Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия

2)если система совместна, то сколько решений она имеет (система определенная или нет);

3)как найти все решения системы.

Âкурсе линейной алгебры мы рассмотрим три метода решения систем линейных уравнений: матричный метод, метод Крамера и метод Гаусса.

Пример 6.1. Решите матричным способом систему уравнений

матрицы. Так как матрица A невырожденная jAj = 9 6= 0, то для нее существует

Задания для самостоятельного решения Задание 6.1. Решите матричным способом системы уравнений

:

29

7. Правило Крамера.

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными.

Запишем соотвествующее матричное уравнение AX = B, ãäå A = (aij) матрица системы, X = (x1; x2; : : : ; xn)T матрица-столбец неизвестных, B = (b1; b2; : : : ; bn)T матрица-столбец свободных членов.

Если матрица A невырожденная ( = jAj 6= 0), òî äëÿ íåå ñóùå-

ствует обратная матрица A 1 = 1 (Aij)T . Решим систему (7.1) матричным способом.

заменой первого столбца столбцом свободных членов. Его называют äî-

полнительным определителем неизвестной x1.

30

называют формулами Крамера.

Сформулируем доказанную теорему

Теорема 7.1. (Крамера)14 Если определитель системы n линейных уравнений с n неизвестными отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера

где определитель системы, k дополнительный определитель неизвестной xk.

Из формул (7:2) вытекает следствие.

Следствие 7.2. Если определитель системы равен нулю, а хотя бы

один из дополнительных определителей неизвестных отличен от нуля, то система решений не имеет.

Пример 7.1.

8

> x 2y +

<

3x 7y + 15z = 16;

>

: 4x + y 2z = 11:

14Габриэль Крамер (Gabriel Cramer) (1704-1752) швейцарский математик, один из создателей линейной алгебры. Крамер дал алгоритм вычисления определителя, пров¸л классификацию алгебраических кривых до пятого порядка включительно. Работы Крамера охватывают самые разные темы: геометрия, история математики, философия, приложения теории вероятностей. Самая известная из работ Крамера трактат "Введение в анализ алгебраических кривых"("Introduction a l'analyse des lignes courbes algebraique").

31

1 2 4

3 = 3 7 16 = 9.

дет определенной, неопределенной, несовместной. Решите систему уравнений, когда она является определенной.

32

8. Метод Гаусса.

Наиболее удобным для отыскания решений системы линейных уравнений с числовыми коэффициентами на практике является метод последовательного исключения неизвестных или метод Гаусса.

Дана система линейных уравнений (6:1). Рассмотрим преобразования

системы, называемые элементарными преобразованиями :

1)Умножение (деление) обеих частей уравнения на некоторое отлич- ное от нуля число;

2)Прибавление к обеим частям j-ого уравнения соответствующих ча-

ñòåé i-того уравнения, умноженных на некоторое отличное от нуля число;

3) Перестановка местами двух уравнений.

Полученная в результате такого преобразования система будет равносильна системе (6:1), то есть они либо обе несовместны, либо обе со-

сместны и имеют одни и те же решения. Может получиться так, что после выполнений нескольких таких преобразований получим уравнение, все коэффициенты которого равны 0. Отбрасывая это уравнение, также

получим систему, равносильную исходной.

Рассмотрим метод Гаусса. Идея этого метода состоит в том, чтобы с помощью элементарных преобразований привести систему уравнений к треугольному (ступенчатому) виду. Уравнение, которое будем прибавлять к другим уравнениям назовем разрешающим уравнением, а коэффициент при переменной, которую будем исключать из всех уравнений, кроме разрешающего назовем разрешающим элементом.

Дана система (6:1). Пусть для определенности a11 6= 0. Возьмем a11 за разрешающий элемент. Исключим неизвестное x1 из всех уравнений кроме первого. Для этого будем первое уравнение умножать последова-

системы. Получим систему

33

x2 можно исключить из всех уравнений системы кроме второго, и так далее, пока не получим систему треугольного или ступенчатого вида, из которой легко находить неизвестные.

Решать систему методом Гаусса удобно, преобразовывая расширенную матрицу системы.

Неизвестные x2 è x3 называются свободными. Придавая им различные значения, будем получать различные частные решения системы. Например, если положить x2 = 1, x3 = 1, то получим x1 = 2, x4 = 1, и (2; 1; 1; 1) частное решение системы.

Задания для самостоятельного решения

34

полученную в примере 6.1 лекции.

9. Арифметические векторы и действия над ними.

В школе на уроках геометрии и физики вектор определяли как направленный отрезок, вводили графически сумму и разность векторов, произведение вектора на число. Если ввести в пространстве декартову систему координат, то каждому вектору будет соответствовать упорядоченная тройка чисел a = (a1; a2; a3). Обобщая известные из школы факты, можно ввести следующее понятие.

