Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия

равняв соответствующие координаты точки P , получим, что x = 9; y = 2; z = 10.

3. Проекция вектора на ось.

Îñüþ называется прямая с заданным на ней вектором e (для удобства рассуждений будем считать, что jej = 1). Ортогональной проекцией

точки A íà îñü l называется основание перпендикуляра, опущенного из точки A íà îñü. Ортогональной проекцией вектора AB íà îñü l íà- зывается вектор A0 проекция точки A, B0 проекция точки

B íà îñü. Скалярной проекцией вектора AB íà îñü l называется координата вектора A0B0 относительно вектора e. Обозначается прlAB = p,

A0B0 = pe.

4. Скалярное произведение векторов.

Перейдем к рассмотрению операции умножения векторов. Здесь имеются две возможности. Можно определить произведение векторов так, чтобы результатом являлось число (скаляр), а можно так, чтобы результатом явился вектор. В этом параграфе мы рассмотрим первую возможность.

Пусть в пространстве V3 задана правая декартова система координат.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов a è b называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между

99

íèìè:

Если хотя бы один из сомножителей нулевой вектор, то скалярное произведение равно нулю.

Обозначается скалярное произведение векторов (a; b) или просто a b.

6. Åñëè a 6= 0, b 6= 0, òî a b = 0 , a ? b, то есть скалярное произведение

двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда когда они ортогональны.

Пусть векторы зàданы в декартовой системе своими координатами a = (x1; y1; z1); b = (x2; y2; z2). Тогда cкалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их оäноименных коорäèíàò .

Действительно, a b = (x1i + y1j + z1k)(x2i + y2j + z2k) = x1x2i i + x1y2i j + x1z2i k + y1x2j i + y1y2j j + y1z2j k + z1x2k i + z1y2k j + z1z2k k =

Скалярное произведение применяют

1. Для вычисления длины вектора. Если a = (x; y; z), òî

2. Для нахождения расстояния между точками A(x1; y1; z1) è

B(x2; y2; z2). Òàê êàê AB = (x2 x1; y2 y1; z2 z1), òî

p

jABj = jABj = (x1 x2)2 + (y1 y2)2 + (z1 z2)2: (4:4)

3. Для вычисления угла между векторами. Если ' угол между век-

торами a è b, òî

100

4. Для вычисления направляющих косинусов вектора, то есть косинусов углов между вектором и осями координат. Если , , углы,

которые вектор a = (x; y; z) образует с осями OX; OY; OZ соответствен-

Заметим, что направляющие косинусы вектора связаны соотношением

5. Для вычисления проекции вектора на ось

6. Для вычисления работы силы F по перемещению материальной точки из точки M в точку N. Так как работа равна произведению силы, приложенной к точке, на путь, то

A= (F 1 + F 2) MN = F 1 MN + F 2 MN.

7.Для вычисления кинетической энергии тела массы m движущегося

со скоростью v = (x; y; z). Из физики известно, что кинетическая энергия

E = m2 (v; v) = m2 (x2 + y2 + z2).

Пример 4.1. Дан вектор a = ( 2; 6; 3). Вычислите направляющие косинусы этого вектора.

Пример 4.2. Вектор a образует с осями OX и OY углы 45 и 120 соответственно. Найдите его координаты, если jaj = 6.

101

При каком значении k векторы a = (k; 4; 7) и b( 3; 9; k) ортогональ-

По свойству 6 вектор a ортогонален вектору b, если a b = 0. Вычислим скалярное произведение по формуле (4.2): a b = 3k 36 + 7k = 4k 36 = 0. Следовательно, k = 9.

Пример 4.4. Найдите работу, которую производит сила F = (4; 1; 7), когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из точки A(3; 11; 5) в

точку B(10; 7; 4).

Решение . Найдем путь, пройденный материальной точкой, под действием силы F : AB = (7; 4; 9). По формуле (4.9) вычислим работу силы A = F AB = 28+4+63 = 95.

5. Векторное произведение векторов.

Перейдем к рассмотрению второй возможности, то есть рассмотрим произведение векторов ðезультатом которого будет вектор.

Тройку векторов a, b, c будем называть правой, то есть из конца

вектора c поворот вектора a к вектору b на меньший угол производится против часовой стрелки.

Пусть в пространстве V3 задана правая декартова система координат,

то есть тройка векторов i, j, k правая.

Векторным произведением двух ненулевых векторов a è b íàçû-

вается вектор c, такой что 1) c ? a, c ? b; 2) jcj = jaj jbj sin(a; ^b);

3) тройка векторов a, b, c правая.

