Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия

корнем частного, тогда f(x) будет делиться на (x )2 и так далее. В таких случаях число называется кратным корнем многочлена.

Число называется корнем кратности k многочлена f(x), åñëè f(x) делится на (x )k, но не делится на (x )k+1, òî åñòü f(x) = (x )k q(x) è q( ) 6= 0. Корни кратности 1 называют ïðî-

стыми корнями.

В теории многочленов важным является вопрос о существовании корней многочлена. Ответ на этот вопрос дает алгебры многочленов.

Теорема 19.6. (основная теорема алгебры многочленов). Всякий многочлен степени n > 1 с комплексными коэффициентами17 имеет, по крайней мере, один комплексный корень.

Приведенная выше теорема впервые была строго доказана Гауссом и часто называется поэтому теоремой Гаусса. Большой интерес представляют следствия, которые вытекают из основной теоремы алгебры многочленов.

Следствие 19.7. Всякий многочлен степени n > 1 с комплексными

коэффициентами раскладывается в произведение n линейных множи-

телей.

Следствие 19.8. Всякий многочлен степени n > 1 с комплексными ко-

эффициентами имеет n корней, если считать каждый корень столько

раз, какова его кратность.

Следствие 19.9. Всякий многочлен степени n > 1 с действительны-

ми коэффициентами раскладывается в произведение линейных двучленов и квадратных трехчленов с отрицательными дискриминантами, имеющими действительные коэффициенты.

В случае многочленов с целыми коэффициентами всегда можно отыскать его рациональные, в частности, целые корни, если, конечно, они существуют. Способ отыскания рациональных корней многочленов с це- лыми коэффициентами дается следующей теоремой.

17Комплексным числом называется число вида a + bi, где a; b 2 R; i2 = 1.

79

Теорема 19.10. Если несократимая дробь pq является корнем много- члена с целыми коэффициентами, то его свободный член делится на p,

а старший коэффициент делится на q.

Из этой теоремы вытекает важное

Следствие 19.11. Все рациональные корни приведенного многочлена с целыми коэффициентами целые и являются делителями свободного члена.

20. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора.

Пусть оператор A : Rn ! Rn (отображает Rn â ñåáÿ).

Определение 20.1. Вектор x 6= 0 называется собственным вектором, а число собственным числом линейного оператора A, если они связаны соотношением

(говорят, что в этом случае собственный вектор x отвечает собственному числу ).

Из определения следует, что собственный вектор x 6= 0 при действии

оператора A переходит в коллинеарный вектор. В связи с этим поня-

тие собственного вектора является полезным и удобным при изучении многих вопросов матричной алгебры и ее приложений.

Возникает вопрос: при каких условиях линейный оператор имеет собственные векторы. Так у оператора подобия все векторы собственные, а оператор поворота на угол ' 6= не имеет собственных векторов.

Найдем условия, при которых линейный оператор имеет собственные векторы.

Пусть A : Rn ! Rn è x = (x1; x2; : : : ; xn) 6= 0 собственный вектор линейного оператора A, òî åñòü Ax = x è A матрица этого оператора. Перепишем равенство (20.1) в координатном виде:

80

<

>

>

>

>

: an1x1 + an2x2 + : : : + (ann )xn = 0:

В матричном виде эта система имеет вид:

Система n линейных уравнений с n неизвестными имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен 0.

èëè

и называется характеристическим многочленом , а равенство (20.3) называется характеристическим уравнением оператора A. Решим

уравнение (найдем его корни 1; 2; : : : ; n). Подставляя найденные соб- ственные значения i в систему (20.2), найдем собственные векторы xi, отвечающие собственным числам i.

Все вычисления корректны, так как справедлива теорема:

Теорема 20.1. Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса.

81

= jA EjjC 1Cj = jA Ej.

Пример 20.1. Найдите собственные числа и собственные векторы оператора Ax = (2x1 + 3x2; 2x1 + x2; x1 3x2 + 2x3).

01

2 3 0

собственные числа оператора: 1 = 1, 2 = 4, 3 = 2.

Чтобы найти собственные векторы, для каждого значения решим систему

Получили собственный вектор

Собственные векторы оператора A: c1 = (3; 3; 4) отвечает собственному числу1 = 1, c2 = (2; 3; 1) отвечает собственному числу 2 = 4, c3 = (0; 0; 1) отвечает

82

собственному числу 3 = 2.

