемесячно. Вычислить, сколько будет выплачено денег в конце срока погашения, если было выдано A рублей.

Задачу предлагается решить самостоятельно.

6.3 Разностные уравнения второго порядка

Займёмся теперь линейными разностными уравнениями второго порядка. Самый общий вид линейного разностного уравнения второго порядка следующий

Соответствующее однородное уравнение записывается в виде

Для линейных разностных уравнений можно развить теорию аналогичную теории для линейных дифференциальных уравнений.

Перейдём к рассмотрению частного случая линейных разностных уравнений – линейных разностных урав-

113

нений с постоянными коэффициентами. В этом случае уравнение второго порядка имеет вид

Соответствующее однородное уравнение записывается в виде

По аналогии с уравнениями первого порядка с постоянными коэффициентами будем искать решение урав-

на qk , получаем aq2 bq c 0 . Таким образом, мы доказали, что для того чтобы yk qk было решением уравнения (6.7), нужно (необходимо), чтобы q было решением алгебраического (в данном случае квадратного) уравнения aq2 bq c 0 . Рассмотрим возникающие здесь возмож-

ности.

1. Оба корня данного квадратного уравнения действительны и различны. Тогда мы имеем два линейно неза-

Тогда общее решение уравнения (6.7) будет иметь вид yk 1 q1 k 2 q2 k .

2. Корни одинаковые, в этом случае говорят, что квадратное уравнение имеет корень кратности 2. Тогда, по аналогии с линейными дифференциальными уравнениями

второго порядка можно доказать, что решения y1k q1 k и yk2 k q1 k линейно независимы и общее решение уравнения (6.7) имеет вид yk 1 q1 k 2 k q1 k .

114

3. Корни комплексные. Если коэффициенты уравнения действительны, то тогда эти корни являются ком-

реме о наложении решений можем утверждать, что линей-

тоже являются решениями уравнения (6.7), причём линейно независимыми. Тогда общее решение уравнения (6.7)

тельно двумя линейно независимыми решениями уравне-

yk 1 5k 2 k 5k .

115

Пример 5. Решить уравнение yk 2 4yk 1 8yk 0 . Решениями характеристического уравнения

q2 4q 8 0 являются комплексно сопряжённые чис-

Аналогичная теория может быть построена и для линейных разностных уравнений порядка n . Самый общий вид линейного разностного уравнения порядка n следующий

Соответствующее однородное уравнение записывается в виде

Для частного случая линейных разностных уравнений – линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами можем записать

Соответствующее однородное уравнение записывается в виде

116

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЯДОВ 7. Представление функций рядами

7.1. Числовые ряды

Всюду, где введено понятие суммы двух объектов мы можем рассматривать суммы конечного числа элементов. Если операция сложения ассоциативна, то скобки можно опустить, и в таком случае у нас однозначно определено

n

выражение ak a1 a2 ... an . Вызывает интерес рас-

k 1

пространение понятия суммы на бесконечное число слагаемых и выяснения условий сохранения свойств конечных сумм.

Назовём выражение an рядом, an - общим членом

n 1

ряда. В качестве слагаемых чаще всего рассматривают числа, и тогда ряд называется числовым, функции и тогда ряд называется функциональным. Можно рассматривать так же ряды из векторов, но так как операции сложения векторов сводятся к операциям сложения их координат, принципиально нового не получается. Вначале будем рассматривать числовые ряды.

k 1

тельностью частичных сумм ряда и составлена из суммы

будем говорить, что ряд сходится и называется сходящим-

117

ся, если же этот предел не существует или равен , то будем говорить, что ряд расходится и называется расходящимся.

118

Переходя к пределу, получаем lim Sn . Следовательно,

n

ряд расходится. Это можно было выяснить, заметив что не выполнен необходимый признак сходимости, так как

Первое слагаемое есть сумма членов геометрической про-

натель прогрессии меньше 1, то первое слагаемое есть ряд схо-

дящийся и его сумма равна 32 . И второе слагаемое есть сумма

членов геометрической прогрессии с первым членом 16 и зна-

25

менателем 54 . Так как знаменатель прогрессии меньше 1, то и второе слагаемое также есть ряд сходящийся и его сумма равна

ся абсолютно, так как ряды из действительных и мнимых частей сходящиеся знакоположительные и поэтому абсолютно сходящиеся.

119

обходимого признак сходимости ряд расходится.

Отметим аналог свойства несобственных интегралов, являющегося весьма полезным при изучении рядов.

Говоря другими словами, отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость.

Доказательство. При p 1 это один и тот же ряд и до-

число, то существование предела слева влечёт существование предела справа и наоборот. Теорема доказана.

Рассмотрим случай, когда членами ряда являются комплексные числа. Тогда

nn

Re ak i Im ak Re Sn i Im Sn .

k 1 k 1

Переходя к пределу при n стремящемся к , получаем,

120