Если хотя бы один из сомножителей нулевой вектор, то векторное произведение равно нулевому вектору.

Обозначается векторное произведение [a; b] èëè a b.

Реальным прообразом понятия векторного произведения является известное в механике понятие линейной скорости материальной точке при вращении ее вокруг оси. Здесь двум векторам угловой скорости ! è ðà-

диус вектору точки r соответствует третий вектор линейная скорость

точки v, перпендикулярный двум первым jvj = j!j jrj cos(!; r).

Свойства векторного произведения.

1. [a; b] = [b; a], векторное произведение векторов антикоммутативно,

102

то есть при перемене меñт сомножителй произведенèе меняет знак,

4. ja bj = Sпараллелограмма, то есть модуль векторного произведения

численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на стоðîíàõ,

5. Åñëè a 6= 0, b 6= 0, òî a b = 0 , ajjb, то есть векторное произведение

двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти вектора коллинеарны.

Если вектора заданы координатами a = (x1; y1; z1); b = (x2; y2; z2), òî

a b = (x1i+y1j +z1k) (x2i+y2j +z2k) = x1x2i i+x1y2i j +x1z2i k + y1x2j i + y1y2j j + y1z2j k + z1x2k i + z1y2k j + z1z2k k = (x1y2 x2y1)i j +(x1z2 x2z1)i k +(y1z2 z2y1)j k = (x1z2 x2y1)k

Применив формулу разложения определителя по первой строке, полу- чим формулу вычисления векторного произведения векторов, заданных своими координатами:

Векторное произведение применяют 1.Для вычисления площади параллелограмма или треугольника.

2.Для нахождение высоты паралëåлограмма или треугольника.

3.Для вычисление момента силы F , приложенной к точке B относитель-

но точки A.

Момент M = MA(F ) ñèëû F , приложенной к точке B, относительно

точки A вычисляется по формуле M = r F , ãäå r = AB вектор-рычаг

силы F . Направление силы F можно определить по правилу правого буравчика (Рис. 10).

103

4. Для нахождения линейной скорости v = ! OM вращения точки по окружности. Вектор угловой скорости ! точки перпендикулярен к плоскости окружности и его направление определяется по правилу правого буравчика при вращении его рукоятки в сторону скорости v (Рис. 12).

5. Сила Лоренца F = q(v B) действует в магнитном поле B на движущийся со скоростью v заряд q. Укажем направление силы Лоренца в случае положительного заряда. Векторы F , v B имеют одинаковое направление, так отличаются на положительный множитель q. Направле-

ние вектора v B находим по правилу правого буравчика: поворачиваем первый вектор v в кратчайшем направлении к вектору B. Поступатель-

ное движение буравчика покажет направление векторного произведения (Рис. 13).

Пример 5.1. Найдите модуль векторного произведения векторов 3p 2q и 2p + 5q, если jpj = 4, jqj = 3 и угол между векторами p и q равен 60 .

По свойствам векторного произведения имеем (3p 2q) (2p + 5q) = = 6(p p) 10(q p) + 15(p q) 10(q q) = 0 + 10(q p) + 15(q p) + 0 = 25(q p). Тогда j25(q p)j = 25 4 3 cos 60 = 300 0; 5 = 150.

Пример 5.2. Дано A( 1; 4; 7), B(3; 8; 3), C(2; 3; 1). Найдите высоту CH треугольника ABC, опущенную из вершины C на основание AB.

104

Пример 5.3. Найдите момент M0(F ) силы F = ( 1; 0; 4) относительно начала координат O, если известно, что сила F приложена к точке A(1; 3; 0) (Рис. 11).

Решение . Сделаем чертеж. Построим вектор-рычаг OA = (1; 3; 0) и силу F ( 1; 0; 4), приложенную A(1; 3; 0). Находим момент силы согласно формуле

i j k

M = OA F = 1 3 0 = 12i 4j 3k.

1 0 4

Пример 5.4. Точка M движется по окружности с постоянной угловой скоростью

! = 2i+3j вокруг оси, проходящей через начало координат. Найдите скорость v этой точки в момент, когда x = 1; y = 2; z = 1.

Решение . Применим формулу v = ! OM, где OM = ( 1; 2; 1) радиус-вектор точки M. Линейную скорость точки найдем через векторное произведение

i j k

v = ! OM = 2 3 0 = 3i 2j 7k = (3; 2; 7).

1 2 1

6. Смешанное произведение векторов.

