Баев Теория колебаниы 2015

иискомые условия устойчивости решений рассматриваемого

Рис. 2.2.6. Диаграмма устойчивости

Обратим внимание на следующие два обстоятельства, связанных с <приведенным, < , < примером. Во-первых, определители всех трех матриц[ равны единице, что находится в соответствии со свойством уравнения Хилла (2.2.57). Это свойство имеет немалое практическое значение, так как оно позволяет косвенно удостовериться в том, что матрица периода составлена правильно. Вовторых, как в данном случае, условия устойчивости изображают в виде диаграммы устойчивости, аналогичной диаграмме устойчивости решений уравнения Матье, рассмотренной выше. Подобные диаграммы существенно упрощают расчеты при разработках и

проектировании систем.

В принципе, изложенный метод определения условий устойчивости решений уравнения Хилла легко распространяется на любые функции f(t) этого уравнения (2.2.40) путем их аппроксимации кусочно-постоянными функциями, как показано на рис. 2.2.7.

Если приведенная на рис. 2.2.7 аппроксимация функции f(t) обеспечивает требуемую точность расчетов, то

где < – матрица i-го участка, длительностью ti.

153

f(t)

t1 t2 t3 t4

T

Рис. 2.2.7. Аппроксимация коэффициента уравнения Хилла кусочно-постоянной функцией

Для повышения точности расчетов число кусочно-постоянных участков аппроксимирующей функции следует увеличить, так что в

где N – число кусочно-постоянных участков аппроксимирующей функции.

2.2.7. Другие способы выявления устойчивых решений уравнения Хилла

В инженерной практике очень часто используется уравнение Матье, удобство которого, как отмечалось выше, состоит в том, что известна диаграмма устойчивости его решений. Кроме того, с той или иной степенью точности можно любое уравнение Хилла свести к уравнению Матье. Действительно, поскольку функция f(t) из уравнения Хилла (2.2.40) является периодической, то ее можно разложить в ряд Фурье. Если в этом разложении ограничиться первыми двумя элементами, то при соответствующем выборе

154

независимой переменной получим следующую аппроксимацию функции f(t)

которая, в свою очередь, позволяет аппроксимировать уравнение Хилла (2.2.40) уравнением Матье (2.2.72).

Если математическая модель системы сведена к уравнению Матье

уравнения Матье область устойчивости и точку на ней, изображающую систему, автоматически получаем такую увязку всех параметров системы, при которой она будет устойчивой.

Наконец, может случиться так, что описанные выше два метода определения устойчивости решений уравнения Хилла окажутся непригодными. Например, когда аппроксимация уравнения Хилла уравнением Матье не обеспечивает достаточной точности расчетов, а аппроксимация коэффициента f(t) уравнения Хилла с требуемой точностью кусочно-постоянной функцией требует в матричном методе перемножения слишком большого числа матриц, т.е. необходимая точность расчетов достигается при большом значении числа N в выражении (2.2.136).

Тогда можно воспользоваться численным методом определения условий устойчивости решений уравнения Хилла, суть которого

Это выражение позволяет быстро выяснить, обеспечивает ли найденная комбинация параметров системы ее устойчивость, для чего, например, нет необходимости прогонять большое количество частиц пучка электрофизической установки через всю длину проходимого частицами пучка пути, как это приходится делать при примитивном подходе, что позволяет на порядки снижать затраты машинного времени при моделировании.

2.2.8. Системы с медленно изменяющимися параметрами

Рассмотрим одномерную систему, движение которой описывается

Оно уже встречалось в параграфе 2.2.2, где было найдено условие устойчивости решений этого уравнения. Теперь же пойдем дальше и попытаемся построить приближенное решение этого уравнения, на

2.2Систему,.148 , описываемую уравнением 2.2.147 с условиями называют системой с медленно изменяющимися параметрами, еще ее можно назвать адиабатической. В данном случае воспользуемся уже упоминавшемся выше подходом, а именно: воспользуемся2.2.148 методом аналогий. Чем точнее выполняются условия , тем, очевидно, ближе это уравнение к уравнению гармонического осциллятора с трением, решение которого известно. Поэтому естественно искать решение уравнения (2.2.147) в том же виде, который имеет функция, описывающая колебания гармонического осциллятора, и являющаяся решением одноименного

уравнения

Подставив выражение (2.2.149) в уравнение (2.2.147), преобразуем

решения уравнения гармонического осциллятора и тем медленнее, в

частности, должна изменяться со временем функция . Поэтому в

представляющей приближенное решение этого уравнения.

158

Глава 2.3. Нелинейные системы

2.3.1. Качественный анализ с помощью фазового пространства

Как отмечалось в параграфе 1.9, множество всевозможных траекторий системы в фазовом пространстве (фазовых траекторий), которое принято называть ее фазовым портретом, содержит обширную информацию об этой системе. Поэтому фазовое пространство нередко используется в инженерной практике для качественного анализа математических моделей систем.

Качественный анализ (или качественное исследование) – это такой подход к анализу математической модели системы, для которого не требуется знания полных решений дифференциальных уравнений, описывающих ее движение. Он позволяет выявлять такие общие свойства системы, как зависимость характера ее движения от начальных условий, оценка возможности возникновения автоколебаний, резонансных явлений, автомодуляций, а также исследование устойчивости равновесных состояний системы и различных режимов ее работы.

Все эти вопросы могут быть изучены и другими способами, например путем численного интегрирования уравнений движения системы. Однако во многих случаях, особенно при разработках новых приборов и установок, когда требуется просматривать и анализировать большое количество различных вариантов, качественный подход, как правило, оказывается очень эффективным, существенно экономящим время. Да и при проектировании стандартной аппаратуры с большим количеством свободных параметров (а их число может лежать в пределах от нескольких десятков до сотен) качественный анализ также необходим. Как правило, в нем используют фазовое пространство, поэтому без преувеличения можно говорить о методе фазового пространства, который, в частности, подробно описан в монографии [6].

Обычно к помощи фазового пространства прибегают в случаях, когда движение системы описывается одним дифференциальным уравнением, т.е. когда фазовое пространство является двумерным. В этом случае фазовые портреты системы получаются особенно наглядным и удобными. Следуя принятой терминологии, в

159

дальнейшем двухмерное фазовое пространство будем называть фазовой плоскостью. Однако и в случаях с многомерными системами обычно прибегают к фазовым плоскостям, проектируя на них фазовые объемы систем. Например, в тех же пучках заряженная частица движется, вообще говоря, в шестимерном фазовом пространстве, которое проектируется на фазовые плоскости продольного и поперечного движения, и получающиеся при этом фазовые портреты дают довольно наглядное представление о характере движения как отдельно взятых частиц, так и пучка в целом.

В системе координат фазовой плоскости, как правило, абсциссой служит обобщенная координата, а ординатой – обобщенная скорость,H I &H/&которые Hв этом параграфе будем обозначать символами и

соответственно.

Введем еще несколько понятий, связанных с фазовой плоскостью. Замкнутую фазовую траекторию в некоторых случаях называют предельным циклом, различая устойчивые и неустойчивые предельные циклы. Устойчивым предельным циклом называется предельный цикл, на который навиваются расположенные внутри и вне цикла близлежащие фазовые траектории. Физически он соответствует устойчивому периодическому движению. Пример устойчивого предельного цикла представлен на рис. 2.3.1 – это кривая

1.

y

1

Рис. 2.3.1. Предельные циклы

Неустойчивым предельным циклом называется такой предельный цикл, от которого удаляются расположенные вблизи него фазовые траектории. Физически он соответствует неустойчивому

160