Математика.-6

уравнении к пределу при 0 , имеем

Уравнение (4.6) называется уравнением в вариациях, а в теории автоматического управления уравнением чувствительности. Обоснование справедливости предельного перехода, а также непрерывности и дифференцируемости соответствующих функций можно посмотреть в [14].

4.2. Определение устойчивости по Ляпунову

В предыдущем пункте мы занимались зависимостью решения от начальных данных в том случае, когда решение определено на ограниченном отрезке. В данном пункте мы будем исследовать этот вопрос в случае, когда решение определено на бесконечном полуинтервале [a, ) . Большой

вклад в развитие данного вопроса внёс А.М.Ляпунов. Более подробное изложение можно найти в [10, 13, 14, 15, 18]

91

определённое на полуинтервале [a, ) . Это решение

Исследование устойчивости решений можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения с нулевыми начальными данными некоторой другой системы диффе-

y(x) y1 (x), y2 (x),..., yn (x) T – любое решение этой же сис-

темы уравнений. Для удобства записи, дальнейшие вычисления проделаем в векторной форме. Желающие могут перейти к покоординатной форме записи и проделать вычисления в координатной форме. Напомним, что производная

92

Подробнее о дифференцировании вектор-функций можно

темы уравнений (3.1), то подставляя их в эту систему, по-

z f (x, y z) f (x, y0 ) . Рассмотрим теперь решение полученного уравнения с начальными данными z(x0 ) 0 . Име-

Определение. Решение y(x) 0 системы дифференциальных уравнений (3.1) с начальными данными y(x0 ) 0 будем называть точкой покоя этой системы.

Определение устойчивости точки покоя формулируется следующим образом.

Определение. Точку покоя системы дифференциальных уравнений (3.1) будем называть устойчивой, если для всякого 0 существует 0 , такое что при

93

определённого также на полуинтервале [a, ) , вы-

асимптотически устойчивой.

Имеются различные методы исследования устойчивости невозмущённого движения, в том числе и точки покоя.

4.3. Метод функций Ляпунова

Определение. Функцию V ( y) V ( y1 , y2 ,..., yn ) назо-

вём не отрицательно определённой в содержащей на-

V ( y) V ( y1 , y2 ,..., yn ) называется положительно опре-

делённой.

Аналогично, с заменой неравенств на противоположные, определяются не положительно определённая и отрицательно определённая функции.

Теорема 4.3 (Ляпунова об устойчивости). Если для системы дифференциальных уравнений (3.1)

94

лена, то точка покоя устойчива. Если функция W отрицательно определена, то точка покоя асимптотически устойчива.

Общего метода построения функций Ляпунова нет. Часто их берут в виде суммы чётных степеней координат.

Пример 1. Исследовать на устойчивость точку покоя системы

dx y,dt

dy x.

dt

В качестве функции Ляпунова возьмем положительно определенную функцию V (x, y) x2 y2 . Чтобы воспользоваться теоремой Ляпунова, составляем функцию

WV f1 (x, y1 , y2 ,..., yn ) . Имеем:

i 1 yin

Функция W не положительно определена, следовательно, точка покоя данной системы устойчива, но не асимптотически.

Пример 2. Исследовать на устойчивость точку покоя системы

dx y x 3 ,dt

dy x 3y 3 .

dt

В качестве функции Ляпунова возьмем положительно определенную функцию V (x, y) x2 y2 . Чтобы восполь-

95

Причем, W 2x4 6y4 0 тогда и только тогда, когда обе координаты нулевые, то есть x y 0 .

Поэтому функция W отрицательно определена и, следовательно, точка покоя данной системы асимптотически устойчива.

Пример 3. Исследовать на устойчивость точку покоя системы

WV f1 (x, y1 , y2 ,..., yn ) . Имеем:

i 1 yin

положительно при любых значениях координат, причем2ax2 by2 0 тогда и только тогда, когда обе координаты нулевые, то есть x y 0 . А знак второго слагаемого не определен, то есть зависит от значений координат. Следо-

V (x, y) ax2 2ay2 . При любом положительном значении константы a функция V x, y положительно определена, а

функция W отрицательно определена. Следовательно, точка покоя данной системы асимптотически устойчива.

96

4.4. Устойчивость линейных систем

Очевидно, что система (4.8) имеет тривиальное решение и, в случае непрерывно дифференцируемых коэффициентов, это решение единственно.

Пусть матрица A постоянна, то есть системы (4.7) и (4.8) есть системы с постоянными коэффициентами. Тогда общее решение системы (4.8) может быть записано в виде

97

точка покоя системы (4.8) асимптотически устойчива, и, следовательно, устойчива на полуинтервале [0, ) .

4.5.Простейшие типы точек покоя систем двух линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим систему двух линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

с невырожденной матрицей системы, то есть определитель

Как видно из предыдущего пункта, чтобы исследовать на устойчивость точку покоя данной системы, надо составить характеристическое уравнение для нахождения собст-

98

2) Собственные числа 1 и 2 вещественны и кратны, тогда:

а) если 1 2 отрицательны, то точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел);

1,2 p qi , тогда:

(центр).

Пример 1. Исследовать на устойчивость точку покоя системы

dx 5x y,dt

dy 2x y.

dt

Составляем характеристическое уравнение:

3 2 , то оба собственных числа матрицы системы положительны и, следовательно, точка покоя данной системы неустойчива и является неустойчивым узлом.

99

4.6. Устойчивость по первому приближению

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений (3.1) в нормальной форме

y y1, y2 ,..., yn T . Тогда система дифференциальных уравнений (3.1) запишется в виде

Отбрасывая в системе (4.9) члены более высокого порядка малости, чем y y1, y2 ,..., yn T , можем переписать её в форме

Система дифференциальных уравнений (4.10) называется системой первого приближения для системы дифференциальных уравнений (3.1). Иногда удаётся судить об устойчивости точки покоя системы (3.1) по устойчивости точки покоя для системы (4.10).

Пусть система дифференциальных уравнений (3.1) является автономной, то есть функции fi , i 1,2,..., n не зави-

100