Баев Теория колебаниы 2015

которое носит название уравнения Гамильтона – Якоби, причем производящая функция должна также удовлетворять требованию (1.174).

Если производящая функция найдена, далее с помощью формул

определяется искомое свободное унивалентное каноническое

Таким образом, из теоремы Якоби следует, что отыскание полного интеграла уравнения Гамильтона – Якоби эквивалентно решению канонических уравнений Гамильтона, описывающих движение системы.

Поэтому уравнение Гамильтона – Якоби можно рассматривать как

фазовом пространстве эквивалентно непрерывной цепи свободных, унивалентных канонических преобразований.

Именно это уравнение было предложено в свое время Гамильтоном, однако оно в прикладном плане имеет серьезный изъян: из решения данного уравнения вовсе не обязательно получится требуемое каноническое преобразование, а если задаться требуемой системой канонически сопряженных координат, то уравнение (1.220) не дает непосредственно производящую функцию, порождающую нужное преобразование фазового пространства.

Заслуга Якоби состоит в том, что он устранил этот изъян, поскольку, как это было показано выше, в рамках свободных унивалентных канонических преобразований появляется возможность построить производящую функцию, дающую требуемые канонические преобразования, а именно: такие преобразования, из которых непосредственно следуют полные решения уравнений движения.

Если система является консервативной:

72

При этом нельзя забывать об условии (1.170), накладываемом на

здесь α,, β, l 1, … , % 1 , σ и γ произвольные постоянные.

73

Случай консервативной системы аналогичным путем обобщается

Особый интерес представляют случаи, когда функция Гамильтона консервативной системы имеет следующую структуру:

Уравнение (1.233) в этом случае запишется так:

74

В этом случае

• L ; 1.241& α α

75

и условие (1.225) сводится к неравенству

œ L + 0. 1.243

α

и условие (1.225) выполнено. Поэтому выражение (1.240) представляет полный интеграл уравнения Гамильтона –Якоби.

При этом в данном случае выражения (1.217) запишутся так:

ик этим выражениям еще следует добавить выражения (1.245).

Вцелом все эти 2n выражений являются полным решением уравнений движения в квадратурах.

Рассмотрим в качестве примера гармонический осциллятор с функцией Гамильтона

76

Интеграл в выражении (1.253) равен arcsin(q/A), так что окончательно оно принимает хорошо знакомый вид

1.16. Теорема Пуанкаре

Важным следствием теоремы Лиувилля является утверждение, известное как теорема Пуанкаре, которая формулируется следующим образом

Теорема Пуанкаре. При устойчивом движении гамильтоновой системы, какая бы окрестность около точки, принадлежащей фазовой траектории системы, ни была выбрана, система вернется в эту окрестность.

Данное утверждение доказывается просто и чисто качественно. Как уже говорилось выше, движение гамильтоновой системы эквивалентно непрерывной цепи свободных унивалентных канонических преобразований фазового пространства в себя. Согласно теореме Лиувилля, величина фазового объема сохраняется, поэтому если выделить в некоторый момент времени область фазового пространства, содержащую фрагмент траектории системы, то в процессе своего движения (или, что то же самое, в процессе непрерывных свободных канонических преобразований фазового пространства) она вернется в выделенную область, пройдя сколь угодно близко от фрагмента траектории, принадлежащего выделенной области.

Действительно, если бы это было не так, то это означало бы, что область фазового пространства, содержащего траекторию системы, имеет бесконечно большие размеры, т.е. движение системы неустойчиво, а это противоречит исходному условию об устойчивости системы.

Теорема Пуанкаре имеет важное прикладное значение, что довольно наглядно иллюстрирует такой пример из истории ускорительной техники. В 1928 году вышла статья немецкого физика Рольфа Видероэ, в которой он изложил принцип работы предложенного им циклического индукционного электронного ускорителя, получившего название бетатрон. Позже Видероэ указал,

78

что изобрел этот ускоритель гораздо раньше, в 1922 году, еще будучи студентом Высшей технической школы в Карлсруэ.

Однако первая модель бетатрона была запущена только в 1940 году американским физиком Дональдом Керстом, хотя все предыдущие годы над проектом бетатрона трудились российские, американские и европейские физики, в том числе и сам Видероэ. Одна из главных причин, по которой долгое время не удавалось запустить бетатрон, как раз и связана с теоремой Пуанкаре.

Вбетатроне электроны в процессе ускорения двигаются по круговой орбите, ускоряясь вихревым электрическим полем, индуцируемым переменным магнитным полем, которое выполняет две функции, а именно: оно заставляет электроны двигаться по расчетной орбите и удерживает их вблизи этой орбиты, не позволяя им удаляться от нее.

Вконструкциях бетатрона до Керста инженеры размещали генератор электронов (его обычно называют инжектором) вне вакуумной камеры, где должны были ускоряться электроны, так, что они из инжектора летели по касательной к расчетной орбиты, как показано на рис. 1.10,а.

Естественно, что электроны, в соответствии с теоремой Пуанкаре, стремятся вернуться к месту инжекции, и, в итоге, пучок высаживался на стенки вакуумной камеры. Только после того, как Керст разметил инжектор внутри вакуумной камеры, рис. 1.10 б), бетатрон заработал.

3

2

Рис.1.10. Принципиальные схемы бетатрона с инжектором 1 вне вакуумной камеры 3 (а) и внутри вакуумной камеры (б); 2 – электронный пучок.

79

Здесь нельзя не отметить следующее. Тогда эта идея американского физика его коллегам могла показаться, ну, если не безумной, то, во всяком случае, бессмысленной, поскольку, вроде бы, очевидно, что после первого же оборота электроны должны были бы «упасть» на тыльную сторону инжектора. Тем не менее бетатрон заработал. Интуиция не подвела физика, и она у него должна была быть очень сильной, чтобы принять такое не ординарное, далеко не очевидное решение. Какая-то часть электронов, причем бóльшая, действительно попадает на тыльную сторону инжектора, но другая часть инжектируемого пучка образована электронами, которые «промахиваются» мимо инжектора и в конце концов увлекаются в режим ускорения, а их энергия доводится до номинальной.

1.17.Электромеханические аналогии

Вэтом параграфе будет рассмотрен очень важный вопрос, а именно: каким образом изложенная выше методика построения математических моделей, которая в основном иллюстрировалась на

которым предъявляются следующие два требования: 1) эти системы должны нести на себе все признаки рассматриваемого класса систем;2) они должны иметь строгое математическое описание, с помощью которого строятся математические аналогии рассмотренного выше аппарата, как то обобщенные координаты, кинетическая и потенциальная энергия, силы трения и т.п.

В качестве примера рассмотрим электрические системы и по предложенной схеме построим аналогии, которые назовем электромеханическими.

Начнем это построение с последовательного колебательного контура, изображенного на рис. 1.11, состоящего из индуктивности L, емкости C, активного сопротивления R и источника ЭДС e(t).

80