Пример 20.2. Найдите собственные числа и собственные векторы мат-

Решение . Для матрицы A составим и решим характеристическое уравнение

Раскладывая определитель по первому строке, получим уравнение

(3 )(( 1 )(5 ) + 8) + 1(4(5 ) 16) + 1( 16 8( 1 )) = 0 èëè

3 + 7 2 11 + 5 = 0. Решив его, найдем собственные числа оператора: 1;2 = 1,

3 = 5.

Чтобы найти собственные векторы, для каждого значения решим систему

Получили собственный вектор

Собственные векторы оператора A: c1 = (1; 0; 2) è c2 = (0; 1; 1) отвечают собственному числу = 1, c3 = (1; 2; 4) отвечает собственному числу = 5.

Рассмотрим свойства собственных чисел и собственных векторов линейного оператора A.

1) Если собственный вектор x 6= 0 отвечает собственному числу

, то для любого числа 6= 0 вектор x также будет собственным вектором.

Действительно, A( x) = Ax = ( x) = ( x).

83

2) Линейная комбинация собственных векторов оператора A, отве-

чающих одному собственному числу , также является собственным вектором этого оператора.

Если x 6= 0 и y 6= 0 собственные векторы, отвечающие одному числу , то для любых

чисел и вектор x + y 6= 0 также будет собственным вектором. Действительно,

A(x + y) = Ax + Ay = x + y = (x + y).

3) Множество собственных векторов, отвечающих одному собственному числу вместе с нулевым вектором образует линейное под-

пространство в пространстве Rn.

Определитель jA Ej является многочленом степени n относительно

. По теореме Безу, если 0 корень многочлена, то есть P ( 0) = 0, òî P ( ) = ( 0)kQ( ), ãäå Q( 0) 6= 0. Åñëè k = 1, òî 0 простой корень многочлена, если k > 1, òî 0 корень многочлена кратности k.

4)Åñëè 0 корень характеристического многочлена кратности k, то ему соответствует не более k собственных векторов.

5)Собственные векторы x1; x2; : : : ; xm линейного оператора A, отве- чающие различным собственным числам 1; 2; : : : ; m линейно незави- ñèìû.

6)Число, отличных от нуля собственных чисел матрицы A, равно

ååрангу. В частности, все собственные числа матрицы A отличны от

нуля только тогда, когда матрица A невырожденная.

Наиболее простыми линейными операторами являются операто-

1; 2; : : : ; n. Приняв векторы e1; e2; : : : ; en за базис (это можно сделать, так как они линейно независимы), и вычислив их образы Aei = iei, íàé- дем матрицу линейного оператора в этом базисе

00 : : : n

84

Справедлива теорема

Теорема 20.2. Матрица линейного оператора в базисе, состоящем из собственных векторов этого оператора, имеет диагональный вид.

Верно и обратное утверждение:

Теорема 20.3. Если матрица линейного оператора A в некотором ба-

зисе является диагональной, то все векторы этого базиса собственные векторы линейного оператора.

Из теорем 20.2 и 20.3 следует важное условие, достаточное для того, что для оператора A существовал базис, состоящий из собственных векторов.

Теорема 20.4. Если оператор A имеет n различных действительных

собственных значений, то в линейном пространстве Rn существует базис из собственных векторов линейного оператора и матрица оператора в этом базисе имеет диагональный вид.

Собственные числа линейного оператора обладают следующими свойствами:

1) Сумма собственных чисел матрицы A равна следу этой матрицы, то есть сумме ее диагональных элементов.

2) Произведение собственных чисел матрицы A равно определителю

этой матрицы.

3)Åñëè 0 собственное число невырожденной матрицы A, то 1= 0

собственное число матрицы A 1.

Рассмотрим линейный оператор A, матрица которого является сим-

метрической. Собственные числа и собственные вектора такого оператора обладают свойствами:

1.Все собственные числа симметричной матрицы действительны .

2.Собственные векторы симметричной матрицы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

85

èëè 2 (a + c) + ac b2 = 0. Дискриминант полученного квадратного уравнения D = (a c)2 + 4b2 неотрицателен. Значит, уравнение имеет два действительных корня.

Найдите собственные числа и собственные векторы опе-

Решение . Матрица A симметрическая. Покажем, что собственные числа этой

матрицы действительные, а собственные вектора, соответствующие различным собственным числам, попарно ортогональны.

