Баев Теория колебаниы 2015

R

Рис. 1.11. Последовательный колебательный контур

Величина ЭДС равна сумме напряжений на пассивных элементах схемы:

то выражение (1.257) примет вид дифференциального уравнения второго порядка

Наконец,D если теперь в качестве обобщенной координаты взять заряд , за кинетическую энергию принять энергию, запасаемую

магнитным полем в индуктивности

( 1 9D , 1.260 2

потенциальной энергией считать энергию, запасаемую электрическим полем в емкости:

то уравнение Лагранжа сведется к уравнению (1.259).

Впредложенной электромеханической аналогии индуктивность является аналогом инерционного коэффициента (массы), величина 1/С соответствует коэффициенту упругой силы гармонического осциллятора, сопротивление R – аналог диссипативного коэффициента. Диссипативная функция Релея – это, очевидно, мощность, рассеиваемая на резисторе, порождающем аналог сил трения. В данном случае аналог обобщенной скорости– ток.

Врассмотренной схеме не учтен еще один активный элемент, а именно: источник тока i(t). Чтобы иметь возможность строить математические модели с источниками тока, рассмотрим параллельный контур, изображенный на рис. 1.12.

i(t)

~ R C L

Рис. 1.12. Параллельный контур

В контуре на рис. 1.12 складываются токи, протекающие через индуктивность, емкость и сопротивление. Если u – приложенное к

здесь £– обобщенная координата; # –~инерционный коэффициент (масса); – коэффициент силы трения; –коэффициент собственной упругой силы системы, обеспечивающий устойчивость ее движения.

Таблица 1.1

Приведем два примера использования электромеханических аналогий.

В первом примере построим математическую модель

задача решена.

Перейдем ко второму примеру, а именно: выясним условие устойчивой работы радиотехнической схемы, изображенной на рис.

1.14.

H

Рис. 1.14. Радиотехническая схема

85

входной цепи.

Если воспользоваться первой системой электромеханических аналогий, то получим следующее уравнение, описывающее работу

Первый случай, очевидно, не представляет интереса, поэтому перейдем ко второму случаю, когда

поскольку при этом условии корни уравнения (1.283) будут иметь положительные действительные составляющие.

Область неустойчивости изображена на рис. 1.15. По оси абсцисс отложена величина h = sM/C.

R

h

Рис.1.15. Область неустойчивых колебаний (заштрихована) радиотехнической схемы

Физический смысл условия нарушения устойчивой работы схемы, изображенной на рис. 1.14, прозрачен – это малые потери в контуре.

87

Часть 2. МЕТОДЫ АНАЛИЗА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ

Глава 2.1. Линейные системы с постоянными параметрами

2.1.1. Собственное движение консервативных систем

Движение линейных систем с постоянными параметрами описывается линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Собственным назовем движение системы, которое она совершает, когда на нее не действуют внешние силы, т.е. силы, не связанные с

Уравнение (2.1.2) называется уравнением гармонического осциллятора.

88

где j – мнимая единица; А – в общем случае комплексная амплитуда:

Оперирование с экспоненциальными функциями проще, чем с тригонометрическими, так как операция дифференцирования не

89

изменяет их вида. При этом, когда производятся только линейные операции (как то, сложение, умножение на постоянные коэффициенты дифференцирование, интегрирование), можно вообще опускать знак взятия вещественной части, переходя к последней в окончательном результате вычислений.

Полученные данные о собственном движении одномерной системы несложно обобщить на консервативные системы со многими степенями свободы.

Рассмотрим систему с n степенями свободы, кинетическая и потенциальная энергии которой определяются выражениями