Определение 9.1. Арифметическим n-мерным вектором называется упорядоченная последовательность n действительных чисел

a1; a2; : : : ; an. Обозначается вектор

Числа a1; a2; : : : ; an называют координатами вектора.

Векторы a = (a1; a2; : : : ; an) è b = (b1; b2; : : : ; bn) называют равными, если если их соотвествующие координаты равны, то есть a1 = b1, a2 = b2; : : :, an = bn.

Суммой векторов a = (a1; a2; : : : ; an) è b = (b1; b2; : : : ; bn) называется вектор

Произведением вектора a = (a1; a2; : : : ; an) на число k называется вектор

Вектор 0 = (0; 0; : : : ; 0), все координаты которого равны 0, называется

нулевым.

35

Вектор a = ( a1; a2; : : : ; an) называется противоположным

вектору a = (a1; a2; : : : ; an).

Два вектора a è b коллинеарны, åñëè b = ka.

Пример коллинеарных векторов дает таблица обменных курсов валют15.

Любые две строки или любые два столбца этой матрицы представляют собой коллинеарные вектора.

Oперации сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяют условиÿì:

Множество n-мерных арифметических векторов, в котором вве-

дены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие условиям 1 8, называется арифметическим n-мерным векторным пространством и обозначается Rn.

Пример 9.1. Пусть вектор a = (a1; a2; : : : ; an) вектор цен на n видов

продукции, вектор b = (b1; b2; : : : ; bn) вектор объема выпуска этой продукции за месяц. Тогда месячный объем товарной продукции (в рублях) равен числу a1 b1 + a2 b2 + : : : + an bn.

Пример 9.2. Некоторая фирма для строительства офиса взяла кредит в трех банках. Каждый из банков предоставил 150 млн., 130 млн. и 125 млн. рублей под годовую процентную ставку 25%, 30% è 32% ñîîò-

ветственно. Получили два вектора: вектор кредитов c = (150; 130; 125) è

вектор процентных ставок p = (25; 30; 32). Тогда в конце года фирме по

15по курсу мая 2014 года

36

кредитам придется уплатить 150 1; 25+130 1; 30+125 1; 32 = 521; 5 млн. рублей.

Эти примеры показывают, что полезно ввести еще одно действие над векторами.

Скалярным произведением двух векторов a = (a1; a2; : : : ; an) è

b = (b1; b2; : : : ; bn) называется число, равное сумме произведений их одноименных координат.

Свойства скалярного прîизведения:

1) (a; b) = (b; a); 2) (a + b; c) = (a; c) + (b; c); 3) ( x; y) = (x; y); 4) (a; a) > 0 ïðè a 6= 0 è (a; a) = 0 только тогда, когда a = 0.

Два ненулевых вектора a è b называются ортогональными, åñëè èõ

скалярное произведение равно нулю, то есть a b = 0.

Рассмотрим экономический пример на ортогональность векторов. Одним из способов определения индекса цен и уровня инфляции

является расчет стоимости потребительской корзины, состоящей из 300 видов товаров и услуг, получаемых потребителями. В стаблице приведен пример, как можно вычислять индекс цен. Расчет индекса цен проводится по формуле: "Расходы в текущем месяце" делим на "Расходы в предыдущем месяце".

37

Таким образом, в нашем случае, индекс инфляции составляет

15331575; 7 100% 100% 2; 7%.

Обозначим через q = (15; 10; 17; 24; 2) вектор количества потребляемых товаров, c = (4; 34; 5; 28; 25; 5; 41) вектор цен в текущем месяце,

c 1 = (3; 9; 33; 27; 6; 25; 38) вектор цен в предыдущем месяце. Индекс цен вычисляется по формуле

Откуда (100c; q) = p (c 1; q) èëè (100c p c 1; q) = 0.

Таким образом, индекс цен можно определить как численный коэффициент p, который делает вектор q ортогональным вектору 100c p c 1.

Индекс инфляции расчитыâается по формуле

10. Линейная зависимость векторов.

Операции сложения и умножения векторов лежат в основе и находят многочислåнные приложения в математике и физике.

Вектор b называется пропорциональным вектору a, если существует

число k 6= 0 такое, что b = ka. Обобщением понятия пропорциональности векторов является понятие их линейной комбинации.

Определение 10.1. Пусть дана система векторов a1; a2; : : : ; am èç пространства Rn. Вектор b вида

ãäå 1; 2; : : : ; m действительные числа называется линейной комбинацией векторов a1; a2; : : : ; am.

Говорят также, что вектор b линейно выражается через вектора

a1; a2; : : : ; am.

Если векторы заданы своими координатами, то используÿ определение операций над векторами, для любой координаты вектора b получим

bi = 1a1i + 2a2i + : : : + mami (i = 1; 2; : : : ; n).

38