Раскладывая определитель по первому столбцу, получим уравнение3 + 6 2 3 10 = 0. Решив его, найдем собственные числа оператора: 1 = 1,

2 = 2, 3 = 5. Найдем собственные векторы.

Собственные векторы оператора A: c1 = (2; 1; 1) отвечает собственному числу1 = 1, c2 = (1; 1; 1) отвечает собственному числу 2 = 2, c3 = (0; 1; 1) отвечает собственному числу 3 = 5.

Проверим, что собственные векторы ортогональны. Так

(c1; c2) = 2 1+1 ( 1) 1 1 = 0, (c1; c3) = 2 0+1 1 1 1 = 0, (c2; c3) = 1 0 1 1+1 1 = 0. Из равенства нулю скалярных произведений следует попарная ортогональность векторов c1; c2; c3.

Задания для самостоятельного решения

Задание 20.1. Проверьте, что вектор a = (1; 1; 1; 1) является соб-

86

Задание 20.3. Найдите собственные числа и собственные векторы линейного оператора Ax = (3x1 + 4x2; 5x1 + 2x2).

Задание 20.4. Найдите собственные числа и собственные векторы линейного оператора Ax = (2x1 + x3; 2x1 + 3x2 + 5x3; 2x1 + 3x3).

Задание 20.5. Найдите собственные числа и собственные векторы линейного оператора Ax = (2x1 3x2 + 2x3; 4x2 + 3x3; 2x2 x3).

Задание 20.6. Найдите собственные числа и собственные векторы линейного оператора Ax = (3x1 + 4x2; x1 2x2; 2x1 + x2 x3).

Задание 20.7. Найдите собственные числа и собственные векторы линейного оператора Ax = (5x1 + x2 + 2x3; 2x2; 4x1 2x2 + 3x3).

Задание 20.8. Найдите собственные числа и собственные векторы линейного оператора Ax = (4x1 x2 x3; 6x2; 2x1 + 5x2 + x3).

Задание 20.9. Найдите собственные числа и собственные векторы линейного оператора Ax = (x1 + x2 2x3; 4x1 + x2 + 3x3; x3).

Задание 20.10. Найдите собственные числа и собственные векторы линейного оператора Ax = (x1 5x2 5x3; 2x1 x2 + 4x3; x1 + 7x2 + 11x3).

Задание 20.11. Найдите собственные числа и собственные векторы линейного оператора Ax = (5x1 + 6x2 + 3x3; x1 + x3; x1 + 2x2 x3).

Задание 20.12. Найдите собственные числа и собственные векторы линейного оператора Ax = (3x1 + x2; 4x1 x2; 4x1 8x2 2x3).

Задание 20.13. Найдите собственные числа и собственные векторы линейного оператора Ax = ( x2 + x3; x1 + 3x2 + 2x3; x1 + 2x2 + 3x3).

21. Квадратичные формы.

При решении различных прикладных задач часто приходится исследовать квадратичные формы.

87

Определение 21.1. Квадратичной формой L(x1; x2; : : : ; xn) îò n

переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом.

n n

XX

L(x1; x2; : : : ; xn) = aijxixj

i=1 j=1

Будем считать, что коэффициенты квадратичной формы aij ствительные числа, причем aij = aji. Матрица A = (aij)

1; : : : ; n), составленная из коэффициентов квадратичной формы, называется матрицей квадратичной формы. Матрица A является сим-

метричной.

В матричной записи квадратичная форма имеет вид

ãäå X = (x1; x2; : : : ; xn) матрица-строка переменных.

Пример 21.1. Запишите в матричном виде квадратичную форму

L(x1; x2; x3) = 5x21 8x1x2 + 14x2x3 + 3x22 9x23.

Решение . Найдем матрицу квадратичной формы. Ее диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах переменных, то есть 4, 1, 3, а другие половине

соответствующих коэффициентов квадратичной формы. Поэтому матрица квадра-

Выясним, как изменяется квадратичная форма при невырожденном линейном преобразовании переменных.

Пусть матрицы-столбцы переменных X = (x1; x2; : : : ; xn)T è Y = (y1; y2; : : : ; yn)T связаны соотношением X = CY , ãäå C = (cij) невырожденная матрица порядка n.

При невырожденном линейном преобразовании переменных X = CY матрица квадратичной формы принимает вид

88