Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия

положение двух прямых, проходящих через вершины гиперболы параллельно оси ординат; если же значение эксцентриситета приближается к единице, то ветви гиперболы "сплющиваются" к оси OX.

Директрисами гиперболы называются прямые x = a", параллельные îñè OY и отстоящие от нее на расстояние a", ãäå " эксцентриситет

гиперболы.

На практике часто встречается гипербола с равными полуосями. Если x2 y2

a = b, то каноническое уравнение заметно упрощается a2 = 1. Вместе с ним упрощаются и уравнения асимптот y = x. Эксцентриситет

равносторонней гиперболы равен 1.

IV. Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от фиксированной точки (фокуса) и фиксированной прямой (директрисы).

Выберем систему координат так, чтобы фокус параболы лежал на оси OX, директриса была перпендикулярна оси OX и фокус и директриса были расположены на одинаковом расстоянии от начала координат (Рис. 10). Обозначим расстояние между фокусом и директрисой

тогда F (p=2; 0); A0( p=2; 0); A( p=2; y). Åñëè M(x; y) произвольная

p

точка параболы, то jMAj = jMF j. Имеем (x + p=2)2 + (y y)2 =

p

=(x p=2)2 + (y 0)2. Возводя обе части равенства в квадрат, по-

лучим каноническое уравнение параболы

Директриса параболы задаeтся уравнением x = p2. Очевидно, что при увеличении параметра p ветви графика будут "раздаваться" вверх и

вниз, бесконечно близко приближаясь к оси OY . При уменьшении же значения p они начнут сжиматься и парабола будет вытягиваться вдоль оси OX.

119

6. Приведение кривых второго порядка к каноническому виду.

Как мы уже знаем, кривая второго порядка в общем виде задается уравнением

a11x2 + 2a12xy + a22y2 + a01x + a02y + c = 0:

Уравнение можно привести к каноническому виду, перейдя к новой системе координат. Этот процесс разобьем на два этапа:

1. Приведение квадратичной формы к главным осям.

Первые три слагаемых в уравнении кривой образуют квадратичную форму L[x; y] = a11x2 + 2a12xy + a22y2; матрица которой

Из курса алгебры мы знаем, что векторы ортонормированного базиса, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называются главными осями квадратичной формы. Главные оси квадратичной формы совпадают с ортонормированным базисом, состоящим из собственных векторов, канонические коэффициенты с собственными числами мат-

рицы квадратичной формы. (Действительно, так как матрица A симметричная,

то ее собственные числа действительные и различные, а собственные векторы, соот-

ветствующие этим числам ортогональны, следовательно, линейно независимы).

Если в качестве главных осей взять собственные вектора квадратич- ной формы, то кривая примет вид

1x21 + 2y12 + a1x1 + b1y1 + c = 0:

Для того чтобы найти собственные числа и собственные векторы квадратичной формы, решим характеристическое уравнение jA Ej = 0 è

!

ственные вектора i1; j1 выберем так, чтобы они образовывали правую

ïàðó (кратчайший поворот вектора i1 к вектору j1 выполняется против часовой

стрелки) и длина каждого вектора была равна 1.

120

Матрицу перехода от базиса i; j к базису i1; j1 обозначим через Q. Матрица Q является ортогональной. Используя формулу перехода к но-

! !

вому базису x = Q x1 , выразим "старые" координаты через

yy1

Отметим, что тип кривой второго порядка определяется типом квадратичной формы. Если 1 2 > 0, то кривая эллипс, если 1 2 < 0, то кривая гипербола, если 1 2 = 0, то кривая парабола.

2. Отыскание нового начала координат, то есть параллельный перенос системы координат.

Пример 6.1. Приведите уравнение кривой 2x2 4xy+5y2+8x 2y+9 = 0 к каноническому виду.

Решение . Рассмотрим квадратичную форму L[x; y] = 2x2 4xy + 5y2.

2 5

!!

Выразим "старые" координаты через "новые"

121

2(x1p+ 2y1) + 9 = 0.

5

Раскрыв скобки и приведя подобные получим уравнение, не содержащие произведение переменных и коэффициенты которого при квадратах переменных равны собственным числам квадратичной формы (что нам и требовалось получить)

Выделим полные квадраты для переменных x1 è y1:

2 2

x + 7 + 6 y 1 2 = 0.

1 p 1 p

5 5

Введем новые переменные, то есть перейдем к новой системе координат, выполнив параллельный перенос осей координат

Получили каноническое уравнение эллипса x22 + 6y22 2 = 0 èëè

полуоси которого равны a = p2; b = q1 3.

8Формула перехода к новым координатам примет вид:

122

Литература

[1]Линейная алгебра. Аналитическая геометрия (для экономических специальностей) Учебное пособие. / И.Э. Гриншпон, Л.А. Гутова, Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинникова; Федеральное агентство по образованию, Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники. Томск: ТУСУР, 2007. 247 с.

[2]Магазинников, Л.И. Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: учебное пособие. / Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинникова; Министерство образования Российской Федерации, Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники. Томск: ТМЦДО, 2003. 176 с.

[3]Головина М.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. Москва: Наука. 1979. 392 с.

[4]Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Москва: Наука. 1974. 320 с.

[5]Курош А. Г. Курс высшей алгебры. Москва: Физматгиз. 1963. 432 с.

[6]Ильин В.А. Линейная алгебра. вып. 6. / В.А. Ильин, Э.Г. Поздняк; Москва: Наука. 1978. 304 с.

[7]Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. Москва: Наука. 1975. 400 с.

[8]Бугров Я.С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. / Я.С. Бугров, С.М. Никольский; Москва: Наука. 1980. 176 с.

123

[9]Гриншпон И.Э. Многочлены от одной переменной (теория и практика). Учебное пособие. / И.Э. Гриншпон, С.Я. Гриншпон; Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники. Томск: ТУСУР, 2011. 78 с.

[10]Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М.Тришин, М .Н. Фридман; Москва: ЮНИТИ, 2003. 471 с.

[11]Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов. Учебное пособие. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 464 с.

[12]Коршунова Н.И. Математика в экономике. Учебное пособие. / Н.И. Коршунова, В.С. Плясунов Москва: Вита-Пресс, 1996. 367 с.

[13]Солодовников А.С. Математика для экономистов. Учебник. В 2 ч. ×.1. / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов; Москва: Финансы и статистика. 2001. 224 с.

[14]Идельсон А.В. Аналитическая геометрия. Линейная алгебра. Учебное пособие. В 6 т. Ò. 1 / А.В. Идельсон, И.А. Блюмкина; Москва: ИНФРА-М. 2000. 200 с.

124

Оглавление

125

126