V3 задана правая декартова система координат. Смешанным произведением трех ненулевых векторов a, b, c называется скалярное произведение вектора c на векторное произведение векторов a и b

Если хотя бы один из векторов равен нулю, то смешанное произведение равно нулю.

Свойства смешанного произведения.

1. ([a; b]; c) = (a; [b; c]), то есть смешанное произведение не зависит от способа расстановкè скобок, поэтому смешанное произведение записыва-

þò a b c;

2. a b c = b a c, то есть при перемене мест сомножителй произведение меняеò çíàê (ñмешанное произâедение векторов антикоммутативно);

3. a b c = b c a = c a b, то есть при циклической перестановке сомножителеé смешаннîе произâедение не меняется;

4.(a + b) c d = a c d + b c d;

5.(ka; b; c) = k(a; b; c);

105

6. ja b cj = Vпараллелепипеда, то есть модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепèïåäà;

7. Åñëè a 6= 0, b 6= 0, c 6= 0, òî a b c = 0 тогда и только тогда, когда векторы a; b; c лежат в одной плоскости, то есть смешанное произведе-

ние трех ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.

Если векторы заданы координатами a = (x1; y1; z1), b = (x2; y2; z2), c = (x3; y3; z3), òî

Применив формулу разложения определителя по первой строке, полу- чим формулу вычисления смешанного произведения векторов, заданных своими координатами:

Смешаное произведение применяют для вычисления объема параллелепипеда; пирамиды; призмы; тетраэдра и для нахождение высоты этих тел (Рис. 14, рис. 15).

Пример 6.1. Точки A( 1; 3; 1), B(2; 1; 1), C(7; 0; 2) и D(5; 3; 10) являются вершинами тетраэдра. Найдите его объем.

Решение . Íàéäåì три векторà, íа которых как на сторонах построен тетраэдр:

106

Глава III

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия изучает свойства геометрических объектов при помощи аналитического метода, в основе которого лежит метод координат. Метод координат представляет собой мощный аппарат, позволяющий привлекать для исследования геометрических объектов методы алгебры и математического анализа. Основные понятия геометрии (точ- ки, прямые линии и плоскости) относятся к числу начальных понятий.

1. Понятие об уравнениях линий и поверхностей.

Пусть на плоскости V2 задана декартова система координат OXY . Равенство F (x; y) = 0 называют уравнением линии L в заданной системе координат, если координаты всех точек L удовлетворяют этому уравнению, а координаты точек, не принадлежащих L, уравнению не удовлетворяют. Например, уравнение окружности с центром в точке (a; b)

радиуса R задается уравнением

(x a)2 + (y b)2 = R2:

Пусть в пространстве V3 задана декартова система координат OXY Z. Равенство F (x; y; z) = 0 называют уравнением поверхности S, если координаты всех точек S удовлетворяют этому уравнению, а координаты точек, не принадлежащих S, уравнению не удовлетворяют. Например, уравнение сферы с центром в точке (a; b; c) радиуса R задается уравне-

107

íèåì

(x a)2 + (y b)2 + (z c)2 = R2:

Пусть имеем две поверхности S1 è S2, которые задаются уравнениями F1(x; y; z) = 0 è F2(x; y; z) = 0. Множество точек, принадлежащих по- верхностям S1 è S2 (поресечению поверхностей), и следовательно, удовлетворяющих обоим уравнениям, задает в пространстве линию, то есть линию в пространстве можно представить как пересечение двух поверхностей. Существует еще один способ задать линию в пространстве. Представим себе, что линия это траектория движения точки. Тогда в каждый момент времени известны координаты точки: x = x(t); y = y(t);

z = z(t), t 2 [t0; t1]. Если не принимать во внимание физический смысл переменной t (время), то мы можем задавать координаты точ- ки, как функции некоторой переменной параметра. Тогда уравнения

Пусть на плоскости V2 задана декартова система координат

Из школьного курса геометрии известно, что прямая на плоскости задается уравнением первого порядка и уравнение первого порядка задает на плоскости прямую. Перечислим основные способы, которыми можно задать конкретную прямую на плоскости.

I.Уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0; y0) перпендикулярно вектору n = (A; B) (Ðèñ. 1).

Так как через заданную точку M0(x0; y0) прямой можно восстановить единственный перпендикуляр к данной прямой, то задание точки на прямой и вектора, перпендикулярного этой прямой, определяют прямую однозначно. Вектор n = (A; B) называют нормальным вектором прямой

èëè нормалью.

108